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小议发散级数

- 卢昌海 -

本文依据我在繁星客栈上介绍发散级数的贴子整理而成

以后有时间我也来写几篇文章讨论发散级数及其在数学物理中的应用。 现在先为这里的讨论添几根柴火。

我觉得网友提到的用一个函数在某点处左右极限均存在且相等, 作为函数在该点处数值等于该极限的依据 (并用类似的方法论证 1-1+1-1+... 的确等于 1/2) 是不妥的。 一个函数完全可以在某点处左右极限均存在且相等, 但在该点上有一个截然不同的数值甚至根本没有数值。 只有在该点连续的函数才满足该网友所说的性质。 而当我们讨论与 1-1+1-1+... 相联系的函数时, 并不能先验地对函数的连续性做出假定。 如果假定了, 实质上是对级数和作了一种特殊的定义。 无论哪一种情况, 都不能视为是对 1-1+1-1+... = 1/2 的 “证明” (不过可以视为对其 “合理性” 的 “证明” - 也许这正是该网友的意图)。

1-1+1-1+... 究竟等于多少? 归根到底还是取决于级数和的定义 (当然这种定义要有一定的合理性, 否则很难有应用价值)。 这种定义所满足要求通常有这样几条:

  1. 对所有传统意义上的收敛级数, 它必须等于传统的级数和。
  2. ∑(an + bn) = ∑an + ∑bn
  3. ∑(c an) = c ∑an

换句话说级数和 ∑ 是无穷维空间 V = {(a1, a2, ...)} 的一个子集到 R 的线性映射。 传统级数和的定义域较小。 各种广义和 (如 Abel sum, Borel sum, Cesaro sum, etc) 是对该定义域的延拓。

一个毫无疑问的事实是: 象 1-1+1-1+... 这样的所谓发散级数的传统和是不存在的, 也就是说传统部分和 sn 的极限是不存在的。 有网友询问的 (-1)N 当 N 趋于无穷大时的极限也是不存在的。 但这并不对 1-1+1-1+... 的广义和等于 1/2 构成挑战, 因为后者既不需要、 也不可能假定 (-1)N 的极限存在, 只有传统和的存在性才有赖于该极限是否存在。

广义和的定义通常有两类: 一类是对传统和 “函数化”, 然后定义广义和为函数的某种极限, 比如 Abel sum, Borel sum 等 (这类定义类似于对可去奇点的处理); 另一类是用其它无穷序列 (比如部分和的平均值) 取代传统的部分和, 定义广义和为前者的极限, 比如 Cesaro sum。 有网友所用的 1+x+x2+x3+... 是 Abel sum 的思路, 但 Abel sum 是用 x→-1 来定义广义和, 这一方法不能用于 x=-1, 因为后者正是传统和本身, 它并不存在。

有一个问题我觉得很有意义, 但没有查过文献。 那就是广义和作为传统和的延拓, 是否是唯一的? 我没见过任何两种广义和对同一个发散级数 (即在传统级数和的定义域之外的级数) 给出不同的结果, 但也没见有关唯一性的证明 (或否证)。 如果哪位朋友知道的话欢迎介绍一下。

补注

  1. 从本文发表之后收到的读者来信中, 我发觉文末问题的表述容易产生误解, 因此在这里解释一下: 那个问题问的并不是如果一个广义和能够给出某个发散级数的数值, 是否其它广义和也必定会给出同一数值? 如果那样问的话, 答案是明显否定的, 因为不同广义和的定义域往往是很不相同的, 当一个广义和能够给出某个发散级数的数值时, 其它某些广义和对该级数也许根本不存在, 更遑论给出同一数值。 那个问题的确切含义是: 如果有不止一个广义和能够对同一个发散级数给出结果, 那些结果是否必定彼此相同? 简单地说, 这个问题不是要求论证各种广义和的定义域相同 (事实上它们往往是很不相同的), 而是要求论证在它们定义域的交叠部分, 它们是否总是能给出相同的结果。 [2006-01-07]
  2. 对正文末尾及 [补注一] 提到的问题, 潘仲良读者来信给出了一个否定的回答, 即利用 1-x-1+x-3-x-4+x-6-x-7+... (各项指数分别为 0, -1, -3, -4, ..., -3n, -3n-1, -3n-3, -3n-4, ...) 对 1-1+1-1+... 函数化。 这一函数级数在收敛域 |x|>1 内收敛于 x2/(x2+x+1), 它所给出的 1-1+1-1+... 的广义和是 1/3, 不同于 Cesaro sum、 Abel sum 等给出的 1/2。

    该回答公布后, 星空浩淼读者询问上述求和方法是否是在 1-1+1-1+... 中间插入了零, 即将之变为了 1-1+0+1-1+0+...? 如果是的话, 它与原级数是不同的 (因为发散级数不能随意添零或交换各项次序)。 当然, 上述函数级数并不包含多余的项, 因此利用它求广义和并未在原级数中插入额外的零。 但星空浩淼网友的这一问题倒是启示了一种给出否定回答的系统方法, 即利用在发散级数中添加零可以改变其广义和的特点, 对加零后的级数函数化, 然后将那个函数级数中对应于零的项去除 (从而使它严格对应于原级数的各项), 这样就会得到不同的广义和。 比如将 1-1+0+1-1+0+1-1+... 函数化: 1-x+0x2+x3-x4+0x5+x6-x7..., 去掉对应于零的项所得的级数为 1-x+x3-x4+x6-x7..., 它与原广义级数的各项严格对应 (不再有多余的零), 但它收敛于 1/(1+x+x2), 由此给出的广义和为 1/3。 这与潘仲良读者给出的例子等价, 但形式上稍简单一些。

    而上述两节内容公布后, 潘仲良读者进一步来信提到, 广义级数 Σan 的 Abelian 平均 (Abelian means) limt→0Σanexp(-λnt) 或其等价形式 limx→1Σanxλn [其中 {λn} 为单调递增趋于无穷 (相应的 t>0, x<1) 或单调递减趋于负无穷 (相应的 t<0, x>1) 的任意实数列 (这两者其实是等价的, 极限为左极限还是右极限则由收敛域决定)] 可以作为构造反例的更普遍的框架。 依照这种框架, 上面第一节的例子相当于 {λn}={0, -1, -3, -4, ...}, 是 {λn} 单调递减趋于负无穷的特例; 而第二节的 “系统方法” 则是 {λn} 单调递增趋于无穷的情形, 但只是 λn 取非负整数的特例。 一般的 {λn} 可以是符合条件的任意实数列 (它与是否对原级数添加零并无关系)。 Abelian 平均与 {λn} 选择有关 (不过并非对所有单调递增趋于无穷或单调递减趋于负无穷的 {λn} 都存在)。

    在这里, 我要向潘仲良和星空浩淼两位读者的讨论表示感谢。 [2008-11-11]

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