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无穷集合可以比较吗?

- 《十万个为什么 • 数学卷》词条 -

- 卢昌海 -

本文是受《十万个为什么》第六版《数学》分册的约稿而写的词条, 但未被收录。

大家都知道, 自然数 (即 1, 2, 3, ...) 有无穷多个, 平方数 (即 1, 4, 9, ...) 也有无穷多个。 现在我们来考虑这样一个问题: 自然数和平方数哪个更多? 有读者也许会说: “这还用问吗? 当然是自然数多啦!” 确实, 平方数只是自然数的一部分, 而整体大于部分, 因此自然数应该比平方数更多。 但细想一下, 事情又不那么简单。 因为每个自然数都有一个平方, 每个平方数也都是某个自然数的平方, 两者可以一一对应。 从这个角度讲, 它们又谁也不比谁更多, 从而应该是一样多的——就好比两堆石头, 就算不知道各有多少粒, 如果能一粒一粒对应起来, 我们就会说它们的数目一样多。

科学人

对无穷集合进行比较的系统理论是德国数学家康托 (Georg Cantor) 提出的。 康托生于 1845 年, 是集合论的奠基者。 康托的理论是如此新颖, 连他自己也曾在给朋友的信件中表示 “我无法相信”。 与他同时代的许多其他数学家更是对他的理论表示了强烈反对, 甚至进行了尖锐攻击。

但时间最终证明了康托的伟大。 他的集合论成为了现代数学的重要组成部分。 德国数学大师希尔伯特 (David Hilbert) 在一篇文章中表示 “没有人能把我们从康托为我们开辟的乐园中赶走”。 英国哲学家罗素 (Bertrand Russell) 也称康托的理论 “也许是这个时代最值得夸耀的成就”。

同一个问题, 两个相互矛盾的答案, 究竟哪一个答案正确呢?

像这种对无穷集合进行比较 (即比较元素数目) 的问题, 曾经让许多科学家感到过困扰。 比如著名的意大利科学家伽利略就考虑过我们上面这个问题。 他的结论是: 那样的比较是无法进行的。

不过, 随着数学的发展, 数学家们最终还是为无穷集合的比较建立起了系统性的理论, 它的基石就是上面提到的一一对应的关系, 即: 两个无穷集合的元素之间如果存在一一对应, 它们的元素数目就被定义为 “相等”。 按照这个定义, 上面两个答案中的后一个, 即自然数与平方数一样多, 是正确的。

但有读者也许会问: 前一个答案所依据的 “整体大于部分” 在欧几里德的《几何原本》中被列为公理, 不也是很可靠的吗? 为什么不能作为对无穷集合进行比较的基石呢? 这是因为, 两个无穷集合之间通常并不存在一个是另一个的部分那样的关系。 比如平方数的集合与素数 (即 2, 3, 5, 7, ...) 的集合就谁也不是谁的部分。 如果用 “整体大于部分” 作为基石, 就会无法比较。

微博士

我们在正文中曾经举过一个例子, 那就是自然数集合的元素数目 “小于” 实数集合的元素数目。 现在让我们来证明这一点。 我们要证明的是自然数不能与 0 和 1 之间的实数一一对应 (从而当然也不能与全体实数一一对应)。

我们用反证法: 假设存在那样的一一对应, 那么 0 和 1 之间的实数就都能以自然数为序号罗列出来。 但是, 我们总可以构造出一个新实数, 它小数点后的每个数字都在 0 和 9 之间, 并且第 n 位数字选成与第 n 个实数的小数点后第 n 位数字不同。 显然, 这样构造出来的实数与任何一个被罗列出来的实数都不同 (因为小数点后至少有一个数字不同)。 这与 0 和 1 之间的实数都能以自然数为序号罗列出来相矛盾。 这个矛盾表明自然数是不能与 0 和 1 之间的实数一一对应的。

这个证明所用到的构造新实数的方法被称为对角线方法, 它在无穷集合的比较中是一种很重要的方法。

不过, “整体大于部分” 也并没有被抛弃, 因为在无穷集合的比较中, 还会出现这样的情形, 那就是一个无穷集合的元素能与另一个无穷集合的一部分元素一一对应, 却不能与它的全体元素一一对应。 在这种情形下, 数学家们就会依据 “整体大于部分” 的原则, 将后一个无穷集合的元素数目定义为 “大于” 前一个无穷集合的元素数目 (或前一个无穷集合的元素数目 “小于” 后一个无穷集合的元素数目)。 这种情形的一个例子, 是自然数集合与实数集合的比较。 很明显, 自然数集合的元素 (即自然数) 能与实数集合的一部分元素 (即实数中的自然数) 一一对应, 但它能否与实数集合的全体元素 (即实数) 一一对应呢? 答案是否定的 (参阅 “微博士”)。 因此自然数集合的元素数目 “小于” 实数集合的元素数目。

现在我们知道了在无穷集合的元素数目之间可以定义 “相等”、 “大于” 和 “小于” 这三种比较关系。 但这还不等于是回答了 “无穷集合可以比较吗?” 这一问题。 因为我们还不知道会不会有某些无穷集合, 它们之间这三种关系全都不满足。 那样的情形如果出现, 就说明有些无穷集合是不能比较的——起码是不能用我们上面定义的这三种关系来比较。

那样的情形会不会出现呢? 这是一个很棘手的问题, 涉及到数学中一个很重要的分支——集合论。 而集合论有几个不同的 “版本”, 它们对这一问题的答案不尽相同。 因此从某种意义上讲, 这可以算是一个有争议的问题。 不过, 对于目前被最多数学家所使用的 “版本” 来说, 这一问题的答案是明确的, 即: 那样的情形不会出现。 换句话说, 任何两个无穷集合都是可以比较的。

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网友讨论选录

  • 网友: 来自 218.108 的游客   (发表于 2012-06-07)

    无穷集合论确实很神奇, 就像那个有无穷个房间的旅馆的例子, 随时都可以腾出无穷间空房来, 呵呵。

  • 网友: lifubo   (发表于 2012-06-07)

    我以为关键是要讲清楚应该采用一一对应的原则来比较集合, 其实不是比较集合的大小, 而是比较集合元素个数的多少。

    另外: 任意两个集合都可以比较, 等价于选择公理。

  • 网友: 卢昌海   (发表于 2012-06-07)

    “就像那个有无穷个房间的旅馆的例子”——我对于在 “微博士” 介绍 “希尔伯特旅馆” 还是 “对角线方法” 有过一些犹豫, 前者容易, 后者困难, 但前者跟正文中的介绍性质相近, 虽然通俗, 却没有新东西, 所以决定还是介绍后者。 这样可以使这个小小词条既涵盖 “相等” 的例子, 也涵盖 “大于/小于” 的例子, 并且也介绍了对角线方法这一重要方法。

    “关键是要讲清楚应该采用一一对应的原则来比较集合”——确实如此, 我这个词条的主要用意也就是介绍这个思路, 如果读者读了之后对这个思路有印象, 就算达到目的了。

    “任意两个集合都可以比较,等价于选择公理”——我最后一段指的正是这个, 只是篇幅将尽, 又考虑到读者群, 决定不引进 “选择公理” 这一名词。

    另外说明一下, 也许很少有读者注意到 “微博士” 中的这一句话: “它小数点后的每个数字都在 0 和 9 之间”。 这句话着实费了我一些心思, 因为通常要用一定篇幅才能说清在对角线方法中如何避免因小数表示中 a999... 和 (a+1)000... 被视为相等而使得构造出的数字与某个已有的数字相同的可能性。 比如 Kleene 的《Introduction to Metamathematics》中采用只用 5 和 6 构造新实数的做法, 但这样很扎眼, 势必要对前因后果做介绍 (Kleene 的书就是如此) 才不显得奇怪, 而这会使 “微博士” 的篇幅膨胀到不适当的程度。 比较通俗的介绍则往往干脆略去这个细节。 本词条照说也该略去, 但又不甘心留下漏洞, 因此采用了这种 unobtrusive 的表述, 一般读者应该不会太留意这句话, 但它的存在可以避免漏洞。

  • 网友: 来自 110.125 的游客   (发表于 2012-06-09)

    这是新版的《十万个为什么》? 出版了吗?

  • 网友: 卢昌海   (发表于 2012-06-11)

    还没有。 据编辑在约稿时提供的一篇《新华日报》报道:

    近年来, ……国内各出版社出版的《十万个为什么》图书至少有 100 多种……巨大的跟风、 模仿潮……降低了《十万个为什么》在读者心中的形象。 ……第六版《十万个为什么》已被列为 “十二五” 国家重点图书出版规划项目……做成绝对精品, 把跟风者、 模仿者挤出市场……计划今年年底完成, 明年年初肯定能与读者见面……

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