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火箭: 宇航时代的开拓者 (下)

- 星际旅行漫谈 • 火箭 -

- 卢昌海 -

Space, the final frontier!

- Star Trek: The Next Generation

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四. 接近光速

前面说过, 这个 星际旅行系列 主要是为了讨论未来的星际旅行技术而写的, 因此, 在这里我们也要把目光放远些, 看看 上节 讨论的火箭动力学在火箭速度持续提高, 乃至接近光速时会如何。 截至 2013 年 7 月, 人类发射的航天器中飞得最远的是 1977 年 9 月 5 日发射的 “旅行者一号” (Voyager 1)。 经过近 36 年的漫长飞行, 它已经飞到了离太阳约 187 亿公里处, 远远超出了太阳系已知最外围的行星——海王星, 或曾经最外围的行星——冥王星——的轨道。 但是, 这个距离跟离太阳最近的恒星——半人马座比邻星 (Proxima Centauri)——的距离相比, 还不到万分之五。 由此可见, 人类要想走得更远, 必须要有更快的航天器。 在齐奥尔科夫斯基公式中火箭的速度是没有上限的, 通过提高喷射物的喷射速度, 通过增加火箭质量中喷射物所占的比例, 火箭在原则上可以达到任意高的速度。 但是, 这一点显然是错误的, 因为物体的运动速度不可能超过光速, 这是相对论的要求[注一]。 这表明, 当火箭的运动速度接近光速时, 齐奥尔科夫斯基公式将不再成立。 那么, 有没有一个比齐奥尔科夫斯基公式更普遍的公式, 在火箭运动速度接近光速时仍成立呢? 这就是本节所要讨论的问题。

首先, 简单的答案是: 这样的公式是存在的。 事实上, 这样的公式不仅存在, 而且并不复杂, 因此我们干脆在这里把它推导出来, 以满足大家的好奇心。 这一推导所依据的基本原理仍然是动量守恒定律, 我们也仍然在火箭参照系中计算火箭速度的增量。 这里要补充说明的是, 所谓火箭参照系, 指的是所考虑的瞬间与火箭具有同样运动速度的惯性参照系 (因此在不同的时刻, 火箭参照系是不同的)。 我们用带撇的符号表示火箭参照系中的物理量 (这是讨论相对论问题的惯例)。 与 上节 的讨论相仿, 假设火箭在单位时间内喷射的物质质量为 —dm'/dt' (m' 为火箭质量, dm'/dt'<0), 喷射物相对于火箭的速度大小为 u (方向与火箭飞行方向相反), 则在时间间隔 dt' 内, 火箭的速度会因为喷射而得到一个增量 dv'。 依据动量守恒定律, 在火箭参照系中可以得到:

m'dv' = —udm'

这里 dm' 为喷射物的相对论质量 (运动质量), 这一公式对于 u 接近甚至等于光速的情形也成立[注二]。 在非相对论的情形下, 上面所有带撇的物理量都等于静止参照系 (地心参照系) 中的物理量, 因此对上述公式可以直接积分, 这种积分的含义是对上式中的速度增量进行累加。 但在相对论中, 速度合成的规律是非线性的, 把这些在不同时刻——因而在不同参照系中——的速度增量直接累加是没有意义的, 因此上述速度增量必须先换算到静止参照系中才能积分。

运用相对论的速度合成公式, dv' 所对应的静止系中的速度增量为:

dv = (dv' + v)/(1 + vdv'/c2) — v = (1 — v2/c2)dv'

将这一结果与在火箭参照系中所得的关于 dv' 的公式联立可得:

dv / (1 — v2/c2) = —u dm'/m'

对这一公式积分, 并进行简单处理, 便可得到:

v = c tanh[(u/c) ln(mi/mf)]

其中火箭的初始质量 mi 与推进过程完成后的质量 mf 都是在火箭参照系中测量的。 这就是齐奥尔科夫斯基公式在相对论条件下的推广。 对于低速运动的火箭, (u/c) ln(mi/mf) << 1, 因而 tanh[(u/c) ln(mi/mf)] ≈ (u/c) ln(mi/mf), 上述公式退化为普通的齐奥尔科夫斯基公式。 由于对于任意 x, tanh(x) < 1, 因此由上述公式给出的速度在任何情况下都不会超过光速, 从而符合相对论的要求。

上述公式的一个特例是 u=c 的情形, 即喷射物为光子 (或其它无质量粒子) 的情形。 这种火箭常常出现在科幻小说中, 通常是以物质与反物质的湮灭作为动力来源。 对于这种情形, 上述公式简化为: v = c(mi2 — mf2)/(mi2 + mf2)。 如果将火箭 90% 的质量转化为能量作为动力, 火箭的飞行速度可以达到光速的 99%。

五. 飞向深空

宇宙的浩瀚是星际旅行家们所面临的最基本的事实。 即使能够达到接近光速的速度, 飞越恒星际空间所需的时间仍然是极其漫长的。 比如从太阳系出发, 到银河系中心大约要 3 万年, 到仙女座星云 (Andromeda Galaxy, 也称为 M31, 为河外星系) 大约要 220 万年, 到室女座星系团 (Virgo, 为河外星系团) 大约要 6,000 万年…… 相对于人类弹指一瞬的短暂生命来说这些时间显然是太漫长了。 但是且慢悲观, 因为我们还有一个因素可以依赖, 那就是相对论的时钟延缓效应。 在相对论中运动参照系中的时间是由所谓的 “本征时间” 来表示的, 它与静止参照系中的时间之间的关系为:

τ = ∫ (1 — v2/c2)1/2 dt

把这个公式运用到火箭参照系中, τ 就是宇航员所感受到的时间流逝。 很显然, 火箭的速度越接近光速, 宇航员所感受到的时间流逝也就越缓慢。 考虑到这个因素, 宇航员是不是有可能在自己的有生之年到银河系中心、 仙女座星云、 甚至室女座星系团去旅行呢? 下面我们就来计算一下。

我们考虑一个非常简单的情形, 即火箭始终处于匀加速过程中。 当然这个匀加速度是在火箭参照系中测量的。 为了让宇航员有 “宾至如归” 的感觉, 我们把加速度选为与地球表面的重力加速度一样, 即 g。 用数学语言表示:

d2x'/dt'2 = g

把这一加速度变换到静止参照系 (地心参照系) 中可得:

d2x/dt2 = (1 — v2/c2)3/2g

由此积分可得:

x = (c2/g) [(1 + g2t2/c2)1/2 — 1]

只要加速的时间足够长 (即 gt>>c), 上式可近似为 x≈ct。 这表明在地心参照系中, 经过长时间加速后飞船基本上是以光速飞行的。 但是我们感兴趣的是宇航员所经历的时间, 即 “本征时间” τ, 这是很容易利用上式——即 τ 的定义——计算出的, 结果为 (请读者自行验证):

τ = (c/g) sinh—1(gt/c)

我们可以从 τ 和 x 的表达式中消去 t, 由此得到:

τ = (c/g) sinh—1{[(1 + gx/c2)2 — 1]1/2}

如果 x<<c2/g (≈1 光年), 即飞行距离远小于一光年, 上式可近似为: τ≈(2x/g)1/2, 这正是我们熟悉的非相对论匀加速运动的公式。 如果 x>>c2/g, 即飞行距离远大于一光年, 上式可以近似为: τ ≈ (c/g) ln(2gx/c2)。 下面我们将只考虑这种情形。 考虑到抵达一个目的地后, 通常还要做一些考察研究、 拍照留念的事情, 因此火箭不能一味加速, 而必须在航程的后半段进行减速, 从而旅行所需的时间应当修正为:

τ ≈ (2c/g) ln(gx/c2) ~ (2 年) ln(x/光年)

由这一公式不难看到: 倘若旅行的目的地是银河系的中心, x=30,000 光年, 则 τ~ 20 年。 这就是说, 在宇航员看来, 仅仅 20 年的时间, 他就可以到达银河系的中心, 即使考虑到返航的时间, 前后也只需 40 年的时间, 他就可以衣锦还乡了。 这就是相对论的奇妙结论! 只不过, 当他回到地球时, 地球上的日历已经翻过了整整 6 万年, 他的孙子的孙子的孙子…… (如果有的话) 都早已长眠于地下了[注三]

运用同一公式, 我们还可以计算出到达仙女座星云所需的时间约为 29 年, 到达室女座星系团所需的时间约为 36 年…… (在这里, 读者们对于对数函数的增长之缓慢大概会有一个深刻印象吧)。 倘若一个宇航员 20 岁时坐上火箭出发, 如果他可以活到 80 岁, 那么在他有生之年 (不考虑返航——“壮士一去兮不复返”), 他可以到达 10,000,000,000,000 (十万亿) 光年远的地方。 这个距离已经远远远远地超过了可观测宇宙的线度。 因此, 这样一位宇航员在其有生之年可以到达宇宙中任意远的地方!

由此看来, 星际旅行似乎并不象人们渲染的那样困难。 倘如此, 则我们也就不必费心讨论什么 虫洞 (wormhole) 和 生命传输机 (transporter) 了, 直接坐上火箭遨游太空就是了。 事情当然并不如此简单, 别忘了在我们的计算中火箭是一直在加速的 (否则的话, 那个帮了我们大忙的对数函数就会消失), 那样的火箭所耗费的能量是惊人的 (究竟要耗费多少能量呢? 运用本文给出的结果, 读者可以自己试着计算一下)[注四]。 不过这种能量耗费所带来的困难比起建造 虫洞 所面临的困难来终究还是要小得多。 因此, 运用那样的火箭探索深空也许真的会成为未来星际旅行家们的选择。 唯一的遗憾是, 他们只要走得稍远一点, 我们就没法分享他们的旅行见闻了。

因为相对论只保佑他们, 不保佑我们。

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注释

  1. 在理论与实验上都有迹象表明, 在特定的条件及特定的含义下, 运动速度超过光速并非绝对不可能, 但这种超光速并不像许多科普爱好者所认为的那样, 是推翻了相对论。 关于这一点, 以后有时间再作专门介绍。
  2. 假如 u 等于光速, 则 dm' 理解为 dE'/c2 (E' 为喷射物的能量)。
  3. 这类结果早年曾引起过争议, 并被称为 “时钟佯谬” (clock paradox), 但其实并无佯谬可言, 感兴趣的读者可参阅拙作 关于时钟佯谬
  4. 需要提醒读者的是, 这种速度极其接近光速的火箭将会遇到的一个我们未曾提及的问题, 那就是: 它所经过的星际空间中的所有物质——哪怕细微到基本粒子——相对于火箭都具有极高的能量, 从而有可能造成极大的危害。

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