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Riemann 猜想漫谈 (三)

- 卢昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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Riemann 的论文
Riemann 的论文

四. Riemann 的论文——基本思路

终于到了 Riemann 的论文登场的时候! 如果让数学家们来评选几篇数学史上意义深远而又最为难啃的论文的话, 那么我想 Riemann 1859 年的那篇 “论小于给定数值的素数个数” 就算不名列榜首, 起码也要跻身三甲[注一]。 现在就让我们一起来领略一下那篇数学史上出名难啃的论文的主要内容。 我们的叙述将采用较为现代的术语及表述方式, 所用的记号将与前文保持一致——因此与 Riemann 的原始论文不尽相同 (但主要思路是一致的), 这一点要提醒有兴趣阅读 Riemann 原文的读者注意。

如我们在 上节 中所述, Euler 乘积公式:

ζ(s) ≡ Σn n-s = Πp(1-p-s)-1

是研究素数分布规律的基础。 Riemann 的研究也是以这一公式作为起点的。 为了消除这一公式右边的连乘积, Euler 曾经对公式的两边取对数, Riemann 也如法泡制 (看来连乘积真是一个人人欲除之而后快的东西), 从而得到:

lnζ(s) = -Σp ln(1 - p-s) = ΣpΣn [(1/n) p-ns]

但过了这一步, 两人就分道扬镳了: Euler——如我们 上节 中所见——在小试身手, 证明了素数有无穷多个后就鸣金收兵了; 而 Riemann 则沿着一条布满荆棘的道路继续走了下去, 走出了素数研究的一片崭新的天地。

可以证明, 上面给出的 lnζ(s) 的表达式右边的双重求和在复平面上 Re(s)>1 的区域内是绝对收敛的, 并且可以改写成 Stieltjes 积分 (有兴趣的读者可自行证明):

其中 J(x) 是一个特殊的阶梯函数, 它在 x=0 处取值为零, 以后每越过一个素数就增加 1, 每越过一个素数的平方就增加 1/2, ... , 每越过一个素数的 n 次方就增加 1/n,...。 而在 J(x) 不连续的点 (即 x 等于素数、 素数的平方、... 、素数的 n 次方 ... 的点) 上, 其函数值则用 J(x)=(1/2)[J(x-)+J(x+)] 来定义。 显然, 这样的一个阶梯函数可以用素数分布函数 π(x) 表示为:

J(x) = Σn [(1/n)π(x1/n)]

对上述 Stieltjes 积分进行一次分部积分便可得到:

这个公式的左边是 Riemann ζ 函数的自然对数, 右边则是对 J(x)——一个与素数分布函数 π(x) 有直接关系的函数——的积分, 它可以被视为 Euler 乘积公式的积分形式。 我们得到这一结果的方法与 Riemann 有所不同, Riemann 发表论文时还没有 Stieltjes 积分——那时候荷兰数学家 Thomas Stieltjes (1856-1894) 才三岁。

如果说传统形式下的 Euler 乘积公式只是 Riemann ζ 函数与素数分布之间存在关联的朦胧征兆, 那么在上述积分形式的 Euler 乘积公式下, 这两者间的关联就已是确凿无疑并且完全定量的了。 接下来首先要做的显然是从上述积分中解出 J(x) 来, 这在当时的数学背景下并不容易, 但却难不倒像 Riemann 这样的复变函数论大师。 他解出的 J(x) 是 (学过复变函数论的读者不妨试着证明一下):

其中 a 为大于 1 的实数。 上面这个积分是一个条件收敛的积分, 它的确切定义是从 a-ib 积分到 a+ib (b 为正实数), 然后取 b→∞ 的极限。 当 Riemann 写下这个公式时, 只是轻描淡写地提了一句: 这是完全普遍的。 听上去像是在叙述一个尽人皆知的简单事实。 而事实上, 与 Riemann 所说的普遍性相匹配的完整结果直到四十年后才由芬兰数学家 Robert Mellin (1854-1933) 所发表, 现在被称为 Mellin 变换 (Mellin transform)。 像这样一种被 Riemann 随手写下、 却让数学界花费几十甚至上百年的时间才能证明的命题在 Riemann 那篇论文中还有好几处。 这是 Riemann 那篇论文的一个极为突出的特点: 它有一种高屋建瓴的宏伟视野, 远远超越了同时代的其它数学文献。 它那高度浓缩的文句背后包含着的极为丰富的数学结果, 让后世的数学家们陷入漫长的深思之中。 直到今天, 我们的数学在整体上虽已远非 Riemann 时代可比, 但数学家们仍未能完全理解 Riemann 在那篇短短八页的简短论文中省略掉的证明及显露出的智慧。 J(x) 的表达式是我们碰到的 Riemann 那篇论文中的结果超前于时代的第一个例子[注二], 在 下一节 中我们将遇到其它例子。

在一代代的后世数学家们为那些被 Riemann 省略掉的证明而失眠的时候, 他们中的一些也许会联想到 Pierre de Fermat (1601-1665)。 这位法国数学家在古希腊数学家 Diophantus (200?-284?) 的《算术》(Arithmetica) 一书的页边上写下著名的 Fermat 猜想 (Fermat's conjecture) 的时候, 随手加了一句话: “我发现了一个真正出色的证明, 可惜页边太窄写不下来”[注三]。 令人尴尬的是, Fermat 猜想自 1670 年被他儿子公诸于世 (那时他本人已经去世) 以来, 竟然难倒了整个数学界长达三百二十四年之久, 直到 1994 年才被英国数学家 Andrew Wiles (1953-) 所证明。 但 Wiles 的证明篇幅浩繁, 莫说在《算术》一书的页边上写不下来, 即便把整套《大英百科全书》(Encyclopædia Britannica) 的页边加起来, 也未必写得下来。 现在人们普遍认为, Fermat 并没有找到 Fermat 猜想的证明, 他自以为找到的那个 “真正出色的证明” 只是三百多年间无数个错误证明中的一个。 那么 Riemann 的情形会不会也像 Fermat 一样呢? 他那些省略掉的证明会不会也像 Fermat 的那个 “真正出色的证明” 一样呢? 从目前人们对 Riemann 的研究来看, 答案基本上是否定的。 Riemann 作为堪与 Gauss 齐名的有史以来最伟大的数学家之一, 他的水平远非以律师为主业的 “票友” 型数学家 Fermat 可比。 而且人们在对 Riemann 的部分手稿进行研究时发现, Riemann 对自己论文中的许多语焉不详的命题是做过扎实的演算和证明的, 只不过他和 Gauss 一样追求完美, 发表的东西远远少于自己研究过的。 更令人钦佩的是, Riemann 手稿中的一些演算和证明哪怕是时隔了几十年之后才被整理出来, 也往往还是大大超越当时数学界的水平 (其中一个典型的例子可参阅 第十节)。 因此我们有较强的理由相信, Riemann 在论文中以陈述而不是猜测的语气所表述的内容——无论有没有给出证明——都是有着深入的演算和证明背景的。

好了, 现在回到 J(x) 的表达式来, 这个表达式给出了 J(x) 与 Riemann ζ 函数之间的确切关联。 换句话说, 只要知道了 ζ(s), 通过这个表达式原则上就可以计算出 J(x)。 知道了 J(x), 下一步显然就是计算 π(x)。 这并不困难, 因为上面提到的 J(x) 与 π(x) 之间的关系式可以通过所谓的 Möbius 反演 (Möbius inversion) 来反解出 π(x) 与 J(x) 的关系式, 其结果为:

π(x) = Σn [μ(n)/n] J(x1/n)

这里的 μ(n) 被称为 Möbius 函数 (Möbius function), 它的取值如下:

  • μ(1) = 1
  • μ(n) = 0 (如果 n 可以被任一素数的平方整除)
  • μ(n) = -1 (如果 n 是奇数个不同素数的乘积)
  • μ(n) = 1 (如果 n 是偶数个不同素数的乘积)

因此知道了 J(x) 就可以计算出 π(x), 即素数的分布函数。 把这些步骤连接在一起, 我们看到, 从 ζ(x) 到 J(x), 再从 J(x) 到 π(x), 素数分布的秘密完全定量地蕴涵在了 Riemann ζ 函数之中。 这就是 Riemann 研究素数分布的基本思路。 在 下一节 中, 我们将进一步深入 Riemann 的论文, 让那些千呼万唤犹未露面的 Riemann ζ 函数的非平凡零点显露在我们的镁光灯下。

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注释

  1. 当然, 所谓 “难啃” 是一个相对的概念, 是相对于论文发表时数学界的水平而言的。
  2. 需要提醒读者注意的是, 为了先把 Riemann 论文的思路表述清楚, 我们对叙述的顺序作了调整, 这里所说的 “第一个例子” 是相对于我们调整后的叙述而言的。 在 Riemann 的原始论文中其它的一些例子出现得更早。
  3. Fermat 猜想 (现在被称为 Fermat 大定理) 的内容是: 方程 xn + yn = zn 在 n>2 时没有非零整数解 (这里 “非零” 指的是 x、 y、 z 全部非零)。

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