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太阳的故事 (七)

- 卢昌海 -

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七. 物理自助游:推算太阳的质量、光度和表面温度

上一节 开始, 我们的太阳故事已延伸到了物理领域。 由于我们有关太阳的现代知识几乎全都来自物理手段, 因此在本节及以后的多数章节中, 我们将继续与物理 “亲密接触”。 说到物理, 很多读者的脑海里也许会浮现出中学物理课上学过的一些基本概念, 这其中很重要的一个就是被牛顿称为 “物质的量” (quantity of matter), 并在其名著《自然哲学的数学原理》的第一页上就试图定义的概念: 质量。

这样一个重要概念当然也适用于太阳。 本节的第一个任务, 就是要查一查太阳的 “资产”——它的 “物质的量”。 对于我们日常生活中接触到的普通物体来说, 测定质量是一件毫不困难的事情。 天平、 杆秤、 磅秤等都可以帮我们达到这一目的。 这些测量手段有一个共同特点, 那就是借助于所谓的静力学平衡手段。 在历史上, 早在质量的含义还仅仅停留在字面意义上那个 “物质的量”, 而不涉及象惯性和引力那样的动力学性质的年代里, 人们就是用这类手段来测定质量的。

但是, 就象大小和远近这样的简单测量一涉及到太阳就变得不再轻而易举一样, 质量的测定一涉及到太阳, 也就立刻变得棘手了。 无论天平、 杆秤还是磅秤, 想用来测定太阳的质量, 都无异于是白日做梦。 怎么办呢? 我们想起了 上一节 的思路。 在 上一节 中我们介绍过, 为了探索太阳的化学组成, 科学家们研究了阳光, 它给我们带来了远在 1.5 亿公里以外的太阳的信息。 那么, 除阳光外还有没有别的什么东西也能够不受遥远距离的阻隔, 为我们带来有关太阳的信息呢? 有, 那就是引力, 它不仅能向我们申报太阳的 “资产”, 而且还采取了一种我们自己就能实践的方式, 为我们再次开展 “自助游” 活动提供了便利。

我们这次自助游所采用的将是物理手段, 其中首先要利用的就是引力。

上次自助游 所采用的几何手段不同, 人们对引力的了解要晚得多。 如果我们想再玩一次 重返古希腊 之类的游戏的话, 我们要重返的将不是古希腊, 而是十七世纪。 另外, 与阳光能够直接产生视觉不同, 引力本身是看不见摸不着的。 了解引力的主要途径, 是研究它所导致的物体——尤其是天体——的运动, 这正是十七世纪科学家们曾经做过的事情。 不过十七世纪毕竟不同于古希腊。 古希腊的很多推理在今天已是一些中小学生都能理解或反驳的, 但十七世纪的某些科学成就即便在今天, 也足以难倒不少理工科的大学生。 因此本节虽也号称 “自助游”, 却不能象上一次那样 “徒步” 进行, 而需要先介绍一些十七世纪的东西, 作为代步工具。 当然, 这样做的另一个目的是让整个系列的内容更加完整。

我们刚才提到, 了解引力的主要途径, 是研究它所导致的物体——尤其是天体——的运动。 这种研究曾经导致了象 日心说 那样的重大天文进展。 但对于了解引力本身而言, 真正的进展却是出现在十七世纪初期的 1609 年。 那一年, 一位德国天文学家发表了几项重大成果。 此人的大名我们在 第三节 中已经提到过, 他就是开普勒。 是他, 发现了行星运动的椭圆轨道, 将沿用两千年的超级教条——天球——送进了历史博物馆; 同样也是他 (而不是哥白尼), 使日心说在精度上超越了地心说。

但在作出这些辉煌成就的同时, 他也亲手葬送了一个十三年前 (1596 年) 由他自己提出, 且受他钟爱的模型。 那个模型将当时已知的太阳系六大行星 (水星、 金星、 地球、 火星、 木星、 土星) 的天球用三维空间中仅有的五种正多面体 (正八面体、 正二十面体、 正十二面体、 正四面体、 正六面体) 以内切和外接的方式相分隔。 那个模型不仅让开普勒一度以为发现了上帝创世计划中最宏伟的几何设计, 而且还引起了当时已富盛名的丹麦天文学家第谷 (Tycho Brahe, 1546-1601) 的注意[注一]。 1600 年, 开普勒应邀成为了后者的助手。 一年后, 第谷去世, 他的职位及观测数据都被开普勒所继承。 在望远镜时代来临之前, 第谷的观测数据堪称举世无双。 正是有那样精密的数据做后盾, 加上自己的常年努力, 开普勒才发现了他的行星运动定律, 追根溯源起来, 很多缘分都来自他当年那个模型。 可惜再珍贵的模型如果与观测不符, 也只能被放弃。 假如科学研究本身也有定律的话, 这或许就是第一定律, 而开普勒很了解这一定律。

开普勒的名著《世界的和谐》
开普勒的名著《世界的和谐》

开普勒在 1609 年所发表的不仅有被称为开普勒第一定律的行星椭圆轨道, 而且还有所谓的开普勒第二定律, 即行星与太阳的连线在单位时间内扫过恒定的面积。 但这两条定律加在一起, 似乎也赶不上当年那个模型所具有的和谐与秩序。 那个模型虽然被迫放弃了, 开普勒却深信它所体现的和谐与秩序必定还有其它体现方式, 为此他继续进行着不懈的探索。 十年之后 (1619 年), 他终于找到了一条新的规律。 他为这一新规律撰写了一部新著作, 书名就叫《世界的和谐》(Harmony of the Worlds)。 在那部著作中, 他提出了自己的第三定律: 行星轨道半长径 (即椭圆轨道长轴长度的一半) 的三次方与轨道周期的平方之比是一个常数。

开普勒第三定律是一条非常漂亮的定律, 任何人只要看一眼那些数据之间近乎完美的关联, 就不难欣赏到它的美。 开普勒本人对之也非常满意, 称它为 “和谐定律” (Harmonic Law)。 开普勒的这些定律是牛顿之前人们在研究天体运动方面所达到的最高成就, 为最终发现万有引力定律做出了重要铺垫。 不过对于我们想要做的事情, 即推算太阳的质量来说, 它们还不够, 因为其中还缺少一样东西, 那就是质量这个主角。 事实上, 开普勒三大定律全都是运动学定律, 只涉及时间和空间这样的运动学概念, 而没有质量和引力那样的动力学概念[注二]

为了推算太阳的质量, 我们还得等一个人, 一个将质量概念全面引进物理的人, 一个能对引力作出数学描述的人, 这个人就是牛顿。 公元 1687 年, 牛顿发表了巨著《自然哲学的数学原理》。 在这部著作中, 他完整地阐述了自己的三大运动定律及万有引力定律, 为物理学的发展开辟了崭新的道路。 用另一位科学巨匠爱因斯坦的话说, 牛顿所发现的道路在他那个时代 “是一位具有最高思维能力及创造力的人所能发现的唯一道路”。

沿着这条 “唯一道路”, 人们对开普勒三大定律有了更深入的了解, 那三大定律不仅适用于行星绕太阳的运动, 而且也适用于卫星绕行星的运动。 那么, 我们所关心的东西——质量——在哪里呢? 就在开普勒第三定律中的那个常数——即轨道半长径的三次方与轨道周期的平方之比 (以下简称 “开普勒常数”)——里。 利用牛顿的运动定律和万有引力定律可以很容易地证明, 那个常数正比于中心天体的质量[注三]

主角终于露面了!

既然质量就出现在开普勒常数中, 那我们是不是就可以用开普勒第三定律来计算太阳质量了呢? 很遗憾, 答案暂时还是否定的。 因为质量在开普勒常数中的出现还捆绑了一个陌生的、 来自牛顿万有引力定律的东西: 万有引力常数。 开普勒常数正比于中心天体的质量是不假, 但在比例系数中却包含了万有引力常数。 因此只有知道了万有引力常数的数值, 才能真正推算天体的质量。 但万有引力常数的数值是多少呢? 很可惜, 那在牛顿时代还是一个谜。

搞了半天, 原来是空欢喜一场。 质量虽然出现了, 却 “犹抱琵琶半遮面”。 但即便如此, 我们依然有一件事情可以做, 那就是推算太阳质量与地球质量的比值。 推算的方法很简单: 既然开普勒常数正比于中心天体的质量, 那就说明地球轨道 (它的中心天体是太阳) 的开普勒常数正比于太阳质量, 而月球轨道 (它的中心天体是地球) 的开普勒常数正比于地球质量, 它们的比值则等于太阳质量与地球质量之比。 这个计算是我们现在就可以做的, 那个暂时让人摸不清路数的万有引力常数在计算比值时会自动消去。 这个计算所需的全部数据都已在第 两节中介绍过了, 即:

  • 地球的轨道半长径 (很接近太阳离我们的平均距离): 150,000,000 公里
  • 地球的轨道周期 (恒星年): 365.24 天
  • 月球的轨道半长径 (很接近月球离我们的平均距离): 384,400 公里
  • 月球的轨道周期 (恒星月): 27.3 天

由此可以得到:

  • 地球轨道的开普勒常数: 2.5×1019
  • 月球轨道的开普勒常数: 7.6×1013

当然, 这两者都是有量纲的 (请读者想一想, 它们的量纲是什么?), 不过这量纲跟万有引力常数一样, 会在求比值时自动消去, 因此不必理会。 这两个常数的比值约为 330,000。 这样我们就得到了一个重要结果: 太阳的质量约为地球质量的 33 万倍。 将之与我们在 第二节 中已经得到的 “太阳的直径约为地球直径的 109 倍” 联系起来, 我们立刻可以得出另一个重要结论, 太阳的平均密度约为地球平均密度的 1/4, 这跟我们在 上节 末尾介绍过的太阳上轻元素占很大比例的结果在定性上是一致的[注四]

现在我们的处境与 第二节 中曾经遇到过的相差无几了, 即有关太阳的数字已经与有关地球的数字连在了一起。 如果我们有办法知道地球的质量, 就可以顺藤摸瓜地得到太阳的质量。 但问题是, 地球的质量虽然只有太阳质量的 33 万分之一, 却同样是不能拿天平、 杆秤、 磅秤之类的工具来测量的。 为了测定地球的质量, 我们同样必须借助引力。 而一旦涉及引力, 万有引力常数就是一道绕不过去的坎。

既然绕不过去, 就只好放手一搏了。 那么, 怎样才能知道万有引力常数的数值呢? 很简单, 那就是测定一对质量已知的物体之间的引力。 这个答案对谁都不是秘密, 但万有引力常数却对谁都是秘密, 因为这个答案所提议的测定在当时是连牛顿也没法办到的; 因为引力这个貌似强大、 能把硕大无朋的天体玩得团团转的力量, 其实却是自然界中最微弱的相互作用。 它的强大纯粹来自 “集体的力量”, 因而只有在天文尺度上才是显著的。 可是天文尺度上的物体——即天体——的质量却全都指着万有引力定律来测定, 这就变成了一个先有鸡还是先有蛋的问题: 要想知道天体的质量, 首先得知道万有引力常数的数值; 而要想知道万有引力常数的数值, 又首先得知道某些天体的质量。

卡文迪许的扭秤实验
卡文迪许的扭秤实验

这个近乎死循环的局面直到一百多年后的 1798 年才被打开。 那一年, 英国科学家卡文迪许 (Henry Cavendish, 1731-1810) 通过一个极精巧的扭秤实验, 破天荒地直接测定了两个普通物体 (它们的质量当然是已知的) 之间极为微弱的引力。 虽然卡文迪许的目的是测定地球的平均密度 (由此也可以直接得到地球质量), 但从他的数据中不难算出万有引力常数的数值为 6.75×10-11 (这是国际单位制下的数值, 量纲留给读者自行推算)。 自那以后很多其他人也对万有引力常数进行了测定。 引力在日常尺度上的微弱性给所有这类测定设置了公平的障碍, 从中反衬出的则是卡文迪许的高超技艺, 因为他所达到的精度直到一个多世纪后才有人超越。 对万有引力常数的测定直到今天依然是一件很困难的事情。 截至 2006 年, 国际科技数据委员会 (CODATA) 对这一常数的最佳推荐数值为 6.67428×10-11, 相对误差约为万分之一。 在所有基本物理常数中, 这样的精度就算不是最低, 也是接近垫底的。 不过太阳和地球这样的庞然大物毕竟不是每盎司都得斤斤计较的黄金珠宝, 这样的精度对于测定它们的质量来说已是绰绰有余了。

知道了万有引力常数, 我们就可以计算太阳和地球的质量了。 计算的方法很多, 既可以用开普勒第三定律, 也可以通过其它方法, 其中最简单的或许是将我们熟悉的地球表面重力加速度 (9.8 米/秒2) 与万有引力定律给出的加速度相对比[注五]。 既然是自助游, 这点小小计算就留给读者们自己享用了, 计算的结果将会表明: 地球的质量约为 60 万亿亿吨 (6×1024 千克)[注六]。 将这一结果与前面已经推算出的太阳质量与地球质量的比值联系起来, 就立刻可以得到太阳的质量约为 2 千亿亿亿吨 (2×1030 千克)。

这样我们就完成了本次自助游的第一站: 查明太阳的 “资产”。 “资产” 既已查明, 接下来我们就要去关心一下太阳的 “开销” 了, 即它以电磁辐射 (以下将笼统地称为 “光”) 的形式每秒种挥霍掉的能量。 天文学家们把这种挥霍速度称为太阳的光度 (luminosity)。

推算太阳光度的思路很简单, 那就是测定地球公转轨道附近单位时间内垂直入射到单位面积上的阳光能量, 即所谓的太阳常数 (solar constant)。 由于太阳很均匀地把光明洒向人间, 因此一旦知道了太阳常数, 将它乘上半径 1.5 亿公里 (即地球公转轨道半径) 的虚拟球面的面积, 就可以得到太阳的光度。

那么怎样才能测定太阳常数呢? 最简单的办法就是在阳光直射地面的时候, 在地上放一盆 “单位面积” 的凉水, 然后观察它在 “单位时间” 内的温度升高。 将这一温度升高乘上水的比热和质量, 就可以得到水从阳光中吸收的能量。 在理想条件下, 这个能量就等于太阳常数。 当然, 在实际实验中, 阳光未必直射地面, 水面面积未必是 “单位面积”, 观测时间也未必是 “单位时间”, 不过这些小小变通相信是难不倒读者的。

普耶特测量太阳常数的仪器 顺便请读者们思考一个 “正大综艺” 式的问题: 仪器下方的圆盘 e 是做什么用的?
普耶特测量太阳常数的仪器
顺便请读者们思考一个
“正大综艺” 式的问题:
仪器下方的圆盘 e
是做什么用的?

真正困难的是那 “理想条件” 四个字。 要想切实做到这四个字, 必须保证在那个 “单位时间” 里入射到 “单位面积” 上的阳光完全被水吸收, 一点都不损失, 而且还要保证那是水与外界唯一的能量交换。 这两点要想切实做好显然都是很困难的。 在历史上, 最早测定太阳常数的是法国物理学家普耶特 (Claude Pouillet, 1791-1868) 和英国天文学家赫歇耳 (John Herschel, 1792–1871)[注七]。 1837 年, 他们两人彼此独立地进行了实验。 “太阳常数” 这一名称就是普耶特所取的。 为了尽可能接近 “理想条件”, 普耶特和赫歇耳都做了一些努力, 但效果并不理想, 因为有一个因素在当时的条件下是无论如何也没法消除的, 那就是地球大气对阳光的吸收和反射。 这一因素不仅没法消除, 甚至还会随时间、 地点、 阳光倾角、 天气条件等因素的不同而不同, 连校正都很困难。 由于这种因素的干扰, 普耶特测得的太阳常数只有正确值的一半左右, 赫歇耳的稍大些, 但也强不了太多。

为了减少大气干扰, 天文学家们想了很多其它办法, 比如将观测地点移到高山之巅。 但要想真正摆脱地球大气的干扰, 只有到外层空间去测量才行, 这种 “奢侈” 的设想随着航天时代的来临成为了可能。 从 1978 年到 1998 年的二十年间, 天文学家们利用人造卫星对太阳常数进行了持续测定, 结果发现太阳常数约为 1366 瓦/米2, 由此我们可以推算出太阳的光度约为 384 亿亿亿瓦 (3.84×1026 瓦)。 384 亿亿亿瓦是个什么概念呢? 它相当于每秒钟爆炸 920 亿个百万吨级的氢弹! 这样一个结果, 居然可以从观察自家后院的一盆水得到粗略的估计, 这不禁让人想起一个有关美国物理学家费米 (Enrico Fermi, 1901-1954) 的故事来。 1945 年, 在美国进行第一次核试验时, 这位卓越的物理学家只用几张从空中飘落的纸片, 就估算出了爆炸的当量 (估算结果约为实际值的一半)。 这种堪与福尔摩斯相媲美的奇妙推算无疑正是物理学的诸多魅力之一。

不过在这里, 我们要提醒读者一点, 那就是早在对太阳常数作出精确测定之前, 人们就已意识到, 所谓太阳常数其实不是一个真正的常数。 即便扣除地球大气的干扰及地球离太阳的距离变化等因素, 也没有任何物理理由表明太阳常数会是一个真正的常数。 太阳常数的大小完全取决于发生在太阳上的物理过程。 而再显而易见不过的事情就是, 发生在象太阳那样的巨大星球上的物理过程是千变万化的, 绝不可能给出一个简单的常数。 事实上, 对太阳常数的跟踪观测表明, 它的数值随时都在变化, 既有接近周期性的变化, 也有非周期性的变化, 不过变化的幅度倒是很小。

好了, 现在让我们进入本次自助游的最后一站: 推算太阳的表面温度 (以下简称温度)。 太阳很热是凡地球人都知道的事实, “赤日炎炎似火烧” 嘛。 但到底有多 “热” 呢, 仅仅靠形容词是不够的, 温度才是硬道理。 因此很多天文学家都想知道太阳的温度。 事实上, 测定太阳常数的一个早期动机就是想推算太阳的温度。 可惜的是, 人们早期测定的太阳常数及由此推算出的太阳光度虽与现代值相距不远 (起码在同一数量级上), 但将它们与温度联系起来的理论基础却一直空缺着, 这种理论 “真空” 导致了一片混乱的局面。 拿推算温度的手法来说, 可谓是五花八门, 从子虚乌有的 “热力线” (heat-rays) 到并不适用的牛顿冷却定律 (Newton's Law of Cooling), 不一而足。 拿推算结果来讲, 从一千多度到几百万度, 天差地别、 应有尽有。 为了鼓励可靠的研究, 1876年, 法国巴黎科学院 (Paris Academy of Sciences) 特意为推算太阳温度设了一个奖, 可惜还是无济于事, 那奖被法国物理学家瓦耳勒 (Jules Violle, 1841-1923) 以一个很不靠谱的 1,500-2,500°C 的推算所获得。

奥地利物理学家斯忒藩 (1835-1893)
奥地利物理学家斯忒藩
(1835-1893)

对太阳温度进行推算的理论基础直到 1879 和 1884 年, 才先由奥地利物理学家斯忒藩 (Joseph Stefan, 1835-1893) 从实验数据中得到, 后由其同胞玻尔兹曼 (Ludwig Boltzmann, 1844-1906) 从热力学上推出。 他们发现, 一个黑体在单位面积上的辐射功率 (即每秒钟辐射出的能量) 正比于绝对温度的四次方。 这一定律如今被称为斯忒藩-玻耳兹曼定律 (Stefan–Boltzmann law), 其中的比例系数则被称为斯忒藩-玻耳兹曼常数 (Stefan–Boltzmann constant)。 在国际单位制下, 斯忒藩-玻耳兹曼常数的数值为 5.67×10-8 (量纲仍留给读者自己去推导)。 斯忒藩-玻耳兹曼定律虽然针对的是黑体, 但恒星辐射大都比较接近黑体辐射, 因此该定律对恒星辐射也近似适用。 有了这一定律, 推算太阳的表面温度就有了理论基础。 推算的方法很简单: (绝对温标下) 表面温度的四次方乘上斯忒藩-玻耳兹曼常数就是太阳表面每平方米的辐射功率, 再乘上太阳的表面积, 就是太阳的总辐射功率 (即每秒钟辐射出的总能量), 也就是我们前面刚刚推算过的太阳的光度。 由此不难得到——请读者们 “自助” 完成——太阳的表面温度 (确切地说是光球层的有效温度) 约为 5,800K (K 为绝对温标, 摄氏温标的 0°C 约为 273K, 本系列今后若提到温度而不注明温标, 指的都是 K)。

除上面这种方法外, 我们再介绍一种虽然比较粗糙, 但却别有趣味的方法。 在上面的推算中, 除用到斯忒藩-玻耳兹曼定律外, 还需要知道斯忒藩-玻耳兹曼常数的数值, 以及太阳的光度。 但事实上, 只要有斯忒藩-玻耳兹曼定律所给出的四次方关系, 即便不知道斯忒藩-玻耳兹曼常数的大小, 甚至不知道太阳的光度, 我们依然能推算出太阳的表面温度。 方法很简单: 我们知道, 地球表面的平均温度约为 290K (即 17°C——这是对地域和时间的双重平均), 虽然很容易被忽略, 但这样温度的星球也会向外辐射能量, 而且这个能量也可以近似地用斯忒藩-玻耳兹曼定律来描述。 由于不能象太阳那样亲自发光, 地球表面的能量主要来自阳光[注八]。 因此地球能维持目前的表面温度, 说明它向外辐射的能量与它所接收的阳光能量基本相等。 利用这一关系, 我们就可以推算出太阳的表面温度。 推算的过程很简单, 读者不妨自己试试, 您将会发现, 斯忒藩-玻耳兹曼常数在推算过程中会自动消去, 推算的结果约为 6,000K, 虽不如前面的方法精确, 却也相差不远。

这个方法的趣味之处就在于它是利用行星的温度来反推恒星的温度。 但更有趣的是, 将它反过来用, 我们也可以由恒星的温度来推算出一定距离外的行星温度。 这一特点常被天文学家们用来估计恒星周围有可能抚育生命的所谓可栖息带 (habitable zone) 的位置和宽度。 当然, 这种推算的局限性是很大的, 比如它既要求行星上存在水和大气那样能使温度均匀的东西, 又要求那大气不能象金星大气那样富含温室效应气体。

自此我们就圆满完成了本次自助游的全部目标, 即本节标题所宣称的推算太阳的质量、 光度和表面温度。 在 “游戏结束” 之前, 我们再派发一个小红包——介绍一下太阳的光谱类型。 在斯忒藩-玻耳兹曼定律问世之后不久, 德国物理学家维恩 (Wilhelm Wien, 1864-1928) 用热力学方法证明了一个定律, 叫做维恩位移定律 (Wien's displacement law)。 这一定律表明, 表面温度越高的物体, 其光谱分布就越往短波方向偏移, 表现在颜色上则是往蓝色方向偏移。 利用这一特点, 天文学家们将恒星依照光谱特征分为了七个大类, 分别标记为 O, B, A, F, G, K, M。 其中 O 型天体为蓝色, 表面温度最高, 在 33,000K 以上, M 型天体为红色, 表面温度最低, 在 3,700K 以下。 象太阳这样的黄色天体为 G 型, 表面温度在 5,200-6,000K 之间。 在每个类型之中, 依照温度从高到低的顺序又分出十个亚型, 分别用阿拉伯数字 0-9 来表示, 0 表示温度最高, 9 表示温度最低。 太阳的光谱类型为 G2, 在 G 型之中算是温度较高的[注九]

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注释

  1. 按照今天的称呼惯例, 第谷·布拉赫应被称为 “布拉赫”, 就象艾萨克·牛顿被称为 “牛顿”, 阿尔伯特·爱因斯坦被称为 “爱因斯坦” 一样。 不过在第谷所生活的年代, 当地的习惯是用名而非姓作为称呼, 因此第谷·布拉赫就被称为了 “第谷”, 并延用至今。
  2. 在开普勒时代, 引力的概念尚未形成。 不过开普勒本人倒是很早就猜测过太阳是行星运动的原因。 开普勒第三定律的发现使他更坚定了自己的猜测。 因为这一定律表明, 离太阳越近的行星运动得越快, 这种相关性强烈地暗示着行星运动的原因来自太阳。 据说开普勒是作出这种猜测的第一人 (不过他所猜测的太阳对行星的影响类似于磁力, 而不是引力)。
  3. 感兴趣的读者可以针对圆周运动这一特例自行证明这一点。 当然, 就象很多其它经验规律一样, 开普勒定律的成立是有条件的, 比如要忽略来自其它天体的影响。 而且, 开普勒第三定律中的那个常数实际上是正比于中心天体及绕其运动的天体的总质量, 只有在中心天体的质量远大于绕其运动的天体的质量时, 才可以近似为中心天体的质量。 对太阳系的全部行星和卫星而言, 这一近似都基本成立。
  4. 我们在 后文 中将会看到, 太阳物质的密度分布是极不均匀的, 从核心到外层有着天壤之别。
  5. 不过这个号称简单的方法需要用到万有引力定律的一个不太简单的推论: 那就是质量呈球对称分布的物体在其外部产生的引力相当于全部质量都集中在球心。 这个推论在牛顿那个时代是只有牛顿才能证明的独门绝活, 直到今天也足以难倒一部分理工科大学生。
  6. 将这一结果与地球的直径联系起来, 就可以得到地球的平均密度约为 5.5 克/厘米3。 若进一步与前面得到的太阳平均密度约为地球平均密度的 1/4 联系起来, 则可以得到太阳的平均密度约为 1.4 克/厘米3
  7. 这位赫歇耳通常称为小赫歇耳, 他是天王星的发现者、 有时称为老赫歇耳的 威廉·赫歇耳 (William Herschel, 1738–1822) 的儿子。 说到老赫歇耳, 顺便提一下, 他也在某种程度上测定过太阳的辐射能量。 在 1800 年所进行的一组观测中, 他曾将一个温度计放在太阳光谱的红端以外 (他的本意是让那个温度计不被阳光照到, 从而可以用来记录环境温度), 结果发现记录下来的温度存在反常升高, 由此他推断出阳光中存在着波长比红光更长的肉眼无法看见的部分, 即红外线。
  8. 除阳光外, 在地球表面所接受的能量中也有来自地球内部的贡献。 不过后者的平均功率只有 0.06 瓦/米2, 不到阳光能量的万分之一, 在我们的计算中可以忽略。
  9. 在有些文献中, 太阳的光谱类型被标记为 G2V, 这里的 V 所表示的不是英文字母 “V”, 而是罗马数字的 “5”, 它来自另一种分类细则, 所表示的含义是主序星 (即壮年的恒星)。

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