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宇宙学常数、超对称及膜宇宙论

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- 卢昌海 -

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六. 膜宇宙论

上篇中篇 中我们介绍了宇宙学常数问题的由来以及运用传统量子场论解决这一问题所面临的困难。 这一困难随着天文学家们对宇宙学常数的初步测定 - 从而使后者的地位得以初步确立 - 而变得尖锐起来。 我们甚至看到连二十世纪七十年代出现的超对称也在初试锋芒之后黯然败下阵来。 不过严格地讲, 说超对称败下阵来是不确切的, 因为超对称的观念已经渗透到了现代物理的许多领域中, 让一些原本平庸的理论脱胎换骨。 这种渗透之有效, 简直已到了点石成金、 化腐朽为神奇的程度。 超对称本身的神通也因为这种渗透而得到了延伸。 我们在上文中谈到的超对称计算只不过是对标准模型进行超对称化的结果, 这样的结果只是超对称广阔天地中的一个小小的部分。 在所有因超对称而脱胎换骨的理论中最值得一提的并不是超对称化的标准模型, 而是一个更为宏大的理论 - 超弦理论。 超弦理论不仅值得一提, 而且还非提不可, 因为在许多物理学家眼里, 超弦理论正是二十一世纪物理学的主流所在、 未来所系, 它在宇宙学常数问题上自然也是不可缺席的。

超弦理论是一个试图统一自然界所有相互作用的理论, 有时候干脆被称为 Theory of Everything (TOE), 它的广度、 深度及雄心由此可见。 超弦理论对宇宙学的影响是多方面的, 其中很重要的一个影响来源于它对时空维数的要求。 在超弦理论中, 时空的维数变成了十维而不再是四维的。 在这样的一幅时空图景中, 我们直接观测所及的看似广袤无边的宇宙不过是十维时空中的一个四维超曲面, 就象薄薄的一层膜, 可怜的我们就世世代代生活在这样一层膜上, 我们的宇宙论也就变成了膜宇宙论。

高维时空的观点并不是超弦理论所特有的, 早在 1919 年, T. Kaluza 就把广义相对论推广到了五维时空, 试图由此建立一个描述引力与电磁相互作用的统一框架; 1926 年, O. Klein 发展了 Kaluza 的理论, 引进了紧致化 (Compactification) 的概念, 由此建立了所谓的 Kaluza-Klein 理论。 Kaluza-Klein 理论与膜宇宙论的主要差别在于: Kaluza-Klein 理论中的物质分布在所有的维度上, 而膜宇宙论中只有引力场、 引力微子 (Gravitino) 场 (引力微子为引力子的超对称伙伴)、 Dilaton 场等少数与时空本身有密切关系的场分布在所有的维度上, 由标准模型描述的普通物质只分布在膜上。

不仅高维时空的观点不是超弦理论所特有的, 就连这种认为由标准模型描述的物质只分布在膜上而不是象 Kaluza-Klein 理论假定的那样分布在整个高维时空中的观点也早在二十世纪八十年代初就有人从唯象理论的角度提出过了, 与超弦理论无关。 但是象这样的一种观念, 只凭一些唯象的考虑是不足以成为现代宇宙论的基础的, 它本身必须有明确的理论依据。 这种理论依据随着超弦理论的发展渐渐地成为了可能。 二十世纪九十年代中期, 在超弦理论中出现了著名的 “第二次超弦革命”, 存在于各种超弦理论之间的许多对偶性被发现, 在这些研究中物理学家们注意到了, 不仅各种超弦理论之间存在着密切的关联, 超弦理论与 11 维超引力理论之间也存在一定的关联[注一]。 受此启发, 1995 到 1996 年间 E. Witten 提出了一种 11 维时空中的新理论, 它以 11 维超引力理论为低能有效理论, 并且在特定的参数条件下能够再现物理学家们熟悉的所有五种不同类型的超弦理论。 从这个意义上讲, 这种新理论可以被认为是统一了各种类型的超弦理论。 这一新理论被称为 M 理论。 在研究这种 11 维超引力理论及 M 理论时, 由于超弦理论中的规范场只存在于十维时空中, 因此很自然地出现了规范场只存在于 11 维时空中的超曲面上的观点, 这便是膜宇宙论思想在超弦理论中的出现, 最初是由 P. Horava 与 Witten 等人提出的。

超弦理论与膜宇宙论的出现让物理学家们的思路越出了四维时空的羁绊, 为宇宙学常数问题的研究提供了一个全新的视角。 那么从这个全新的视角中我们能看到什么新的东西呢? 让我们来回顾一下前面试图运用超对称解决宇宙学常数问题的主要推理步骤:

超对称在 TeV 量级上破缺 → 宇宙学常数比观测值大 60 个数量级 → 宇宙半径在毫米量级

上述推理中, 对超对称破缺能标的估计来自于现有高能物理实验与理论的综合分析, 显著调低该能标将与未能观测到超对称粒子这一基本实验事实相矛盾, 而调高该能标只会使宇宙学常数的计算值更大, 从而更偏离观测值; 从超对称破缺能标到宇宙学常数的计算依据的是量子场论; 而从宇宙学常数到宇宙半径的计算依据的是广义相对论。 这些理论在上述计算所涉及的条件下都是适用的, 因此整个推理看上去并没有什么明显的漏洞。 但是从膜宇宙论的角度看, 上述推理却隐含着一个很大的额外假定! 正所谓 “不识庐山真面目, 只缘身在此山中”。

这个额外假定出现在最后一步推理中。 宇宙学常数与曲率之间的关联的确是广义相对论的要求, 但问题是: 我们谈论的究竟是哪一部分空间的曲率呢? 想到了这一点, 我们不难发现上述推理所隐含的额外假定就是: 由宇宙学常数所导致的曲率出现在我们的观测宇宙中。 这原本不是问题, 因为长期以来, 在宇宙学中空间不言而喻就是指的我们观测到的三维空间, 任何曲率当然指的也就是这个三维空间的曲率。 但是在膜宇宙论中空间共有九维之多, 情况就大不相同了, 假如由宇宙学常数所导致的曲率只出现在观测宇宙以外的维度中, 岂不就没有问题了吗? 要知道一个均匀的背景能量动量分布 - 即宇宙学常数 - 本身并不是问题, 由此而导致的可观测的曲率效应才是问题的真正所在[注二], 因此倘若由宇宙学常数所导致的曲率果真只出现在观测宇宙以外的维度中, 宇宙学常数问题中最尖锐的部分 - 与观测之间的矛盾 - 也就冰消玉释了。

那么在膜宇宙论中由宇宙学常数所导致的曲率果真有可能只出现在观测宇宙以外的维度中吗?

七. 宇宙七巧板

对这一问题的研究远在膜宇宙论在超弦理论中出现之前就已经有了一些结果。 早在 1983 年, V. A. Rubakov 和 M. E. Shaposhnikov 就发现在高维时空的广义相对论中存在某种机制, 使得这种可能性得以实现。 1999 年, E. Verlinde 与 H. Verlinde 在膜宇宙论中同样发现了这样的机制。 这些研究表明, 由宇宙学常数所导致的曲率只出现在观测宇宙以外的维度中在理论上是可能的。 由此我们看到, 在膜宇宙论中宇宙学常数与可观测宇宙的半径间已无直接的对应关系, 宇宙学常数可以很大 - 如我们在上文中计算过的那么大, 而宇宙曲率仍然可以很小 (即宇宙半径很大) - 如我们观测到的那么小。 正是这一全新的可能性为解决量子场论所预言的巨大的宇宙学常数与观测所发现的巨大的宇宙半径之间的矛盾开启了一扇新的门户。 在膜宇宙论中, 我们把对膜 (即可观测宇宙) 本身曲率有贡献的那部分宇宙学常数称为 “膜上的四维有效宇宙学常数”, 简称为 “有效宇宙学常数”。 运用这一术语, 由宇宙学常数所导致的曲率只出现在观测宇宙以外的情形可以表述为: 有效宇宙学常数为零; 而膜宇宙论解决宇宙学常数问题的基本思路可以表述为: 虽然宇宙学常数很大, 但有效宇宙学常数很小。

但是上面提到的那些导致有效宇宙学常数为零或很小的机制有一个不尽如人意的地方, 那就是它有赖于参数间极其精密的相互匹配, 即所谓的 fine-tunning。 这种 fine-tuning 只要稍有破坏, 可观测宇宙的曲率就将大大高于观测值。 从这个意义上讲上述机制虽然原则上可能, 但是面临着自然性问题 (Naturalness problem), 即为什么在参数之间会存在如此精密的相互匹配。

2000 年到 2001 年间, 欧洲核子中心 (CERN) 的物理学家 C. Schmidhuber 提出了一组非常精彩的观点, 既为解决上述机制中的自然性问题提供了一种思路, 也为解释有效宇宙学常数虽然很小、 却不为零这一观测结果提供了一种可能的解释[注三]。 这组观点便是本节所要介绍的内容。

在上文中我们提到过, 在可观测宇宙中 (即膜上) 超对称 (如果存在的话) 应当在 TeV 能标上破缺, 这一点在膜宇宙论中是一个需要满足的边界条件。 Schmidhuber 提出了一个猜测, 他猜测在超弦理论 (确切地讲是高维超引力理论) 中存在这样一种膜宇宙论解: 膜上的超对称在 TeV 能标上破缺, 而膜外 (在一个过渡距离外) 与膜平行的四维超曲面上的超对称 (即高维超引力理论中的超对称) 是严格的。 假如这样的解存在的话, 那么在那些与膜平行的四维超曲面上由于存在超对称, 有效宇宙学常数为零, 从而在那些四维超曲面上的时空是平坦的 (确切地讲是 Ricci 平坦: R(4)μν=0)。 将这种在膜以外的、 由超对称所要求的平坦时空与膜上的时空相衔接就可以自然地选出膜上的平坦时空解 (即膜上的有效宇宙学常数为零的解)。 这样就避免了原先的 fine-tunning 问题。

但是这里还有一个问题需要解决。 前面提到, 在膜宇宙论中由标准模型描述的普通物质只分布在膜上, 但是引力场不在此列, 引力场存在于整个高维时空中, 由超引力理论所描述。 这一超引力理论中的零点能对整个时空的曲率都有贡献。 因此在膜宇宙论中, 膜上的有效宇宙学常数取决于超引力理论中的零点能。 如果超引力理论中的超对称如上面的猜测所说, 是严格的, 那么这种零点能为零, 有效宇宙学常数也就为零, 这与观测并不一致。 为了解决这一问题, Schmidhuber 对他的猜测作了一点修正, 把超引力理论中的超对称由严格的修正为在一个很低的能标 T 上破缺, 这样既不妨碍在定性上用超对称取代 fine-tuning, 又可以得到与观测相吻合的宇宙学常数。

那么为了产生与观测相一致的有效宇宙学常数, 这个能标 T 该是多少呢? 这一点我们在 中篇 其实已经计算过了。 在第四节中我们曾提到, 要想让普通量子场论中的零点能与观测到的有效宇宙学常数相一致, 量子场论所适用的能量上限必须在 milli-eV (10-3 eV) 的量级, 即 M ~ 10-3 eV; 而在第五节中计算超对称标准模型下的宇宙学常数时我们又提到, 如果一个超对称理论的超对称在能标 T 上破缺, 那么计算由该理论的零点能所给出的宇宙学常数时只需将量子场论所适用的能量上限 M 改成超对称破缺的能标 T 即可 (因为在 T 以上的零点能被超对称消去了)。 因此为了与观测到的有效宇宙学常数相一致, 超引力理论中的超对称破缺的能标为 T ~ 10-3 eV, 即超引力理论中的超对称在 milli-eV (10-3 eV) 的量级上破缺。

到此为止 Schmidhuber 的理论既解决了有效宇宙学常数为零的旧机制中的 fine-tuning 问题, 又提供了与观测大体一致的有效宇宙学常数, 凭这两点, 它已经算得上是一种颇有新意的理论。 但仅仅这些还不足以让我赞叹。 因为这样的一个理论就象是一副散乱放置的七巧板, 虽然每一块都不错、 都有用处 - 比如膜上的超对称在 TeV 能标上破缺是为了与高能实验相适应; 膜以外 (即超引力理论中) 的近似超对称是为了解决 fine-tuning 问题; 该近似超对称在 milli-eV 能标上破缺是为了与有效宇宙学常数的观测结果相一致 - 但这些形形色色的板块之间还缺乏足够的关联, 这样的理论显得过于松散, 过于特设。 比方说我们要问为什么超引力理论中的超对称会破缺? 为什么膜上的超对称在 TeV 能标上破缺而超引力理论中的超对称却在 milli-eV 能标上破缺? 物理学在本质上是一种追求对自然现象逻辑上最简单描述的努力, 正如 Einstein 所说的: “一个侦探故事, 如果它把奇案都描写成为是偶然的, 那么它决不是一个好故事”。 一个宇宙学常数理论也一样, 如果为需要解释的每一个观测事实都引进一个特定的独立假设, 那么它就算不上是一个好的理论。

一副七巧板的魅力在于能够拼合, 那么我们手头的这副宇宙的七巧板能够拼合在一起, 拼合出一幅美丽的画面来吗?

这些问题在现阶段当然还没有完全的答案。 但是 Schmidhuber 的理论中却有一条非常精彩的纽带, 把几条为了不同目的而引进的线索拧在了一起, 给出了部分的答案。 虽谈不上将宇宙七巧板拼成了图案, 却也令人刮目相看。 这条纽带就是膜上的超对称破缺与超引力理论中的超对称破缺之间的关联。 这种关联之所以存在是因为超引力理论中的波函数与膜之间存在着重叠。 因为这种重叠, 膜上的超对称破缺能够对超引力理论产生影响, 使后者的超对称也出现破缺, 这两种超对称破缺的能标之间存在一个明确的关系:

MSG = MSUSY2 / Mp

其中 MSG 为超引力理论中的超对称破缺的能标, MSUSY 为膜上 (即标准模型中) 的超对称破缺的能标[注四]。 不难验证, MSG ~ milli-eV 与 MSUSY ~ TeV 恰好满足这一关系式! 这就是说, 超引力理论中的超对称在 milli-eV 能标上破缺并不是仅仅为了解释有效宇宙学常数的观测值而引进的独立假设, 它是标准模型 (即膜上) 的超对称在 TeV 能标上破缺所导致的自然推论。 这两种超对称破缺的关联也可以反过来看, 从这个相反的方向看, 为了解释有效宇宙学常数的观测值而引进的超引力理论中的超对称破缺可以在膜上诱导出标准模型中的超对称破缺, 从而预言超对称粒子的质量! Schmidhuber 的理论正是因为有了这样的一条纽带而具有了独特的魅力。

八. 结语

以上便是对 Schmidhuber 在膜宇宙论框架中提出的宇宙学常数新理论的一个简单介绍。 现在让我们回过头来, 看看我们在本文 上篇 末尾所提的关于宇宙学常数的那些问题。 在 Schmidhuber 的理论中, 我们可以这样来回答那些问题:

  • 宇宙学常数的物理起源何在?
    答: 宇宙学常数起源量子场的零点能, 有效宇宙学常数起源于其中的超引力理论中的零点能。
  • 它为什么取今天这样的数值?
    答: 因为标准模型中的超对称在 TeV 能标上破缺, 由此导致超引力理论中的超对称在 milli-eV 能标上破缺, 这决定了我们所观测到的宇宙学常数 (即有效宇宙学常数) 的数值。
  • 占目前宇宙密度 70% 的暗能量究竟又是由什么组成的?
    答: 暗能量是由引力子、 引力微子及其它与时空本身密切相关的场的零点能组成。

应该说, 这些回答不能算是很令人满意的, 比方说对第二个问题的回答以标准模型中的超对称在 TeV 能标上破缺为前提, 这一点本身就未必成立。 但是在现阶段能够有这样的回答已属难能。

在我们即将结束本文的时候, 需要再次提醒读者的是本文所介绍的 Schmidhuber 的理论只是一个 Minority Report, 也就是说它并非是物理学界的一个主流理论。 事实上, 在宇宙学常数问题上目前还不存在任何称得上是主流的理论。 这并不奇怪, 因为对于宇宙学常数的数值, 只有在最近这些年我们才有了比较具体的结果。 目前在这一领域中的所有理论无一例外都是高度猜测性的, 都是很初级的, 并且都是有明显缺陷的。 以 Schmidhuber 的理论为例, 它最直接的缺陷就在于还没有找到如 Schmidhuber 所猜测的膜上超对称在 TeV 能标上破缺、 膜外超对称在 milli-eV 能标上破缺的解, 或关于这种解的存在性证明。 目前已经知道的是, 这样的解在五维时空中是不存在的, 因此 Schmidhuber 理论中的时空起码要有六维[注五]

另一方面, Schmidhuber 理论 (以及其它类似的膜宇宙理论) 把由标准模型描述的普通物质的零点能所引起的曲率归结到膜以外的高维时空中, 虽然解了燃眉之急, 却并不能一劳永逸地消除这些零点能的影响。 在上文中我们提到, 如果标准模型的超对称在 TeV 能标上破缺, 那么由标准模型的零点能所导致的宇宙半径在毫米量级。 这一半径在 Schmidhuber 理论中变成了膜以外的若干个维度的紧致半径。 但是由于引力相互作用与所有的维度都相关, 这种毫米量级的额外维度的存在会对我们所在的四维时空中 (即膜上) 的引力定律产生影响, 导致 Newton 引力常数与距离有关。 这一点, 使得在不久的将来我们就可以对 Schmidhuber 的理论 (以及其它类似的膜宇宙理论) 进行实验检验。 倘若 Newton 引力常数在小到 10 微米的尺度上仍没有显示出距离相关性, 那么 Schmidhuber 的理论 (以及其它类似的膜宇宙理论) 就会被实验所否决。

除了上面这几点外, Schmidhuber 理论的成立还有赖于象超对称、 超弦、 膜宇宙论这样一些目前还没有得到实验验证的物理理论, 这本身也是一个不定因素。 另外一个不容忽视的问题是, 我们在本文中所做的全部数值计算都是十分粗略的, 忽略了所有数量级较小的常数因子, 这些因子的累计效果完全有可能使我们的计算偏离几十倍甚至更多, 因此我们看到的那些数值拟合的精彩结果完全有可能只是粗略计算下的海市蜃楼。

但是尽管如此, 我个人还是很欣赏 Schmidhuber 的理论。 这一理论当然完全有可能是错误的 - 事实上, 不仅有可能, 而且可能性还很大。 因为在前沿物理理论的框架内对宇宙学常数的深入研究还处在襁褓阶段, 在这样一个阶段最可能出现的情形就是许多理论争奇斗艳, 但其中却没有一个是足够接近正确的 - 就象三国时期, 群雄并起逐鹿天下, 到头来却都在狼烟中消逝, 赶早场的人谁也没能夺得天下。 不过我觉得 Schmidhuber 的理论有着恢宏的背景、 精巧的构思, 颇能给人以启迪。 物理学上真正伟大的理论终究是少数, 一个理论只要能给人以启迪, 也就不枉了它被学术界所认识。 当我第一次读到 Schmidhuber 的文章时, 就萌生了将这一理论介绍给国内读者的想法, 现在这一想法终于付诸现实了。 但愿这篇文章能让部分读者对宇宙学常数问题产生兴趣。

注释

  1. 比方说 IIA 及 E8×E8 heterotic 型超弦理论在强耦合极限下均具有 11 维超引力理论的特征。
  2. 一个均匀的背景能量动量分布在引力以外的领域中并不构成困难, 因为这样一种能量动量分布的物理效应基本上都互相抵消了。 残余的效应 - 比如 Casimir 效应、 Dirac 真空中的电子对产生等 - 则已被实验观测到。
  3. 写到这里顺便提一下, 在文献中对宇宙学常数问题有所谓的第一与第二之分, 第一宇宙学常数问题 (The First Cosmological Constant Problem) 为: 为什么宇宙学常数为零? 这是早期的宇宙学常数问题; 第二宇宙学常数问题 (The Second Cosmological Constant Problem) 为: 为什么宇宙学常数很小、 但不为零? 这是目前我们所面临的宇宙学常数问题。
  4. 这一关系式与超对称破缺的两种主要机制之一 - Gravity-Mediated Supersymmetry Breaking - 中的关系式是一样的 (超对称破缺的另一种主要机制是 Gauge-Mediated Supersymmetry Breaking)。
  5. 由于超弦理论的时空有十维之多, 因此 Schmidhuber 理论对时空维数的要求还不至于造成困难, 但是在五维时空中不存在这样的解表明解的存在性远不是可以想当然地予以假定的。

参考文献

  1. P. Brax and C. van de Bruck, Cosmology and Brane Worlds: A Review Class. Quant. Grav. 20, R201-R232, 2003.
  2. C. Schmidhuber, Micrometer Gravitinos and the Cosmological Constant, Nucl. Phys. B585, 385, 2000.
  3. C. Schmidhuber, Brane Supersymmetry Breaking and the Cosmological Constant: Open Problems, Nucl. Phys. B619, 603, 2001.

附录: 与 Christof Schmidhuber 有关膜宇宙论的通信

Date: Sat, 4 Oct 2003 23:45:37 -0400 (EDT)
From: Changhai Lu
Subject: On cosmological constant problem

Dear Dr. Schmidhuber,

... ...

Recently, I noticed your theory on Micrometer Gravitinos and the Cosmological Constant. I'm very impressed by your idea, and have written an article to introduce the cosmological constant problem and especially your theory to the theorists in China (I'm from China).

As I'm thinking about your theory, however, there is one question I'm still wondering. According to your theory (and many other brane cosmological models), the standard model fields on the brane only contribute to the curvature transverse to the brane. The question I have is how can this concept be made compatible with the senario of inflation in which the cosmological constant generated by standard model fields does (and seems must) contribute to the curvature of the 4-D spacetime?

I will be very glad to hear your opinion on this problem. Thank you very much for your time and sorry for the disturbance.

Sincerely Yours,
Changhai Lu

********

Date: Tue, 4 Nov 2003 21:04:40 +0100 (CET)
From: Christof Schmidhuber
Subject: Re: On cosmological constant problem

Dear Changhai,

Thank you for your mail, it is nice to see that you are also intrigued by the fact that the brane world scenario seems to have the potential of having a cosmological constant that has just the right order of magnitude.

Your question about the cosmological constant during inflation is a good one, though, and I am afraid I do not have a simple answer. I have mostly thought about the static scenario, where the vacuum energy is approximately constant on the brane. During the phase transition in which the Higgs rolled down its potential and created a cosmological constant, this was certainly not the case; it is unlikely that this transition happened everywhere at once. So I can well imagine that this leaves enough room for an expanding brane-universe, but I have not really studied it. I believe it is an interesting problem, though.

With Best Regards,
Christof

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