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除了自己的无知， －苏格拉底 |
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喜欢本人文字的读者 火箭: 宇航时代的开拓者 (上) - 星际旅行漫谈 • 火箭 - Space, the final frontier! - Star Trek: The Next Generation 这个 星际旅行系列 系列原本是为了讨论未来的星际旅行技术而写的。 不过今天却要来讨论一种比较 “土” 的技术： 火箭。 之所以讨论火箭， 主要的原因有两个： 一个是因为我国的第一艘载人飞船 “神舟五号” 即将发射[补注一]， 在这个中国宇航员即将叩开星际旅行之门的时刻， 我们这个系列不应缺席， 也不应让火箭这位宇航时代劳苦功高的开拓者在这个系列中缺席。 另一个是因为火箭虽然是一种不那么 “未来” 的技术， 但在我和读者诸君能够看得到的未来， 承载人类星际旅行之梦的技术很有可能仍然是火箭这匹识途的老马。 火箭理论的先驱、 俄国科学家齐奥尔科夫斯基 (Konstantin Tsiolkovsky, 1857-1935) 有一句名言： “地球是人类的摇篮。 但人类不会永远躺在摇篮里， 他们会不断探索新的天体和空间。 人类首先将小心翼翼地穿过大气层， 然后再去征服太阳周围的整个空间”。 星际旅行是一条漫长而坎坷的征途， 人类迄今在这征途上所走过的部分几乎恰好就是 “征服太阳周围的整个空间”， 而这征途上的第一站也正是 “穿过大气层”[注一]。 在人类发射的航天器中， 数量最多的就是那些刚刚 “穿过大气层” 的航天器——人造地球卫星， 迄今已发射了数以千计。 其中第一颗是 1957 年 10 月 4 日从苏联的拜克努尔航天发射场 (Baikonur Cosmodrome) 发射升空的 “卫星一号” (Sputnik 1)。
从运动学上讲， 这些人造地球卫星的飞行轨迹与我们随手抛掷的一块石头的飞行轨迹是属于同一类型的。 我们抛掷石头时， 抛掷得越快， 石头飞得就越远， 石头飞行轨迹的弯曲程度也就越小。 倘若石头抛掷得如此之快， 以致于飞行轨迹的弯曲程度与地球表面的弯曲程度相同， 石头就永远也不会落到地面了[注二]。 这样的石头就变成了一颗环绕地球运转的小卫星， 这一点早在牛顿 (Isaac Newton, 1642-1727) 的《自然哲学的数学原理》(Mathematical Principles of Natural Philosophy) 中就有过精彩的图示 (见右图)。 一般地讲， 石头也好， 卫星也罢， 它们的飞行轨迹都是椭圆[注三]。 对于石头来说， 如果抛掷得不够快， 那它很快就会落到地面， 从而我们就只能看到椭圆轨道的一个极小的部分， 那样的部分近似于一段抛物线 (感兴趣的读者请自行证明这一点)。 那么， 一块石头要抛掷得多快才能不落回地面呢？ 或者说一枚火箭要能达到什么样的速度才能发射人造地球卫星呢？ 这个问题的答案很简单——尤其是对于圆轨道的情形。 在圆轨道情形下， 假如轨道的半径为 r， 卫星的飞行速度为 v[注四]， 则维持卫星飞行所需的向心力为 F=mv2/r (m 为卫星质量)， 这一向心力来源于地球对卫星的引力， 其大小为 F=GMm/r2 (M 为地球质量， G 为万有引力常数)。 由此可以得到 v=(GM/r)1/2。 假如卫星轨道很低 (即轨道离地球表面很近)， 则 r 约等于地球半径 R， 由此可得 v≈7.9 公里/秒。 这个速度被称为 “第一宇宙速度” (first cosmic velocity)， 它是人类迈向星空所要达到的最低速度。 不过， 细心的读者可能会从上面的计算结果中提出一个问题， 那就是 v=(GM/r)1/2 随着轨道半径的增加反而在减小， 这说明轨道越高的卫星飞行速度越小。 但是直觉上， 把东西扔得越高难道不应该越困难吗？ 再说， 倘若把卫星发射得越高所需的速度反而越小， 那么 v≈7.9 公里/秒 这个 “第一宇宙速度” 岂不就不再是发射人造地球卫星所要达到的最低速度了？ 这些问题的出现， 表明对于发射卫星来说， 卫星的飞行速度并不是所需考虑的唯一因素。 那么， 还有什么因素需要考虑呢？ 答案是很多， 其中最重要的一个是引力势能。 事实上描述发射卫星困难程度的更有价值的物理量不是卫星的飞行速度， 而是发射所需的能量， 也就是把卫星从地面上的静止状态送到轨道上的运动状态所需提供的能量。 因此我们改从这个角度来分析。 在地面上， 卫星的动能为零[注五]， 势能为 —GMm/R， 总能量为 —GMm/R； 在轨道上， 卫星的动能为 mv2/2=GMm/2r (这里运用了前面得到的 v=(GM/r)1/2)， 势能为 —GMm/r， 总能量为 —GMm/2r。 因此发射卫星所需的能量为 GMm/R—GMm/2r。 这一能量相当于把卫星加速到 v=[GM(2/R—1/r)]1/2 所需的能量。 由于 r>R， 这一速度显然大于 v=(GM/R)1/2≈7.9 公里/秒 (而且也符合轨道越高发射所需能量越多这一 “直觉”)。 这表明 “第一宇宙速度” 的确是发射人造地球卫星所需的最低速度， 只不过它表示的并不是卫星的飞行速度， 而是火箭提供给卫星的能量所对应的等价速度。 在发射卫星的全过程中， 火箭本身的飞行速度完全可以在任何时刻都低于这一速度。 上面的分析是针对圆轨道的， 那么椭圆轨道的情况如何呢？ 在椭圆轨道上， 卫星的飞行速度不是恒定的， 分析起来要困难一些， 但结果却同样很简单， 卫星在椭圆轨道上的总能量仍然为 —GMm/2r， 只不过这里 r 表示所谓的 “半长径”， 即椭圆轨道长轴长度的一半。 因此上面关于 “第一宇宙速度” 是发射人造地球卫星所需的最小 (等价) 速度的结论对于椭圆轨道也成立， 是一个普遍的结论。 在人造地球卫星之后， 下一步当然就是要把航天器发射到更远的地方——比方说月球上。 为了实现这一步， 火箭需要达到的速度又是多少呢？ 这个问题的答案也很简单， 不过在回答之前先要对 “更远的地方” 做一个界定。 所谓 “更远的地方”， 指的是离地心的距离远比地球半径 (约为 6.4×103 公里) 大， 但又远比地球与太阳之间的距离 (约为 1.5×108 公里) 小。 之所以要有后面这一限制， 是因为在讨论中我们要忽略太阳的引力场[注六]。 由于航天器离地心的距离远比地球半径大， 因此与发射前在地面上的引力势能相比， 它在发射后的引力势能可以被忽略； 另一方面， 由于航天器不再做环绕地球的运动， 其动能也就不再受到限制， 最小可能的动能为零 (请读者想一想， 这一动能是相对于什么参照系的？)。 因此发射后航天器的最小总能量近似为零。 由于发射前航天器的总能量为 —GMm/R， 因此需要由火箭提供给航天器的能量为 GMm/R， 相当于把航天器加速到 v=(2GM/R)1/2≈11.2 公里/秒 的速度。 这个速度被称为 “第二宇宙速度” (second cosmic velocity)， 有时也被称为摆脱地球引力束缚所需的速度， 它也是一个等价速度。 更进一步， 倘若我们想把航天器发射得更远些， 比方说发射到太阳系之外——就像本系列 序言 中所提到的 “先驱者号” (Pioneer) 探测器一样， 火箭需要达到的速度又是多少呢？ 这个问题比前两个问题要复杂一些， 因为所涉及的因素有地球与太阳两个星球的引力场， 以及地球本身的运动。 从太阳引力场的角度看， 这个问题所问的其实就是在地球轨道所在处、 相对于太阳的 “第二宇宙速度”， 即 v=(2GMS/RSE)1/2 (其中 MS 为太阳质量， RSE 为地球轨道的半径， 也即太阳与地球之间的距离)[注七]。 这一速度大约为 42.1 公里/秒。 相对与第一、 第二宇宙速度来说， 这是一个很大的速度。 但幸运的是， 我们的地球本身就是一艘巨大的 “宇宙飞船”， 它环绕太阳飞行的速度约为 29.8 公里/秒。 因此， 如果航天器是沿着地球轨道运动的方向发射的， 那么在远离地球时它相对于地球只要有 v'=42.1—29.8=12.3 公里/秒 的速度就行了。 在地心参照系中， 发射这样的一个航天器所需要的能量为 mv'2/2 + GMm/R (其中后一项为克服地球引力场所需要的能量， 即前面计算过的把航天器加速到第二宇宙速度所需要的能量)， 相当于把航天器加速到 v≈16.7 公里/秒 的速度。 这一速度被称为 “第三宇宙速度” (third cosmic velocity)， 有时也被称为摆脱太阳引力束缚所需的速度， 它同样也是一个等价速度， 而且还是针对在地球上沿地球轨道运动方向发射航天器这一特殊情形的。 以上三个 “宇宙速度” 就是迄今为止火箭技术所跨越的三个阶梯。 在关于 “第三宇宙速度” 的讨论中， 我们看到， 行星本身的轨道运动速度对于把航天器发射到遥远的行星际及恒星际空间是很有帮助的。 这种帮助不仅在发射时可以大大减少发射所需的能量， 而且对于飞行中的航天器来说， 倘若巧妙地安排航线， 也可以起到 “借力飞行” 的作用， 比如 “旅行者号” 就曾利用木星的引力场及轨道运动速度来进行加速。
本文已收录于电子书《星际旅行漫谈》
二零零三年十月十四日写于纽约
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