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Diophantine 方程

- Hilbert 第十问题漫谈之数学附录 -

- 卢昌海 -

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本文是 Hilbert 第十问题漫谈 系列的第一篇数学附录。 这些数学附录大都是对 概述 部分中提到的数学概念及结果做技术性的补充。 本文将对 Hilbert 第十问题中涉及的第一个基本概念——Diophantine 方程——做简单的介绍, 并证明对于研究 Hilbert 第十问题来说, 把 Diophantine 方程的解限定在整数、 正整数, 及自然数 (零及正整数)[注一] 上是彼此等价的。 这一点我们在 第一节注释 中提到过, 但未予证明。

我们从 Hilbert 第十问题的原始表述——即 Hilbert 本人的表述——开始讲起:

Hilbert 第十问题: 给定一个具有任意多个未知数的整系数 Diophantine 方程: 寻找一个可以通过有限多次运算 (operation) 确定该方程是否有整数解的程序 (process)。

这里出现的第一个数学概念就是 Diophantine 方程。 如我们在 第一节 中介绍的, 这一名称是为了纪念古希腊数学家 Diophantus[注二]。 Diophantine 方程是指未知数只取整数值的代数多项式方程, 它的一般形式为:

P(x1, ..., xk) ≡ Σ ai1...ik x1i1...xkik = 0

其中 x1, ..., xk 为未知数, ai1...ik 为常系数, 求和对 i1, ..., ik 进行。 在 Hilbert 第十问题中, Diophantine 方程的所有系数 ai1...ik 都是整数, 这样的方程叫做整系数 Diophantine 方程[注三]

毫无疑问, 具体的 Diophantine 方程的数目是无穷的。 Diophantine 方程的繁简及难易程度可以天差地别: 简单 Diophantine 方程的求解或判断其是否有解是连中学生都可以做到的; 而复杂的 Diophantine 方程则可以复杂到令人难以想象的地步, 复杂到就算把全世界所有的纸都用上, 也无法写下的程度——因为 Diophantine 方程中未知数的个数、 它们的最高幂次都是任意的。 在很多时侯, 一个 Diophantine 方程甚至不需要有很多的未知数, 不需要有很大的系数, 也不需要有很高的幂次, 就能使得判定其是否有解变得极其困难[注四]。 Diophantine 方程的复杂和艰深, 使之成为了数论中一个专门的研究领域, 被称为 Diophantine 分析 (Diophantine Analysis)。 在本系列中我们还将会看到的, Diophantine 方程其实远不只是一些复杂的方程, 它的全部内涵比这宽广得多, 它与一些表面上看起来与整系数代数方程, 甚至与整个数论都毫无关联的数学领域有着奇妙的联系。

有些读者可能会问: 既然对特定 Diophantine 方程 (比如 Fermat 大定理所涉及的 Diophantine 方程) 是否有解的判定就已如此困难, 动辄花费数学家们几百年的时间, 那 Hilbert 要大家研究一般 Diophantine 方程是否有解, 其胃口是不是太大了一点? 的确, Hilbert 把这个问题列入他的讲稿曾经令一些数学家感到意外。 但是, 事情——尤其是数学上的事情——有时就是那么奇妙, 把一大堆极其困难的个体问题合在一起, 研究其群体的性质有时反而会有意想不到的优势。 当然, Hilbert 是否是因为考虑到了这一点而 “狮子大开口”, 后人不得而知, 但 Hilbert 第十问题的最终解决似乎印证了这种有意思的情形[注五]

在 Hilbert 的表述中, 他要求大家寻求的是确定 Diophantine 方程是否有整数解的程序。 但后世的数学家们在研究 Hilbert 第十问题的时侯, 通常把解限制在正整数或自然数的范围内。 为什么可以作这种限制呢? 我们现在就来证明一下。

我们首先可以证明, 倘若存在一个确定 Diophantine 方程是否有自然数解的程序, 则必定也存在一个确定 Diophantine 方程是否有整数解的程序。 这是因为要确定 Diophantine 方程 P(x1, ..., xk) = 0 是否有整数解, 只要逐一检验 2k 个 Diophantine 方程 (每个未知数带正负两种可能的符号, k 个未知数共计有 2k 种组合):

P(x1, ..., xk) = 0
P(—x1, ..., xk) = 0
... ...
P(—x1, ..., —xk) = 0

是否有自然数解即可, 如果这 2k 个 Diophantine 方程中任何一个有自然数解, 则 P(x1, ..., xk) = 0 必定有整数解; 反之, 倘若这 2k 个 Diophantine 方程没有一个有自然数解, 则 P(x1, ..., xk) = 0 必定没有整数解。 因此, 存在一个确定 Diophantine 方程是否有自然数解的程序, 就必定也存在一个确定 Diophantine 方程是否有整数解的程序。

然后我们再证明, 倘若存在一个确定 Diophantine 方程是否有整数解的程序, 则必定也存在一个确定 Diophantine 方程是否有自然数解的程序。 这里我们要用到一个简单的数学定理, 即 Lagrange 四平方定理 (Lagrange's four-square theorem)。 这个定理表明任何一个自然数都可以表示成不超过四个整数的平方之和[注六]。 运用这个定理, 我们可以把对 P(x1, ..., xk) = 0 是否存在自然数解的判定约化为对包含 4k 个自变量 a1, ..., dk 的 Diophantine 方程

P(a12+b12+c12+d12, ..., ak2+bk2+ck2+dk2) = 0

是否存在整数解的判定。 因此存在一个确定 Diophantine 方程是否有整数解的程序, 就必定也存在一个确定 Diophantine 方程是否有自然数解的程序。

这样, 我们就证明了对于研究 Hilbert 第十问题来说, 把 Diophantine 方程的解限定在整数及自然数上是彼此等价的。 将这一等价性扩展到包含正整数是极其容易的 (请读者自行完成)。 这样我们就证明了在研究 Hilbert 第十问题 (或介绍 Hilbert 第十问题) 时把解限制在自然数或正整数范围内的合理性。

在本附录的最后, 我们还要来证明这样一点: 那就是如果存在一个确定 Diophantine 方程在某个范围 (比如整数、 正整数, 及自然数等) 内是否有解的程序, 则同一程序也可以用来确定任意 Diophantine 方程组在同一范围内是否有解。 证明很简单: 因为 Diophantine 方程组 Pi(x1, ..., xk)=0 (i=1, ..., n) 在某一范围内有解的充要条件为 Diophantine 方程 P12+...+Pn2 = 0 在同一范围内有解。 因此, 人们在对 Diophantine 方程做一般讨论的时侯, 事实上已经把 Diophantine 方程组也包含在内了。

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注释

  1. 数学界对自然数是否包含零没有统一的约定, 在本文中我们用它来表示零和正整数, 不习惯这一用法的读者可以自行改用 “非负整数” 这一术语。
  2. Diophantus 通常被称为古希腊数学家, 但他究竟是不是古希腊人其实略有争议——有人认为他也许是巴比伦人 (Babylonian)、 犹太人 (Jewish) 或迦尔底亚人 (Chaldean)。
  3. 人们提到 Diophantine 方程时通常指的就是整系数 Diophantine 方程, 因此 “整系数” 这一限定语常被省略。
  4. 比如 Fermat 大定理只含有三个未知数, 系数皆小, 却花费了数学家们 300 多年的时间才得以证明; Euler 四次方假设 (Euler quartic conjecture)——它猜测 x4+y4+z4=w4 没有正整数解——所含的幂次只有四次, 系数也皆小, 却花费了数学家们 200 多年的时间才得以否证。
  5. 不过, Hilbert 第十问题的解决并不意味着解决了所有具体 Diophantine 方程的求解或判定其是否有解的问题, 这一点是需要注意的。
  6. 我们在 Lagrange 四平方定理 一文中叙述的 Lagrange 四平方定理是针对正整数的, 但它显然也适用于自然数, 因为两者唯一的差别 0 = 02+02+02+02 显然满足定理的要求。

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