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Riemann 猜想漫谈 (六)

- 卢昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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八. 零点在哪里?

随着 Riemann 论文中的外围命题——那些被 Riemann 随手写下却没有予以证明的命题——逐渐得到证明, 随着素数定理的攻克, 也随着 Hilbert 演讲的聚焦作用的显现, 数学界终于把注意力渐渐投向了 Riemann 猜想本身, 投向了那座巍峨的主峰。

不知读者们有没有注意到, 我们谈了这么久的 Riemann ζ 函数, 谈了那么久的 Riemann ζ 函数的非平凡零点, 却始终没有谈及过任何一个具体的非平凡零点。 这也是 Riemann 论文本身的一个令人瞩目的特点, 即高度的言简意赅, 它除了没有对所涉及的许多命题给予证明外, 也没有对所提出的包括 Riemann 猜想在内的若干最困难的命题提供任何数值计算方面的支持。 Riemann 叙述了许多有关 Riemann ζ 函数非平凡零点的命题 (比如 第五节 中提到的三大命题), 却没有给出任何一个非平凡零点的数值!

倘若那些非平凡零点是容易计算的, 那倒也罢了, 可是就像被 Riemann 省略掉的那些命题个个都令人头疼一样, Riemann ζ 函数的那些非平凡零点也个个都不是省油的灯。

它们究竟在哪里呢?

直到 1903 年 (即 Riemann 的论文发表后的第四十四个年头), 丹麦数学家 Gørgen Gram (1850-1916) 才首次公布了对 Riemann ζ 函数前 15 个非平凡零点的计算结果[注一]。 在这 15 个零点中, Gram 对前 10 个零点计算到了小数点后第六位, 而后 5 个零点——由于计算繁复程度的增加——只计算到了小数点后第一位。 为了让读者对 Riemann ζ 函数的非平凡零点有一个具体印象, 我们把 Gram 所计算的这 15 个零点列在下面。 与此同时, 我们也列出了这 15 个零点的现代计算值 (保留到小数点后第七位), 以便大家了解 Gram 计算的精度:

零点序号 Gram 的零点数值 现代数值
1 1/2 + 14.134725 i 1/2 + 14.1347251 i
2 1/2 + 21.022040 i 1/2 + 21.0220396 i
3 1/2 + 25.010856 i 1/2 + 25.0108575 i
4 1/2 + 30.424878 i 1/2 + 30.4248761 i
5 1/2 + 32.935057 i 1/2 + 32.9350615 i
6 1/2 + 37.586176 i 1/2 + 37.5861781 i
7 1/2 + 40.918720 i 1/2 + 40.9187190 i
8 1/2 + 43.327073 i 1/2 + 43.3270732 i
9 1/2 + 48.005150 i 1/2 + 48.0051508 i
10 1/2 + 49.773832 i 1/2 + 49.7738324 i
11 1/2 + 52.8 i 1/2 + 52.9703214 i
12 1/2 + 56.4 i 1/2 + 56.4462476 i
13 1/2 + 59.4 i 1/2 + 59.3470440 i
14 1/2 + 61.0 i 1/2 + 60.8317785 i
15 1/2 + 65.0 i 1/2 + 65.1125440 i

几十年来, 这是数学家们第一次拨开迷雾实实在在地看到 Riemann ζ 函数的非平凡零点, 看到那些蕴涵着素数分布规律的神秘家伙。 它们都乖乖地躺在四十四年前 Riemann 划出的那条奇异的临界线上。 Gram 的计算所使用的是十八世纪三十年代发展起来的 Euler-Maclaurin 公式 (Euler–Maclaurin formula)[注二]。 在只有纸和笔的年代里, 这种计算是极其困难的, Gram 用了好几年的时间才完成对这 15 个零点的计算。 但即便付出如此多的时间, 付出极大的艰辛, 他在后五个零点的计算精度上仍不得不有所放弃。

在 Gram 之后, Ralf Josef Backlund (1888-1949) 于 1914 年把对零点的计算推进到了前 79 个零点。 再往后, 经过 Hardy、 Littlewood、 美国数学家 John Hutchinson (1867-1935) 等人的努力 (包括计算方法上的一些改进——但主体上仍使用 Euler-Maclaurin 公式), 到了 1925 年, 人们计算出了前 138 个零点, 它们全都位于 Riemann 猜想所预言的临界线上。

不过到了这时候, 以 Euler-Maclaurin 公式为主要手段的零点计算也已经复杂到了几乎令人难以逾越的程度, 零点计算暂时陷入了停顿状态。

九. Riemann 的手稿

随着数学界对 Riemann 猜想兴趣的日益增加, 这个猜想的难度也日益显露了出来。 当越来越多的数学家在高不可测的 Riemann 猜想面前遭受挫折之后, 其中的一些开始流露出对 Riemann 1859 年论文的一些不满之意。 我们在 上文 提到, Riemann 的论文既没有对它所涉及的许多命题给予证明, 又没有给出哪怕一个 Riemann ζ 函数非平凡零点的数值。 尽管 Riemann 在数学界享有崇高的声誉, 尽管此前几十年里人们通过对他论文的研究一再证实了他的卓越见解。 但在攀登主峰的尝试屡屡遭受挫折, 计算零点的努力又举步维艰的情况下, 对 Riemann 的怀疑声音终于还是无可避免地出现了。

于是在承认 Riemann 的论文为 “最杰出及富有成果的论文” 之后, 我们在 第一节 中提到过的德国数学家 Landau 开始表示: “Riemann 的公式远不是数论中最重要的东西, 他不过是创造了一些在改进之后有可能证明许多其它结果的工具”; 于是在为证明 Riemann 猜想度过了一段 “苦日子” 之后, 上文 提到过的英国数学家 Littlewood 开始表示: “假如我们能够坚定地相信这个猜想是错误的, 日子会过得更舒适些”; 于是就连用 Riemann 猜想跟上帝耍过计谋的英国数学家 Hardy 也开始认为 Riemann 有关零点的猜测只不过是个猜测, 仅此而已。 “仅此而已” 的意思就是没别的了——即没有任何计算及证明方面的依据。 换句话说, 数学家们开始认为 Riemann 论文中写下来的一切大致也就是他在这一论题上所做过的一切, 他那猜想的依据只是直觉, 而非证据。

那么 Riemann 猜想究竟是只凭借直觉呢, 还是有着其它的依据? Riemann 在那篇言简意赅的论文中写下来的东西究竟是不是他在这方面的全部研究呢? Riemann 的论文本身当然不可能为这些问题提供答案。 那么答案要到哪里去寻找呢? 只能到他的手稿中去寻找。

我们曾经提到过, 在 Riemann 那个时代, 许多数学家公开发表的东西往往只是他们所做研究的很小一部分。 在这种情况下, 他们的手稿及信件就成为了科学界极为珍贵的财富。 这种珍贵绝不是因为如今人们所习以为常的那种名人用品的庸俗商业价值, 而是在于其巨大的学术价值。 因为通过它们, 人们不仅可以透视那些伟大先辈们的 “beautiful mind” (“美丽心灵”), 更可以发掘他们未曾公开过的研究成果, 堪称是开挖一座座大大小小的宝藏。

Göttingen 大学图书馆
Göttingen 大学图书馆

不幸的是, Riemann 手稿的很大一部分却在他去世之后被他可恶的管家付之了一炬, 只有一小部分被他妻子 Elise 抢救了出来。 Elise 把那些劫后余生的数学手稿大部分交给了丈夫的生前挚友 Richard Dedekind (1831-1916)。 这是我们在 后文 中将会提到的一位著名的德国数学家。 但是在将手稿交给 Dedekind 之后隔了几年, Elise 又后悔了, 因为她觉得那些数学手稿中还夹带着一些私人及家庭方面的信息, 于是她向 Dedekind 索回了一部分手稿。 在这部分手稿中, 有许多几乎通篇都是数学, 只在其中夹带了极少量的私人信息——比如一位朋友的姓名等, 也不幸遭到了索回。 这其中对我们来说最关键的乃是一本小册子, 那是 Riemann 1860 年春天在巴黎时的记录。 那正是他发表有关 Riemann 猜想的论文之后的几个月。 那几个月巴黎的天气十分糟糕, 很多时候 Riemann 都待在住所里研究数学。 许多人猜测, 在那段时间里 Riemann 所思考的很可能与他几个月前所研究的 Riemann ζ 函数及其零点有关联, 而那本被 Elise 索回的小册子中很可能就记录了与 Riemann 猜想有关的一些想法。 可惜那本数学家们非常渴望获得的小册子从此再也没有出现过, 直到今天, 它的去向依然是一个谜。 有人说它曾被德国数学及数学史学家 Erich Bessel-Hagen (1898-1946) 获得过, 但 Bessel-Hagen 死于二战刚结束后的混乱年月中, 他的遗物始终没有被人找到过。

那些有幸躲过了管家的火把、 又没有被 Elise 索回的手稿, Dedekind 将它们留在了 Göttingen 大学的图书馆里, 这就是如今数学家和数学史学家们可以看到的 Riemann 的全部手稿 (Nachlass)。

自 Riemann 的手稿存放在 Göttingen 大学图书馆以来, 陆续有一些数学家及数学史学家前去研究。 但只要想一想 Riemann 正式发表的有关 Riemann 猜想的论文尚且如此艰深, 就不难想象研读他那些天马行空、 诸般论题混杂、 满篇公式却几乎没有半点文字说明的手稿该是一件多么困难的事情。 许多人满怀希望而来, 却又两手空空、 黯然失望而去。

Riemann 的手稿就像一本高明的密码本, 牢牢守护着这位伟大数学家的思维奥秘。

但是到了 1932 年, 终于有一位数学家从那些天书般的手稿中获得了重大的发现! 这一发现一举粉碎了那些认为 Riemann 的论文只有直觉而无证据的猜测, 并对 Riemann ζ 函数非平凡零点的计算方法产生了脱胎换骨般的影响, 让在第 138 个零点附近停滞多年的 Euler-Maclaurin 方法相形见拙。 这一发现也将它的发现者的名字与伟大的 Riemann 联系在了一起, 从此不朽。

这位破解天书的发现者叫做 Carl Ludwig Siegel (1896-1981), 他是 Riemann 的同胞——一位德国数学家。

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注释

  1. 由于 Riemann ζ 函数在上半复平面与下半复平面的非平凡零点是一一对应的 (请读者自己证明), 因此在讨论时只需考虑虚部大于零的零点。 我们把这些零点以虚部大小为序排列, 所谓 “前 15 个零点” 指的是虚部最小的 15 个零点。 后文中所有此类说法的含义也都是如此。
  2. Euler-Maclaurin 公式是一个将求和与积分联系起来的公式, 它使得人们既可以用积分来逼近求和, 也可以用求和来逼近积分, 从而是一种很有用的近似计算手段。 Euler-Maclaurin 公式可以表述为: Σkf(k) = ∫f(k)dk + (1/2)[f(m) + f(n)] + ΣjB2j/(2j)![f(2j-1)(n) - f(2j-1)(m)]。 其中左端对 (自然数) k 的求和从 m 到 n; 右端对 k 的积分从 m 到 n, 对 j 的求和从 1 到 ∞; B2j 为 Bernoulli 数 (B2=1/6,B4=-1/30,B6=1/42,……) 。 Euler-Maclaurin 公式的成立对函数 f(k) 有一定的要求。

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