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本文已收录于《十万个为什么》第六版《数学》分册 (少年儿童出版社, 2013 年 8 月出版), 发表稿受到编辑的某些删改, 标题则改为了 “实数都是整数系数代数方程的根吗”。

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实数都是代数方程的根吗?

- 《十万个为什么 • 数学卷》词条 -

- 卢昌海 -

读者们大都在学校里学过解方程, 其中解得最多的就是所谓代数方程, 比如 3x - 1 = 0, x2 + 2x - 8 = 0, 等等。 这些方程的一个主要特点, 就是每一个包含未知数的项都只包含未知数的正整数次幂。 除此之外, 代数方程还有一个很重要的特点, 那就是项的数目是有限的。

科学人

法国数学家刘维尔 (Joseph Liouville) 是最早证明超越数存在的数学家。 他于 1844 年给出了超越数存在的证明, 并于 1851 年具体构造出了用十进位小数表示的超越数。 刘维尔在数学及数学物理的某些其它领域也颇有成就。

刘维尔所构造的超越数抽象意义大于实用意义。 更具实用意义的超越数, 最早是由法国数学家厄密 (Charles Hermite) 证明的。 他于 1873 年证明了 e 是超越数。 厄密也在其它领域颇有贡献, 许多数学及数学物理的术语是以他名字命名的。

另一位在超越数研究上作出过知名贡献的是德国数学家林德曼 (Ferdinand von Lindemann)。 他于 1882 年证明了 π 是超越数。 林德曼在数学上没有太多其它贡献, 但他有几位极著名的学生, 比如著名数学家希尔伯特 (David Hilbert) 和闵科夫斯基 (Hermann Minkowski), 著名物理学家索末菲 (Arnold Sommerfeld) 等。

现在, 我们要回答这样一个问题: 实数都是代数方程的根吗? 不过, 仅凭上面的定义, 这个问题是简单得毫无意义的, 因为所有实数 r 显然都是代数方程 x - r = 0 的根, 因此答案是肯定的。 为了让问题有一定难度, 我们要对上面的定义加一个限制, 那就是每一项的系数 (包括常数项) 都只能是有理数。 加上这一限制后的代数方程确切地讲应称为 “有理数域上的代数方程”, 不过为简洁起见, 我们仍将称其为 “代数方程”[注一]

现在让我们重新来回答 “实数都是代数方程的根吗?” 这一问题。 首先很明显的是, 所有有理数 q 都是代数方程 x - q = 0 的根。 其次, 学过一元二次方程的读者都知道, 虽然所有系数都被限制为有理数, 代数方程的根却不一定是有理数。 比如 x2 - 2 = 0 的两个根, √2 和 -√2, 就是无理数。 因此, 代数方程的根既可以是有理数, 也可以是无理数, 从而至少在表面上具备了表示所有实数的潜力。

但有潜力不等于能做到, 关键得要有证明。 最早对 “实数都是代数方程的根吗?” 这一问题作出回答并给于证明的是法国数学家刘维尔, 他不仅证明了某些实数不是任何代数方程的根, 而且还具体构造出了那样的实数, 从而以最雄辩的方式给出了答案——否定的答案。

现在我们知道, 有很多重要的实数, 比如自然对数的底 e, 圆周率 π, 等, 都不是代数方程的根。 为了便于表述, 数学家们把能够用代数方程的根来表示的数称为代数数, 把不能用代数方程的根来表示的数称为超越数。 实数既包含代数数, 也包含超越数。 有理数与 √2 是代数数的例子; e 和 π 则是超越数的例子。 我们的问题用这一新术语可以重新表述为: 实数都是代数数吗? 答案则如上所述是否定的。

微博士

刘维尔对超越数存在的证明并不只是构造出少数几个特殊的超越数, 而是证明了一大类实数都是超越数。 为了纪念他的贡献, 那一大类实数被统称为了刘维尔数。 可以证明, 单刘维尔数这一种类型的超越数, 就远比代数数多。 不过, 跟超越数的全体相比, 刘维尔数依然只是凤毛鳞角。

刘维尔数最初是用连分数来表示的。 第一个用十进位小数表示的刘维尔数 (也是第一个用十进位小数表示的超越数) 是 0.110001000…… (小数点后面的数字规律是这样的: 小数点后第 n!——即 n 的阶乘——位的数字为 1, 其余的数字全都为零)。 这个数通常被称为刘维尔常数, 但有时候也被称为刘维尔数, 虽然它其实只是无穷多个刘维尔数中的一个。

不过, 答案虽然揭晓了, 找到或证明一个具体的超越数却往往不是容易的事情。 比如对 e 和 π (尤其是 π) 是超越数的证明就费了数学家们不小的气力。 而像 e + π 和 e - π 那样的简单组合是否是超越数, 则直到今天也还是谜。

接下来我们还可以问一个问题, 那就是代数数多还是超越数多? 从构造和证明超越数如此困难来看, 也许很多读者会猜测是代数数多。 事实却恰恰相反。 1874 年, 德国数学家康托证明了超越数远比代数数多 (这里所涉及的是无穷集合元素数目的比较, 感兴趣的读者可参阅拙作 无穷集合可以比较吗?)。 事实上, 他证明了实数几乎全都是超越数!

超越数的存在不仅仅具有抽象的分类意义, 而且可以解决一些具体的数学问题。 比如, 几何中的 “尺规作图” 方法所能作出的线段的长度——相对于给定的单位长度——可被证明为只能是代数数[注二]。 因此 π 是超越数这一看似只具有抽象分类意义的结果, 直接证明了困扰数学家们多年的 “尺规作图三大难题” 之一的 “化圆为方” 是不可能办到的。

最后, 我们要补充提到的是, 代数方程的根既可能是实数, 也可能是复数。 相应地, 代数数和超越数这两个概念也适用于复数, 并且与实数域中的情形类似, 复数也并不都是代数数 (事实上, 复数也几乎全都是超越数)。

注释

  1. 需要提醒读者注意的是, 不同文献对 “代数方程” 的定义不尽相同。 在某些文献中, “代数方程” 按定义就是 “有理数域上的代数方程”。
  2. 但反过来则不然, 并不是所有长度由代数数表示的线段都能用 “尺规作图” 的方法作出。

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