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Riemann 猜想漫谈 (十五)

- 卢昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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二十五. 数学世界的独行侠

Atle Selberg
Atle Selberg

在二十世纪的数学家中, Selberg 是非常独特的一位。 当数学的发展使得数学家之间的相互合作变得日益频繁的时候, Selberg 却始终维持了一种古老的 “独行侠” 姿态——他所走的是一条独自探索的道路。 Selberg 于 1917 年出生在寒冷的北欧国家挪威。 年少的时侯, 他常常独自静坐在他父亲的私人图书室里阅读数学书籍。 那段经历与他后来近乎孤立的研究风格遥相呼应。 就在那时, 他接触到了有关印度数学奇才 Ramanujan 的故事。 那些故事, 以及 Ramanujan 的那些有如神来之笔的奇妙公式深深地吸引了他。 随着阅读的深入, Selberg 自己的数学天赋也渐渐显现了出来。 他十二岁开始自学高等数学, 十五岁开始发表数学作品, 而到了二十岁那年, 他已经可以对 Hardy 与 Ramanujan 的一个著名的公式作出改进[注一]。 不过遗憾的是, 同样的结果在一年之前就已经由德国数学家 Hans Rademacher (1892-1969) 做出并发表了。

在二战期间, 欧洲的许多科学家被迫离开了家园, 整个欧洲的学术界变得沉寂凋零。 但 Selberg 仍然留在了挪威, 在奥斯陆大学 (University of Oslo) 独自从事数学研究。 随着战事的深入, 学校里不仅人越来越少, 到后来甚至连外界的学术期刊也无法送达了。 Selberg 与数学界的交流彻底地中断了。 但这种在常人看来十分可怕的孤立, 在 Selberg 眼里却有一种全然不同的感觉。 他后来回忆当时的情形时说: “这就像处在一座监狱里, 你与世隔绝了, 但你显然有机会把注意力集中在自己的想法上, 而不会因其他人的所作所为而分心, 从这个意义上讲我觉得那种情形对于我的研究来说有许多有利的方面”。 这个道理虽然浅显, 但真正能忍受这种孤立的环境, 并善加利用的人却是少之又少, Selberg 是其中之一。

战争结束后的 1946 年, Selberg 应邀出席了在丹麦首都哥本哈根举行的斯堪的纳维亚数学家大会 (Scandinavian Congress of Mathematicians), 并做了报告, 向数学界介绍了他在战争期间所做的工作。 这其中最重要的一项工作, 就是我们将在 下节 中介绍的他在 Riemann 猜想研究上的成就。 在那段战火纷飞、 纳粹横行的黑暗岁月里, 欧洲的数学界几乎分崩离析, 数学家们走的走, 散的散, 下岗的下岗、 参战的参战, 真正留在本土从事研究且作出重大成就的人很少, 以至于 Bohr (即 第二十二节 所介绍的 Bohr-Landau 定理中的 Bohr) 曾对当时已移民美国的来访者 Siegel (即 第十节 所介绍的 Riemann-Siegel 公式中的 Siegel) 戏称说, 战时整个欧洲的数学新闻可以归结为一个词, 那就是 Selberg!

Selberg 的卓越贡献一经曝光很快就引起了著名的美国 “猎头公司” Princeton 高等研究院的注意。 Princeton 高等研究院我们曾在 第十七节 中提到过。 与那些每一条林荫道、 每一间咖啡屋都散发着悠远历史的欧洲学术之都相比, 创建于 1930 年的 Princeton 高等研究院显得十分年轻。 但它却在极短的时间内声誉鹊起, 成为了世界级的学术中心。 这一崛起在很大程度上得益于它在二战期间吸引了为躲避纳粹而从欧洲来到美国的许多第一流学者, 这其中包括像 Albert Einstein (1879-1955) 与 Gödel 那样的绝世高手。 战争结束后, 在高等研究院任教的德国数学家 Hermann Weyl (1885-1955) 向 Selberg 发出了邀请。 Weyl 本人就是被 Princeton 高等研究院从欧洲 “猎取” 来的顶尖数学家, 他曾是 Hilbert 在 Göttingen 大学的继任者, 但 Weyl 的妻子是犹太人, 这使得他们在德国难以立足。 Selberg 接受了 Weyl 的邀请, 于 1947 年来到了高等研究院, 1949 年成为正式成员。 1950 年, Selberg 因其在 Riemann 猜想及其它领域的杰出贡献, 与法国数学家 Laurent Schwartz (1915-2002) 共同获得了数学界的最高奖: 菲尔兹奖[注二]

Princeton 高等研究院是学术交流与合作的天堂, 它与战时奥斯陆大学的与世隔绝有着天壤之别。 但 Selberg 的研究风格并没有因环境的改变而发生变化, 他一如既往地走着一条孤立研究的道路[注三], 并且——与当年的 Gauss 一样——他有许多工作没有发表。 在年轻的时候, 他的孤立使他未能及早发现 Rademacher 已经发表的文章, 以至于重复了后者的工作。 如今, 在他的声誉如日中天时, 他的孤立却让其他数学家的心里忐忑了起来, 担心自己辛苦劳作的结果是在重复 Selberg 早已完成过的工作。 在 Selberg 落户高等研究院二十几年后的一天, 部分地正是因为这种担心, 让年轻的 Montgomery 踏上了 Princeton 之旅, 从而有了我们在 第十七节 中叙述过的那个数学与物理交汇的动人故事。

二十六. 临界线定理

对于我们这个系列来说, 在 Selberg 的工作中最重要的, 显然是他在 Riemann 猜想研究上的成就。 如前所述, 他的这一研究是在二战期间进行的。 出于对 Ramanujan 的兴趣, Selberg 对剑桥大学的 “三剑客”——即 Ramanujan、 Hardy、 Littlewood——的工作进行了深入研究。 这其中 Hardy 与 Littlewood 所证明的有关 Riemann ζ 函数非平凡零点分布的 Hardy-Littlewood 定理引起了他的极大兴趣。 Hardy-Littlewood 定理是一个非常漂亮的定理, 但它的结果却太弱, 因为——如我们在 第二十四节 中所介绍的——它所能确立的位于临界线上的零点数目相对于非平凡零点的总数来说, 其渐近比例等于零。

Selberg 想要做的是改进这一结果。

Hardy 与 Littlewood 都是英国顶尖的数学家, 虽然他们的结果距离解决 Riemann 猜想还非常遥远, 但他们这项工作思虑周详、 推理严谨, 几乎没有留下任何空隙能让别人去填补。 或者换句话说, 他们在这项工作中所采用的方法已经被推到了极致。 这一点 Hardy 与 Littlewood 自己也很清楚, 在论文中他们明确表示用这一方法已经难以取得进一步的结果了。

因此, 要想改进 Hardy 与 Littlewood 的结果, 就必须突破他们所用的方法。 我们知道 (详见第 二十三二十四 节), 在 Hardy 与 Littlewood 所用的方法中一个很关键的部分, 就是对 2ξ(z)xz-1/z(z-1) 的积分进行研究。 Hardy 最初研究的是 2ξ(z)xz-1/z(z-1) 在无穷区间 (1/2-i∞, 1/2+i∞) 上的积分, 而在 Hardy 与 Littlewood 的合作研究中, 为了得到临界线上零点分布的细致结果, 这一积分范围被细化成了临界线上的任意有限区间 (s-ik, s+ik), 其中 Re(s)=1/2。 从选择积分区间的角度讲, 这一推广已经达到了极致。

那么想要突破 Hardy 与 Littlewood 的方法, 该从哪里下手呢? Selberg 把目光盯在了被积函数上。 Selberg 发现, 如果我们用一个适当的函数对 Hardy 与 Littlewood 所用的被积函数 2ξ(z)xz-1/z(z-1) 进行 “调制”, 就有可能使对其积分的研究变得更为精准。 为此他把自己的注意力放在一个更普遍的积分:

上。 这个积分与 Hardy 与 Littlewood 所用的积分相比多了一个被积因子 φ(z)φ*(z), 这个因子就是 Selberg 引进的调制函数, 也是他在方法上的突破。

那么什么样的调制函数比较有利于对这个积分进行研究呢? Selberg 认为应该选一个能够对 ξ(z) 在零点附近的行为进行某种控制的函数。 这种函数的一个比较容易想到的选择是 φ(z)=[ζ(z)]-1/2。 由于 ζ(z) 与 ξ(z) 具有同样的零点, 因此用这个调制函数可以完全消去 ξ(z) 的零点。 但这个选择有一个不利之处, 那就是它在 z=1 处具有奇异性。 为了避免这一奇异性对 φ(z) 的解析延拓造成麻烦, Selberg 对 [ζ(z)]-1/2 的展开式 [ζ(z)]-1/2 = Σnαnn-z 进行了截断处理, 他引进了一个新的级数 φ(z)=Σnβnn-z。 这个新级数的系数 βn 在 n≤N (N 为某个很大的正整数) 时取为 [1-ln(n)/ln(N)]αn, 而在 n>N 时则取为零。 这样引进的 φ(z) 是一个至多只有 N+1 项的有限级数, 从而对所有的 z 都解析。 另一方面, 在 N 很大时它是对 [ζ(z)]-1/2 的近似, 因此通过对 N 进行调节, Selberg 可以对 ξ(z) 在零点附近的行为进行某种控制。

这一调制函数果然不负厚望, 通过它的辅助, Selberg 经过复杂的计算与推理, 终于证明了一个比 Hardy-Littlewood 定理强得多的结果。 这个结果被称为临界线定理 (critical line theorem)[注四]

临界线定理: 存在常数 K>0 及 T0>0, 使得对所有 T>T0, Riemann ζ 函数在临界线上 0≤Im(s)≤T 的区间内的非平凡零点数目不小于 KTln(T)。

Selberg 得到这一结果是在 1942 年, 当时欧洲的战火仍在燃烧, 奥斯陆大学仍处于与世隔绝之中。 外界的数学家们固然大都不知道他的这一重大成果, Selberg 本人也不确定自己是否又会像当年改进 Hardy 与 Ramanujan 的工作那样重复别人已经完成过的东西。 战争一结束, 当他听说邻近的 Trondheim 理工学院 (Institute of Technology in Trondheim) 已经收到了在战争期间无法送达的数学杂志时, 就专程前往, 花了一星期的时间查阅文献。 这一次他没有失望, 二十一年来数学界对 Riemann ζ 函数非平凡零点分布的解析研究基本上仍停留在 Hardy-Littlewood 定理的水平上, 孤独的 Selberg 远远地走到了时代的前面。

那么 Selberg 的这一临界线定理究竟强到什么程度呢, 让我们再回忆一下在 第五节 中提到过, 并在后面章节中屡次被引述过的 Riemann 那三个命题中的第一个——也是唯一一个被证明了的——命题: 在 0<Im(s)<T 的区间内 (不限于临界线上), Riemann ζ 函数非平凡零点的数目约为 (T/2π)ln(T/2π) - (T/2π)。 将这个结果与 Selberg 的临界线定理相比较, 显然可以看到 (请读者们自行证明): 临界线定理表明 Riemann ζ 函数位于临界线上的零点在全部非平凡零点中所占渐近比例的下限大于零! 就这样, 从 Bohr、 Landau 到 Hardy、 Littlewood, 再到 Selberg, 经过一系列艰辛的解析研究, 数学家们所确定的位于临界线上的零点数目终于破天荒地超过了 0%, 达到了一个 “看得见” 的比例, 这在 Riemann 猜想的研究中是一个重要的里程碑。

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注释

  1. 这一公式叫做 Hardy-Ramanujan 公式, 它所描述的是将一个任意正整数分解为正整数之和的可能方式数。 Hardy-Ramanujan 公式的形式非常复杂, 但却只是一个近似结果。 Rademacher 及 Selberg 所做的事情, 是将它改进为了精确结果。
  2. 菲尔兹奖委员会对 Selberg 获奖贡献的描述是: 发展及推广了 Viggo Brun (1885-1978, 挪威数学家) 的筛法 (sieve methods); 获得了有关 Riemann ζ 函数零点的重要结果; (与 P. Erdös 一起) 给出了一个素数定理的初等证明, 以及对任意算术序列中素数研究的推广。
  3. Selberg 一生只有一篇论文是与别人合作的, 合作者就是我们在 第十七节 中提到过的那位促成了 Montgomery 与 Dyson “茶室邂逅” 的印度数学家 Chowla (Chowla 的交际能力之强由此可见一斑)。 除此之外, 即使在被菲尔兹奖委员会提到的他与 Erdős 一起给出的素数定理的初等证明中, 他也不曾与 Erdős 合写论文 (这件事情后来还不幸演变成他与 Erdős 之间的一段很不愉快的经历, 这是题外话)。
  4. 有读者可能会问: 这个定理为什么不叫做 Selberg 定理? 那是因为 “Selberg 定理” 这一名称在一定程度上已经 “名花有主” 了——他的某些其它成果有时被冠以这一名称。 不过即便如此, 人们有时也的确仍把临界线定理称为 Selberg 定理。

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