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火箭: 宇航时代的开拓者 (上)

- 星际旅行漫谈 • 火箭 -

- 卢昌海 -

Space, the final frontier!

- Star Trek: The Next Generation

一. 引言

这个 星际旅行系列 系列原本是为了讨论未来的星际旅行技术而写的。 不过今天却要来讨论一种比较 “土” 的技术: 火箭。 之所以讨论火箭, 主要的原因有两个: 一个是因为我国的第一艘载人飞船 “神舟五号” 即将发射[补注一], 在这个中国宇航员即将叩开星际旅行之门的时刻, 我们这个系列不应缺席, 也不应让火箭这位宇航时代劳苦功高的开拓者在这个系列中缺席。 另一个是因为火箭虽然是一种不那么 “未来” 的技术, 但在我和读者诸君能够看得到的未来, 承载人类星际旅行之梦的技术很有可能仍然是火箭这匹识途的老马。

二. 宇宙速度

火箭理论的先驱、 俄国科学家齐奥尔科夫斯基 (Konstantin Tsiolkovsky, 1857-1935) 有一句名言: “地球是人类的摇篮。 但人类不会永远躺在摇篮里, 他们会不断探索新的天体和空间。 人类首先将小心翼翼地穿过大气层, 然后再去征服太阳周围的整个空间”。

星际旅行是一条漫长而坎坷的征途, 人类迄今在这征途上所走过的部分几乎恰好就是 “征服太阳周围的整个空间”, 而这征途上的第一站也正是 “穿过大气层”[注一]

在人类发射的航天器中, 数量最多的就是那些刚刚 “穿过大气层” 的航天器——人造地球卫星, 迄今已发射了数以千计。 其中第一颗是 1957 年 10 月 4 日从苏联的拜克努尔航天发射场 (Baikonur Cosmodrome) 发射升空的 “卫星一号” (Sputnik 1)。

牛顿《自然哲学的数学原理》的插图
牛顿《自然哲学的数学原理》的插图

从运动学上讲, 这些人造地球卫星的飞行轨迹与我们随手抛掷的一块石头的飞行轨迹是属于同一类型的。 我们抛掷石头时, 抛掷得越快, 石头飞得就越远, 石头飞行轨迹的弯曲程度也就越小。 倘若石头抛掷得如此之快, 以致于飞行轨迹的弯曲程度与地球表面的弯曲程度相同, 石头就永远也不会落到地面了[注二]。 这样的石头就变成了一颗环绕地球运转的小卫星, 这一点早在牛顿 (Isaac Newton, 1642-1727) 的《自然哲学的数学原理》(Mathematical Principles of Natural Philosophy) 中就有过精彩的图示 (见右图)。 一般地讲, 石头也好, 卫星也罢, 它们的飞行轨迹都是椭圆[注三]。 对于石头来说, 如果抛掷得不够快, 那它很快就会落到地面, 从而我们就只能看到椭圆轨道的一个极小的部分, 那样的部分近似于一段抛物线 (感兴趣的读者请自行证明这一点)。

那么, 一块石头要抛掷得多快才能不落回地面呢? 或者说一枚火箭要能达到什么样的速度才能发射人造地球卫星呢? 这个问题的答案很简单——尤其是对于圆轨道的情形。 在圆轨道情形下, 假如轨道的半径为 r, 卫星的飞行速度为 v[注四], 则维持卫星飞行所需的向心力为 F=mv2/r (m 为卫星质量), 这一向心力来源于地球对卫星的引力, 其大小为 F=GMm/r2 (M 为地球质量)。 由此可以得到 v=(GM/r)1/2。 假如卫星轨道很低 (即轨道离地球表面很近), 则 r 约等于地球半径 R, 由此可得 v≈7.9 公里/秒。 这个速度被称为 “第一宇宙速度” (first cosmic velocity), 它是人类迈向星空所要达到的最低速度。

不过, 细心的读者可能会从上面的计算结果中提出一个问题, 那就是 v=(GM/r)1/2 随着轨道半径的增加反而在减小, 这说明轨道越高的卫星飞行速度越小。 但是直觉上, 把东西扔得越高难道不应该越困难吗? 再说, 倘若把卫星发射得越高所需的速度反而越小, 那么 v≈7.9 公里/秒 这个 “第一宇宙速度” 岂不就不再是发射人造地球卫星所要达到的最低速度了? 这些问题的出现, 表明对于发射卫星来说, 卫星的飞行速度并不是所需考虑的唯一因素。 那么, 还有什么因素需要考虑呢? 答案是很多, 其中最重要的一个是引力势能。 事实上描述发射卫星困难程度的更有价值的物理量不是卫星的飞行速度, 而是发射所需的能量, 也就是把卫星从地面上的静止状态送到轨道上的运动状态所需提供的能量。 因此我们改从这个角度来分析。 在地面上, 卫星的动能为零[注五], 势能为 —GMm/R, 总能量为 —GMm/R; 在轨道上, 卫星的动能为 mv2/2=GMm/2r (这里运用了前面得到的 v=(GM/r)1/2), 势能为 —GMm/r, 总能量为 —GMm/2r。 因此发射卫星所需的能量为 GMm/R—GMm/2r。 这一能量相当于把卫星加速到 v=[GM(2/R—1/r)]1/2 所需的能量。 由于 r>R, 这一速度显然大于 v=(GM/R)1/2≈7.9 公里/秒 (而且也符合轨道越高发射所需能量越多这一 “直觉”)。 这表明 “第一宇宙速度” 的确是发射人造地球卫星所需的最低速度, 只不过它表示的并不是卫星的飞行速度, 而是火箭提供给卫星的能量所对应的等价速度。 在发射卫星的全过程中, 火箭本身的飞行速度完全可以在任何时刻都低于这一速度。

上面的分析是针对圆轨道的, 那么椭圆轨道的情况如何呢? 在椭圆轨道上, 卫星的飞行速度不是恒定的, 分析起来要困难一些, 但结果却同样很简单, 卫星在椭圆轨道上的总能量仍然为 —GMm/2r, 只不过这里 r 表示所谓的 “半长径”, 即椭圆轨道长轴长度的一半。 因此上面关于 “第一宇宙速度” 是发射人造地球卫星所需的最小 (等价) 速度的结论对于椭圆轨道也成立, 是一个普遍的结论。

在人造地球卫星之后, 下一步当然就是要把航天器发射到更远的地方——比方说月球上。 为了实现这一步, 火箭需要达到的速度又是多少呢? 这个问题的答案也很简单, 不过在回答之前先要对 “更远的地方” 做一个界定。 所谓 “更远的地方”, 指的是离地心的距离远比地球半径 (约为 6.4×103 公里) 大, 但又远比地球与太阳之间的距离 (约为 1.5×108 公里) 小。 之所以要有后面这一限制, 是因为在讨论中我们要忽略太阳的引力场[注六]。 由于航天器离地心的距离远比地球半径大, 因此与发射前在地面上的引力势能相比, 它在发射后的引力势能可以被忽略; 另一方面, 由于航天器不再做环绕地球的运动, 其动能也就不再受到限制, 最小可能的动能为零 (请读者想一想, 这一动能是相对于什么参照系的?)。 因此发射后航天器的最小总能量近似为零。 由于发射前航天器的总能量为 —GMm/R, 因此需要由火箭提供给航天器的能量为 GMm/R, 相当于把航天器加速到 v=(2GM/R)1/2≈11.2 公里/秒 的速度。 这个速度被称为 “第二宇宙速度” (second cosmic velocity), 有时也被称为摆脱地球引力束缚所需的速度, 它也是一个等价速度。

更进一步, 倘若我们想把航天器发射得更远些, 比方说发射到太阳系之外——就象本系列 序言 中所提到的 “先驱者号” (Pioneer) 探测器一样, 火箭需要达到的速度又是多少呢? 这个问题比前两个问题要复杂一些, 因为所涉及的因素有地球与太阳两个星球的引力场, 以及地球本身的运动。 从太阳引力场的角度看, 这个问题所问的其实就是在地球轨道所在处、 相对于太阳的 “第二宇宙速度”, 即 v=(2GMS/RSE)1/2 (其中 MS 为太阳质量, RSE 为地球轨道的半径, 也即太阳与地球之间的距离)[注七]。 这一速度大约为 42.1 公里/秒。 相对与第一、 第二宇宙速度来说, 这是一个很大的速度。 但幸运的是, 我们的地球本身就是一艘巨大的 “宇宙飞船”, 它环绕太阳飞行的速度约为 29.8 公里/秒。 因此, 如果航天器是沿着地球轨道运动的方向发射的, 那么在远离地球时它相对于地球只要有 v'=42.1—29.8=12.3 公里/秒 的速度就行了。 在地心参照系中, 发射这样的一个航天器所需要的能量为 mv'2/2 + GMm/R (其中后一项为克服地球引力场所需要的能量, 即前面计算过的把航天器加速到第二宇宙速度所需要的能量), 相当于把航天器加速到 v≈16.7 公里/秒 的速度。 这一速度被称为 “第三宇宙速度” (third cosmic velocity), 有时也被称为摆脱太阳引力束缚所需的速度, 它同样也是一个等价速度, 而且还是针对在地球上沿地球轨道运动方向发射航天器这一特殊情形的。

以上三个 “宇宙速度” 就是迄今为止火箭技术所跨越的三个阶梯。 在关于 “第三宇宙速度” 的讨论中我们看到, 行星本身的轨道运动速度对于把航天器发射到遥远的行星际及恒星际空间是很有帮助的。 这种帮助不仅在发射时可以大大减少发射所需的能量, 而且对于飞行中的航天器来说, 倘若巧妙地安排航线, 也可以起到 “借力飞行” 的作用, 比如 “旅行者号” 就曾利用木星的引力场及轨道运动速度来进行加速。

三. 齐奥尔科夫斯基公式

俄国科学家齐奥尔科夫斯基
俄国科学家齐奥尔科夫斯基

上节 中我们讨论了为发射不同类型的航天器, 火箭所要达到的速度。 与火箭之前的各种技术相比, 这种速度是很高的。 在早期的科幻小说中, 人们曾设想过用所谓的 “超级大炮” 来发射载人航天器。 其中最著名的是法国科幻小说家凡尔纳 (Jules Verne, 1828-1905) 的作品。 凡尔纳在 1865 年发表的小说《从地球到月球》(From the Earth to the Moon) 中曾经让三位宇航员挤在一枚与 “神舟号” 飞船的轨道舱差不多大的特制炮弹中, 用一门炮管长达 900 英尺 (约 300 米) 的超级大炮发射到月球上去 (最终没能击中月球, 而成为了环绕月球运动的卫星)。 不过, 凡尔纳虽有非凡的想象力, 却似乎缺乏必要的物理学及生理学知识。 他所设想的超级大炮若真的在 300 米的炮管内把 “炮弹” 加速到 11.2 公里/秒 (第二宇宙速度), 则 “炮弹” 的平均加速度必须达到 200,000 米/秒2 以上, 也就是 20,000g (g≈9.8 米/秒2 为地球表面的引力加速度) 以上。 但是脆弱的人类身体所能承受的最大加速度只有不到 10g。 这两者之间的巨大差异无疑是灾难性的, 因此凡尔纳的炮弹虽然制作精致, 乘坐起来却一点也不会舒适。 不仅不会舒适, 且有性命之虞。 事实上, 英勇的宇航员们在 “炮弹” 出膛时早就变成了肉饼, 炮弹最后有没有击中月球对他们都已不再重要了。 而且若炮弹真的击中月球的话, 其着陆方式属于所谓的 “硬着陆”, 就象陨石撞击地球一样, 着陆时的速度差不多就是月球上的第二宇宙速度 (约为 2.4 公里/秒), 相当于在地球上从比珠穆朗玛峰还高 30 倍的山峰上摔到地面, 这无异是要把肉饼进一步摔成肉酱。

因此对于发射航天器 (尤其是载人航天器) 来说, 很重要的一点就是航天器的加速过程必须发生在一个较长的时间里 (减速过程也一样)。 但是加速过程持续的时间越长, 在加速过程中航天器所飞行的距离也就越大。 以凡尔纳的超级大炮为例, 倘若炮弹的加速度小于 10g, 则加速过程必须持续 100 秒以上, 在这段时间内炮弹飞行的距离在 500 公里 以上。 炮弹的加速度越小, 这段距离就越大。 由于炮弹本身没有动力, 因此这段距离必须都在炮管内。 这就是说, 凡尔纳超级大炮的炮管起码要有 500 公里长! 建造这样规模的大炮显然是很困难的, 别说凡尔纳时代的技术无法办到, 即使在今天也是申请不到经费的。 因此航天器的发射必须另辟奚径[注八]。 火箭便是一种与凡尔纳大炮完全不同但却非常有效的技术手段。

火箭是一种利用反冲作用推进的飞行器, 即通过向与飞行相反的方向喷射物质而前进的飞行器。 从物理学上讲这种飞行器所利用的是动量守恒定律。 下面我们就来对火箭的飞行动力学作一个简单分析。

假设火箭在单位时间内喷射的物质质量为 —dm/dt (m 为火箭质量, dm/dt<0), 喷射物相对于火箭的速度大小为 u (方向与火箭飞行方向相反), 则在时间间隔 dt 内, 火箭的速度会因为喷射而得到一个增量 dv。 依据动量守恒定律, 在火箭参照系中可以得到:

mdv = —udm

对上式积分并注意到火箭的初速度为零, 便可得到:

v = u ln(mi/mf)

其中 mi 与 mf 分别为火箭的初始质量及推进过程完成后的质量 (显然 mi>mf)。 这一公式被称为齐奥尔科夫斯基公式 (Tsiolkovsky formula), 它是由上文提到过的俄国科学家齐奥尔科夫斯基发现的, 时间是 1897 年, 那时候的天空还是人类的 “禁地”, 连飞机都还没有上天[注九]。 齐奥尔科夫斯基因为在航天领域的一系列卓越的开创性工作, 而被许多人尊称为 “航天之父” (father of astronautics) 或 “火箭之父” (father of rocketry)。

从齐奥尔科夫斯基公式中我们可以看到, 火箭所能达到的速度可以远远地高于喷射物的喷射速度。 这一点是很重要的, 因为这意味着我们可以通过一种较低的喷射速度来达到航天器所需要的高速度, 这在技术上远比直接达到高速度容易得多。 从某种意义上讲, 凡尔纳的超级大炮之所以没能成为一种载人航天器的发射装置, 正是因为它试图直接达到航天器所需要的高速度。

但是火箭虽然能够达到远比喷射物喷射速度更高的速度, 为此而付出的代价却也不小, 因为火箭所要达到的速度越高, 它的有效载荷就必须越小。 这一点从齐奥尔科夫斯基公式中可以很容易地看到。 我们可以把公式改写为: mf = mi exp(—v/u), 由此可见, 火箭的飞行速度 v 越高, 它的有效载荷 (mf 中的一部分) 也就越小。 假如我们想用 u=1 公里/秒 的喷射速度来达到第一宇宙速度 (即将有效载荷送入近地轨道), 则 mf/mi≈0.00037, 也就是说一枚发射质量为一千吨的火箭只能让几百公斤的有效载荷达到第一宇宙速度, 这样的效率显然是太低下了。

为了克服这一困难, 齐奥尔科夫斯基提出了多级火箭的设想。 多级火箭的好处是在每一级火箭的燃料用尽后可以把该级火箭的外壳抛弃掉, 从而减轻下一级火箭所负载的质量。 在理论上, 火箭的级数越多, 运载效率就越高, 不过在实际上, 超过三级的火箭其技术复杂性的增加超过了运载效率上的优势, 使用起来得不偿失。 因此, 目前我们使用的火箭大都是三级火箭。 即便使用多级火箭, 航天飞行的消耗依然是惊人的, 通常一枚发射质量为几百吨的火箭只能将几吨的有效载荷送入近地轨道, 比如发射 “神舟号” 飞船的长征二号 F 型火箭发射质量约为 480 吨, 近地轨道的有效载荷约为 8 吨。

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注释

  1. 大气层与行星际空间是连续衔接的, 所谓 “穿过大气层” 指的是穿过厚度在百余公里以内的相对稠密的大气层。
  2. 当然, 这里我们要忽略空气阻力, 并且还要忽略地球表面的地形起伏。
  3. 这里 “卫星” 指的是环绕地球运动的物体, 其轨迹局限在有限区域内 (否则的话, 可能的轨迹将包括抛物线与双曲线)。 同时我们还假定地球的引力场是一个严格的平方反比中心力场, 且忽略任何其它星体的引力场。
  4. 确切地讲是指速度的大小, 下文提到的 “向心力”、 “引力” 等也往往指的是大小, 请读者依据上下文自行判断。
  5. 这里参照系的原点取在地心, 且忽略了由地球自转导致的卫星动能 (因此而带来的误差小于 1%)。
  6. 确切地讲是忽略太阳引力场中引力势能的变化。 在这一限制之下其它行星的引力场也同样可以忽略。
  7. 这里我们忽略了地球轨道的微小椭率, 而将之视为圆轨道。
  8. 类似于凡尔纳大炮那样的装置在表面引力较弱的星球——比如月球——上建造起来就会容易许多, 因此曾有人设想它可以成为未来月球基地的航天器发射装置。
  9. 这一公式的正式发表是在 1903 年, 与莱特兄弟 (Wright brothers) 的飞机同一年。 另外, 新近发现的一些史料表明, 英国皇家军事学院 (Royal Military Academy) 的科学家早在 1813 年就得到过类似的结果。

补注

  1. 本文发表之后数小时, 北京时间 2003 年 10 月 15 日早晨 9 时整, “神舟五号” 飞船载着宇航员杨利伟从酒泉卫星发射中心发射升空。 飞船升空 587 秒后与火箭分离, 进入轨道倾角为 42.4 度、 近地点高度为 200 公里、 远地点高度为 350 公里的预定椭圆轨道。 飞船飞行至第五圈时变轨进入高度为 343 公里的近地圆轨道。 北京时间 2003 年 10 月 16 日早晨 6 时 23 分, 飞船在环绕地球 14 圈后在内蒙古四子王旗北部的主着陆场安全着陆, 不久杨利伟自主出舱。 至此, 我国第一次载人航天飞行取得圆满成功。 杨利伟成为我国第一位进入太空的宇航员, 我国成为继前苏联与美国后第三个独立掌握载人航天技术的国家。 “神舟五号” 的发射是人类历史上的第 241 次载人飞行。 杨利伟是人类历史上进入太空的第 952 人次。 [2003-10-16]

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