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Riemann 猜想漫谈 (十三)

- 卢昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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二十二. Bohr-Landau 定理

在我们这 Riemann 猜想之旅的前面各节中, 已先后介绍了 Riemann ζ 函数的定义及其零点 (尤其是非平凡零点), 非平凡零点与素数分布之间的关联, 以及非平凡零点的计算 (包括对其是否符合 Riemann 猜想的验证, 以及数值计算)。 沿着零点计算这一线索, 我们介绍了人们对零点分布的统计研究, 以及由此而发现的零点分布与物理之间出人意料的关联。 这无疑是整个旅程中最令人惊叹的风景——事实上, 我之所以萌生出写作这一系列的念头, 这段风景乃是主要原因之一, 因此, 可以说正是这段风景使得我们的整个旅程成为可能。

看过了这段风景, 现在让我们重新回到纯数学的领地中来。 从纯数学的角度讲, 对一个数学猜想最直接的研究莫过于是寻求它的证明 (或否证), 对 Riemann 猜想也是如此。 可惜的是, Riemann 猜想却一直顽固地抗拒着这种研究, 直到今天为止, 也还没有任何人能在这种研究上取得被数学界公认的成功。 因此, 我们所能介绍的只是数学家们试图逼近 Riemann 猜想——或者说逼近临界线——的过程。

读者们想必还记得, 在前面各节中, 我们曾经介绍过两个具有普遍意义的零点分布结果: 一个是 第五节 中提到的 Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 0≤Re(s)≤1 的区域内。 这是 Euler 乘积公式的一个简单推论 (参阅 附录一); 另一个则是 第七节 中提到的 Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 0<Re(s)<1 的区域 (即临界带) 内。 这是在证明素数定理的过程中由 Hadamard 与 de la Vallée-Poussin 所证明的, 比前一个结果略进了一步, 时间则是 1896 年。 这两个结果与 Riemann 猜想虽然还相距很远, 但它们是普遍而严格的结果, 适用于所有的非平凡零点, 在这点上它们远远胜过了有关零点的所有数值计算。

令人欣喜的是, 在 Hadamard 与 Vallée-Poussin 之后 “仅仅” 过了十八个年头, 即 1914 年, 数学家们在对 Riemann ζ 函数零点分布的研究上就又取得了两个重大进展[注一]。 取得这两个重大进展的数学家正是我们在旅程 伊始 提到过的 Hardy, Bohr 和 Landau。 在本节中我们先来介绍 Bohr 与 Landau 的工作, 即 Bohr-Landau 定理。

但在介绍 Bohr-Landau 定理之前, 让我们先对零点分布的基本对称性做一个简单分析。 我们在 第八节注释 中曾经提到, Riemann ζ 函数在上半复平面与下半复平面的非平凡零点是一一对应的。 具体地讲, 这种一一对应是通过以 s=1/2 (即实轴与临界线的交汇点) 为原点的反演对称性实现的。 这种对应性可以由零点与 Riemann ζ 函数非平凡零点相重合的辅助函数 ξ(s) 所满足的关系式 ξ(s)=ξ(1-s) (参阅 第五节) 看出来。 除了这一反演对称性外, Riemann ζ 函数的非平凡零点分布还满足一个对称性, 那就是关于实轴的反射对称性。 这是由于 ξ(s) 除满足 ξ(s)=ξ(1-s) 外, 还满足一个关系式: ξ(s)=ξ(s) (请读者自行证明)。 由这两个对称性可以推知 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布相对于临界线也具有反射对称性。 这些对称性的存在表明, 要研究零点的分布, 只需研究临界带的四分之一, 即 {Re(s)≥1/2, Im(s)≥0} 的区域就行了。 我们以前介绍过的零点计算就是针对这一区域的, 下面要介绍的 Bohr-Landau 定理的表述也是如此。

Bohr 与 Landau 所证明的是这样一个定理[注二]

Bohr-Landau 定理: 如果 |ζ(s)|2 在直线 Re(s)=σ 上的平均值对 σ>1/2 有界, 且对 σ≥σ0>1/2 一致有界, 则对于任何 δ>0, 位于 Re(s)≥1/2+δ 的非平凡零点在全部非平凡零点中所占比例为无穷小。

在进一步讨论这一定理之前, 我们先来解释或定义一下该定理所涉及的一些术语的含义。 首先解释一下什么叫做 “|ζ(s)|2 在直线 Re(s)=σ 上的平均值”。 这个平均值是由

来定义的。 这个定义与函数平均值的普遍定义——即函数在区间上的积分除以区间的长度——是完全一致的。 只不过由于 Re(s)=σ 的长度无限, 因此在定义中涉及到一个极限。 此外由于我们真正关心的是 t 很大的区域, 因此积分下限的选择并不重要, 为了避免 ζ(s) 在 s=1 处的极点对定理的表述造成不必要的麻烦, 我们选了一个非零的积分下限。

其次, 什么叫做 |ζ(s)|2 在直线 Re(s)=σ 上的平均值 “对 σ>1/2 有界, 且对 σ≥σ0>1/2 一致有界”? “对 σ>1/2 有界” 很简单, 就是说对任何 σ>1/2, 存在常数 T0 及 C 使得:

对所有 T>T0 成立。 而 “对 σ≥σ0>1/2 一致有界” 则是说对任何 σ0>1/2, 存在与 σ 无关的常数 T0 及 C, 使得上式对所有 σ≥σ0 及 T>T0 都成立。

最后, “位于 Re(s)≥1/2+δ 的非平凡零点在全部非平凡零点中所占比例为无穷小” 指的是位于 {Re(s)≥1/2+δ, 0≤t≤T} 的非平凡零点的数目与位于 {Re(s)≥1/2, 0≤t≤T} 的非平凡零点 (即所考虑的临界带四分之一区域内 0≤t≤T 的全部非平凡零点) 的数目之比在 T→∞ 时趋于零[注三]

做了这些解释或定义, 我们就对 Bohr-Landau 定理的字面含义有了一些了解。 它实质上是在 |ζ(s)|2 的平均值与 ζ(s) 的零点分布之间建立了一种联系。 这种存在于复变函数的模与零点之间的关联并不鲜见, 1899 年, 丹麦数学家 Johan Jensen (1859-1925) 提出的 Jensen 公式 (Jensen's Formula) 及其推广 Poisson–Jensen 公式 (Poisson–Jensen formula) 就是一例, 它把一个亚纯函数在一个圆域内的零点和极点与函数的模在圆域边界上的性质联系在了一起。 这一公式也正是 Bohr 与 Landau 在证明他们的定理时所用到的主要公式。

很明显, 我们感兴趣的是 Bohr-Landau 定理中有关非平凡零点分布的叙述, 即 “对于任何 δ>0, 位于 Re(s)≥1/2+δ 的非平凡零点在全部非平凡零点中所占比例为无穷小”。 但是这一叙述是否成立还有赖于 Bohr-Landau 定理的前提, 即 “|ζ(s)|2 在直线 Re(s)=σ 上的平均值对 σ>1/2 有界, 且对 σ≥σ0>1/2 一致有界” 的成立与否。

幸运的是, 这一前提可以证明是成立的。 为了看到这一点, 我们来分析一个比较简单的情形, 即 σ≥σ0>1 的情形。 用我们在上文提到的关系式 ξ(s)=ξ(s), 及 σ>1 时 ζ(σ+it) 的级数展开式 Σnn-σ-it 可得:

|ζ(σ+it)|2 = ζ(σ+it)ζ(σ-it) = ΣnΣmn-σ-itm-σ+it

另一方面, 由于 σ≥σ0>1 时 ζ(s) 在 s=1 处的极点对计算没有影响, 因此我们可以将 |ζ(σ+it)|2 的平均值定义中的积分下限取为 -T (相应的将 1/(T-1) 改为 1/(2T)) 以利于计算积分 (这里再次用到了 ξ(s)=ξ(s))。 将上面有关 |ζ(σ+it)|2 双重求和表达式代入平均值的定义, 并先交换积分与求和的顺序, 再交换求和与极限 T→∞ 的顺序 (请读者自行证明这样做的合理性), 可以发现只有 m=n 的项才对结果有贡献, 而它们的贡献一致收敛于 Σnn-2σ=ζ(2σ) (也请读者自行证明)。 这表明对所有 σ≥σ0>1, Bohr-Landau 定理中的前提都是成立的。

当然, 这样的简单证明不适用于 σ≤1 的情形 (因为 ζ(σ+it) 的级数展开式不再适用), 但我们可以注意到证明结果中的 ζ(2σ) 对所有 σ>1/2 都有意义。 因此读者们也许会猜测到这一结果的适用范围可以由 σ≥σ0>1 拓展到 σ≥σ0>1/2。 事实也正是如此。 可以证明, 对于任何 σ0>1/2 及 ε>0, 存在与 σ 无关的常数 T0 使得:

对所有 σ≥σ0 及 T>T0 都成立。 这一结果显然表明 (请读者自行证明) Bohr-Landau 定理中的前提是成立的。 这一点在 Bohr-Landau 定理之前就已经被证明, 并出现在 1909 年出版的 Landau 的名著 《素数分布理论手册》(Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen) 之中。

既然前提成立, 那么 Bohr-Landau 定理的结论也就成立了。 这样我们就得到了继 Hadamard 与 Vallée-Poussin 之后又一个有关 Riemann ζ 函数非平凡零点分布的重要结果: 对于任何 δ>0, 位于 Re(s)≥1/2+δ 的非平凡零点在全部非平凡零点中所占比例为无穷小。 或者换句话说, 在包含临界线的无论多小的带状区域内都包含了几乎所有的非平凡零点

看到这里, 有些读者也许会问: 既然包含临界线的 “无论多小” 的带状区域都包含了几乎所有的非平凡零点, 那么通过将这个带状区域无限逼近临界线, 我们是不是就可以把那些零点 “逼” 到临界线上, 从而证明几乎所有的非平凡零点都落在临界线上呢? 很遗憾, 我们不能。 事实上单单从 Bohr-Landau 定理所给出的描述中, 我们不仅无法证明几乎所有的非平凡零点都落在临界线上, 甚至无法证明哪怕有一个零点落在临界线上! 零点的分布完全有可能满足 Bohr-Landau 定理所给出的描述, 却没有一个真正落在临界线上 (请读者想一想这是为什么)。 这是数学中与无穷有关的无数微妙细节中的一个。

但尽管如此, Bohr-Landau 定理对非平凡零点分布的描述比十八年前 Hadamard 与 Vallée-Poussin 所证明的结果还是要强得多。 它虽然没能直接证明临界线上有任何零点 (Hadamard 与 Vallée-Poussin 的结果也同样不能证明这一点), 但它非常清楚地显示出了临界线在非平凡零点分布中的独特地位, 即它起码是 Riemann ζ 函数非平凡零点的汇聚中心。 这是一个沉稳而扎实的进展, 数学家们正在一步步地逼近着临界线。

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注释

  1. 当然, 在 1914 年之前也曾有过一些值得一提的结果, 比较著名的一个是芬兰数学家 Ernst Lindelöf (1870-1946) 于 1908 年提出的有关虚部 t 趋于无穷时 |ζ(σ+it)| 渐近行为的猜想, 即所谓的 Lindelöf 猜想 (Lindelöf hypothesis)。 1918 年, Lindelöf 的学生 Ralf Josef Backlund (1888-1949) 证明了 Lindelöf 猜想等价于这样一个命题, 即 Riemann ζ 函数在复平面上 {1/2<σ≤Re(s)≤1, T≤t≤T+1} 的非平凡零点的数目为 N(σ, T) = o(lnT)。 读者们可以对比 第五节 中 Riemann 三个命题中的第一个来思考一下这一猜想的含义。 不过 Lindelöf 猜想虽然远比 Riemann 猜想弱, 其证明却出乎意料地困难, 直到今天也还只是一个猜想 (1998 年曾有人提出过一个长达 89 页的证明, 但后来被发现是错误的), 因此我们只在这里简略地提一下。
  2. 这里我们所用的表述和 Bohr 与 Landau 所用的略有差异。 他们的表述是针对 (1-21-s)ζ(s) 的平均值而给出的。
  3. Bohr 与 Landau 实际证明的结果比这更具体, 他们证明了对于任何 δ>0, 位于 {Re(s)≥1/2+δ, 0≤t≤T} 的非平凡零点的渐近数目不超过 KT (从而所占比例为无穷小——请读者思考一下这是为什么?)。 另外顺便提一下: t, 也就是 Im(s), 的区间选取在文献中略有出入, 有时用 0≤t≤T, 有时用 0<t<T。 对于我们所关心的渐近行为而言, 两者并无实质差别。

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