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本文已收录于《十万个为什么》第六版《数学》分册 (少年儿童出版社, 2013 年 8 月出版), 发表稿受到编辑的某些删改, 标题则改为了 “为什么 20 次转动能确保任意初始状态的魔方复原”。

最少要多少次转动才能让魔方复原?

- 《十万个为什么 • 数学卷》词条 -

- 卢昌海 -

魔方是一种深受大众喜爱的益智玩具。 自二十世纪八十年代初开始, 这一玩具风靡了全球。

魔方为什么会有这么大的魅力呢? 那是因为它具有几乎无穷无尽的颜色组合。 标准的魔方是一个 3×3×3 结构的立方体, 每个面最初都有一种确定的颜色。 但经过许多次随意的转动之后, 那些颜色将被打乱。 这时如果你想将它复原 (即将每个面都恢复到最初时的颜色), 可就不那么容易了。 因为魔方的颜色组合的总数是一个天文数字: 4325 亿亿。 如果我们把所有这些颜色组合都做成魔方, 并让它们排成一行, 能排多远呢? 能从北京排到上海吗? 不止。 能从中国排到美国吗? 不止。 能从地球排到月球吗? 不止。 能从太阳排到海王星吗? 不止。 能从太阳系排到比邻星吗? 也不止! 事实上, 它的长度足有 250 光年!

科学人

魔方是匈牙利布达佩斯应用艺术学院的建筑学教授鲁比克 (Ernő Rubik) 发明的。 鲁比克最初想发明的并不是益智玩具, 而是一个能演示空间转动, 帮助学生直观理解空间几何的教学工具。 经过一段时间的考虑, 他决定制作一个由小方块组成、 各个面能随意转动的 3×3×3 结构的立方体。

但如何才能让立方体的各个面既能随意转动, 又不会因此而散架呢? 这一问题让鲁比克陷入了苦思。 1974 年一个夏日的午后, 他在多瑙河畔乘凉, 当他的眼光无意间落到河畔的鹅卵石上时, 忽然灵感闪现, 他想到了解决困难的办法, 那就是用类似于鹅卵石那样的圆形表面来处理立方体内部的结构。 由此他完成了魔方的设计。

魔方的颜色组合如此众多, 使得魔方的复原成为了一件需要技巧的事情。 如果不掌握技巧地随意尝试, 一个人哪怕从宇宙大爆炸之初就开始玩魔方, 也几乎没有可能将一个魔方复原。 但是, 纯熟的玩家却往往能在令人惊叹的短时间内就将魔方复原, 这表明只要掌握技巧, 使魔方复原所需的转动次数并不太多。

那么, 最少要多少次转动才能让魔方复原呢? 或者更确切地说, 最少要多少次转动才能确保任意颜色组合的魔方都被复原呢? 这个问题不仅让魔方爱好者们感到好奇, 还吸引了一些数学家的兴趣, 因为它是一个颇有难度的数学问题。 数学家们甚至给这个最少的转动次数取了一个很气派的别名, 叫做 “上帝之数”。

自二十世纪九十年代起, 数学家们就开始寻找这个神秘的 “上帝之数”。

寻找 “上帝之数” 的一个最直接的思路是大家都能想到的, 那就是对所有颜色组合逐一计算出最少的转动次数, 它们中最大的那个显然就是能确保任意颜色组合都被复原的最少转动次数, 即 “上帝之数”。 可惜的是, 那样的计算是世界上最强大的计算机也无法胜任的, 因为魔方的颜色组合实在太多了。

怎么办呢? 数学家们只好诉诸他们的老本行——数学。 1992 年, 一位名叫科先巴 (Herbert Kociemba) 的德国数学家提出了一种分两步走的新思路。 那就是先将任意颜色组合转变为被他用数学手段选出的特殊颜色组合中的一个, 然后再复原。 这样做的好处是每一步的计算量都比直接计算 “上帝之数” 小得多。 运用这一新思路, 2007 年, “上帝之数” 被证明为了不可能大于 26。 也就是说, 只需 26 次转动就能确保任意颜色组合的魔方都被复原。

微博士

自 1981 年起, 魔方爱好者们开始举办世界性的魔方大赛。 在这种大赛中, 不断有玩家刷新最短复原时间的世界纪录。 截至 2011 年底, 最短单次复原时间的世界纪录为 5.66 秒; 最短多次复原平均时间的世界纪录则为 7.64 秒。

不过, 玩家们复原魔方所用的转动次数并不是理论上最少的次数 (即并不是 “上帝之数”), 因为他们采用的是便于人脑掌握的方法, 追求的则是最短的复原时间。 多几次转动虽然要多花一点时间, 但比起寻找理论上最少的转动次数来仍要快速得多——事实上, 后者往往根本就不是人脑所能胜任的。

但这个数字却还不是 “上帝之数”, 因为科先巴的新思路有一个明显的局限, 那就是必须先经过他所选出的特殊颜色组合中的一个。 但事实上, 某些转动次数最少的复原方法是不经过那些特殊颜色组合的。 因此, 科先巴的新思路虽然降低了计算量, 找到的复原方法却不一定是转动次数最少的。

为了突破这个局限, 数学家们采取了一个折中手段, 那就是适当地增加特殊颜色组合的数目, 因为这个数目越大, 转动次数最少的复原方法经过那些特殊颜色组合的可能性也就越大。 当然, 这么做无疑会增大计算量。 不过, 计算机技术的快速发展很快就抵消了计算量的增大。 2008 年, 计算机高手罗基奇 (Tom Rokicki) 用这种折中手段把对 “上帝之数” 的估计值压缩到了 22。 也就是说, 只需 22 次转动就能确保任意颜色组合的魔方都被复原。

那么, 22 这个数字是否就是 “上帝之数” 呢? 答案仍是否定的。 这一点的一个明显征兆, 就是人们从未发现任何一种颜色组合需要超过 20 次转动才能复原。 这使人们猜测 “上帝之数” 应该是 20 (它不可能小于 20, 因为有很多颜色组合已被证明需要 20 次转动才能复原)。 2010 年 7 月, 这一猜测终于被科先巴本人及几位合作者所证明。

因此, 现在我们可以用数学特有的确定性来回答 “最少要多少次转动才能让魔方复原?” 了, 答案就是: 20 次。

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