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本文发表于 2012 年 3 月 15 日的《南方周末》, 发表稿略经编辑修改, 标题则被改为了 “十万亿个证据不如一个证明——猜猜黎曼猜想的命运”。

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黎曼猜想浅说 (下)

- 卢昌海 -

本文是应《南方周末》约稿而写的黎曼猜想简介, 本站版本对若干人名、 地名等加注了英文。

<< 接上篇

黎曼那篇提出了黎曼猜想的著名论文除了有许多 “证明从略” 的地方外, 还有一个很突出的特点, 那就是它虽然反复涉及了黎曼 ζ 函数的非平凡零点, 甚至还提出了与零点分布有关的一系列命题 (包括大名鼎鼎的黎曼猜想), 却没有举出哪怕一个具体的例子——即没有给出哪怕一个零点的数值。 而且与那些 “证明从略” 的地方并非容易证明同样要命的是, 黎曼不曾给出的那些零点的数值也并非轻易就能计算得了的。 事实上, 直到黎曼那篇论文发表 44 年后的 1903 年, 才有人填补了这方面的空白: 丹麦数学家格兰姆 (Gørgen Gram) 计算出了 15 个零点的数值。 这是人们首次窥视到黎曼 ζ 函数非平凡零点的具体存在。 当然, 那 15 个零点全都位于黎曼猜想所预言的临界线上。

与我们在 第二节 中介绍的理论研究中的层层推进基本平行, 数学家们计算零点的漫长征途, 也呈现出了层层推进的态势。 但这推进过程在起初一段时间里却显得极为缓慢, 直到 1925 年, 才计算出了区区 138 个零点, 而且在那之后陷入了停顿。 为什么会陷入停顿呢? 原因很简单, 就是当时计算零点的方法比较笨拙, 致使计算量过于巨大。 而当时的计算又全靠手工, 零点数目一多, 计算量就大到了令人难以应付的程度。

既然是计算方法的笨拙使计算陷入了停顿, 那么很显然地, 计算的重新启动需要有新的计算方法。 这新的计算方法在 7 年后的 1932 年终于 “出土” 了——我没有写错, 确实是 “出土”, 因为它是从早已去世了的黎曼的手稿中 “挖” 出来的!

黎曼那个时代的一些著名数学家有一个今天的数学家们很少效仿、 今天的读者很难理解的特点, 那就是常常不发表自己的研究成果。 由于这个特点, 那些数学家的手稿有着比普通名人用品所具有的单纯的猎奇价值重要得多的意义, 因为从中有可能发现一些他们未曾发表过的研究成果。 黎曼的手稿就是如此。 不过令人惋惜的是, 黎曼的手稿在他去世后有很大一部分被他的管家付之了一炬, 只有一小部分被他妻子抢救了出来。 在劫后余生的手稿中, 又有一部分被他妻子以涉及私人信息为由 “克扣” 掉了 (其中包括许多几乎通篇都是数学, 只夹带了极少量私人信息的手稿), 剩下的才是后人真正可以查阅的。 那些可供查阅的手稿被收录于哥廷根大学的图书馆。

不过, 那部分手稿虽然可供查阅, 但只要想想黎曼公开发表的文章尚且如此艰深, 动辄花费后世数学家几十年的时间才能填补空白, 就不难想象研读他的手稿会是什么感觉了。 黎曼的研究领域极为宽广, 手稿中常常诸般论题混杂, 而且几乎没有半句说明。 自黎曼的手稿被存放于哥廷根大学图书馆以来, 陆续有一些数学家及数学史学家慕名前去研究, 但在那极度的艰深晦涩面前, 大都满怀希望而来, 却两手空空而去。 黎曼的手稿就像一本高明的密码本, 牢牢守护着这位伟大数学家的思维奥秘。

但到了 1932 年, 终于有一位数学家从黎曼的手稿中获得了重大发现——发现黎曼不仅亲自计算过若干个零点的数值, 而且还有自己独特的、 直到 “出土” 之日仍遥遥领先于当时数学界的计算方法。 这一发现为黎曼 ζ 函数非平凡零点的计算带来了脱胎换骨般的变化, 让停滞在第 138 个零点上的计算重新启动。 当然, 这一发现也进一步提高了黎曼那原本就已极为崇高的声望, 在很大程度上驱散了一些数学家对黎曼论文中那些 “证明从略” 部分的怀疑。 因为它表明黎曼那篇高度简练的论文只是冰山的尖顶, 在那下面有着大量扎实的研究。 那么, 发现这一切的人是谁呢? 是黎曼的一位同胞: 德国数学家西格尔 (Carl Ludwig Siegel)。 为了从天书般的黎曼手稿中 “出土” 公式, 西格尔付出了艰辛的努力。 为了表彰他的努力, 人们将这一计算黎曼 ζ 函数非平凡零点的新方法称为了黎曼-西格尔公式 (Riemann–Siegel formula)。

黎曼-西格尔公式的 “出土” 大大推进了零点计算。 在短短几年间, 数学家们就把零点计算推进了一个数量级, 达到了 1000 个以上的零点。 虽然随后爆发的第二次世界大战中断了零点计算, 但战后计算机技术的发展, 又使得零点计算呈现出了井喷势头: 从 1956 年到 1969 年的十几年间, 被计算出的零点数目又推进了好几个数量级, 从 25,000 个推进到了 3,500,000 (350 万) 个。 当然, 所有这些零点也都无一例外地位于黎曼猜想所预言的临界线上。 说到这里顺便提醒读者一下, 我们这里及下文所说的零点计算除早期那些小规模的计算外, 大都只是验证零点是否在临界线上, 而并不计算它们的具体数值。

验证了 350 万个零点全部位于临界线上, 无疑大大增强了数学家们对黎曼猜想的信心。 不过, 不相信的也还是大有人在。 比如德国普朗克数学研究所 (Max Planck Institute for Mathematics) 的一位名叫查基尔 (Don Zagier) 的数学家对这种验证就不以为然。 在他看来, 区区 350 万个零点根本不说明问题。 他的这种不以为然很快遇到了对手: 一位对黎曼猜想深信不疑的铁杆 “粉丝”。 这位 “粉丝” 名叫蓬皮埃利 (Enrico Bombieri), 是著名的意大利数学家。 两人一个疑心重重、 一个深信不疑, 谁也不服谁。 怎么办呢? 查基尔提议打赌。 说起来, 其实查基尔对黎曼猜想倒也并非全然不信, 而且也并非一味轻视对零点的数值计算, 他只是觉得 350 万个零点实在太少了, 不足以让他信服。 那么, 要计算多少个零点才能让他信服呢? 他开出的数目是 3 亿。 于是两人就以这个数目为限订下了赌约: 如果黎曼猜想在前 3 亿个零点中出现反例, 就算查基尔获胜; 反之, 如果黎曼猜想被证明, 或者虽然没被证明, 但在前 3 亿个零点中没有出现反例, 则算蓬皮埃利获胜。 赌注为两瓶葡萄酒。

初看起来, 相对于已经计算出的 350 万个零点来说, 查基尔的 3 亿个零点简直就是 “狮子大开口”, 查基尔自己也估计这个赌局也许要花上 30 年的时间才能分出胜负。 可是他显然跟那个时代的多数其他人一样, 大大低估了计算机技术的发展速度。 事实上, 离赌局的设立还不到 10 年, 1979 年, 零点计算就被推进到了 8,100 万个。 不久之后, 又被推进到了两亿个, 距离赌局的终结只剩下了一步之遥, 而形势则对查基尔极为不利——因为那两亿个零点全都位于临界线上。

不过, 计算出那两亿个零点的数学家对查基尔的赌局一无所知, 在计算完两亿个零点后就停了下来, 这一点让查基尔大大地松了一口气。 可惜, 他这口气没能松太久, 因为他的一位朋友恰好访问了那位数学家, 不仅将赌局之事告诉了后者, 还进行了一番鼓动。 后者一听零点计算还有这么重大的意义, 就立刻展开了新的计算, 一鼓作气推进到了 3 亿个零点——当然, 黎曼猜想岿然不动。

查基尔输了, 他兑现诺言买来了两瓶葡萄酒。 蓬皮埃利当场打开其中一瓶与他共饮。 他们喝掉的这瓶葡萄酒用查基尔的话说, 是世界上被喝掉的最昂贵的葡萄酒, 因为正是为了以它为赌注的那个赌局, 数学家们特意多计算了一亿个零点, 为此花费了约 70 万美元的计算经费。 也就是说, 被他们喝掉的这瓶葡萄酒是用 35 万美元的经费换来的! 喝完了这瓶葡萄酒, 查基尔从此也对黎曼猜想深信不疑了。

在查基尔和蓬皮埃利的赌局之后, 像查基尔那样看重零点计算、 以此决定自己对黎曼猜想信任度的数学家越来越少了; 像验证 3 亿个零点那样愿意把巨额经费投入到零点计算中的人也越来越少了。 不过对零点的计算并没有就此终止。 2001 年, 一位名叫魏德涅夫斯基 (Sebastian Wedeniwski) 的德国研究者创立了一种崭新的计算模式: 分布式计算, 即利用彼此联网的许多台计算机来共同计算零点。 这个分布式计算系统建成之后, 不久就被推向了互联网, 吸引了世界各地大量数学和计算机爱好者的参与, 联网计算机的数目很快就稳定在了 10,000 台以上, 每天计算出的零点数目在 10 亿以上。 至于经费, 则基本可以忽略不计, 因为参与者都是自愿而无偿地贡献出自己的计算资源的。

到了 2004 年末时, 魏德涅夫斯基的分布式计算系统所计算出的零点总数逼近了一个激动人心的数目: 一万亿。 眼看着一次辉煌庆典已指日可待, 不料却从法国传来了一个令人吃惊的消息: 两位法国人完成了对 10 万亿个零点的计算, 比他们翘首期待的一万亿高出了整整一个数量级! 更令人吃惊的是, 这两位法国人完成这一工作所用的计算资源居然只是几台普通的计算机, 所花费的时间也只有一年多。 此时此刻, 这样的一则消息对于魏德涅夫斯基来说无疑是当头一棒, 结果庆典变成了谢幕, 魏德涅夫斯基在不久之后关闭了整个系统。 此情此景, 犹如九十多年前英国探险家斯科特 (Robert Falcon Scott) 挺进南极的经历: 当他们历经艰辛、 即将抵达南极点时, 却发现挪威探险家阿蒙森 (Roald Amundsen) 已经捷足先登 (斯科特及同伴后来在黯然返回的途中全部遇难)。

两位法国人凭借几台普通计算机一年多的工作, 居然超过了全世界上万台联网计算机几年的工作, 而且超过了整整一个数量级, 这是什么缘故呢? 是因为他们采用了一种比黎曼-西格尔公式更高明的计算方法。 这一计算方法是出生于波兰的数学家欧德里兹科 (Andrew Odlyzko) 与合作者肖恩哈格 (Arnold Schönhage) 于 1988 年所提出的。

欧德里兹科为什么会研究零点计算的算法呢? 这也牵扯到一段故事, 而且是很有意思的故事。 当然, 表面上的原因是跟所有其它从事零点计算的人一样的, 那就是因为他对零点计算很感兴趣。 不过, 他那兴趣的由来跟其他人有所不同, 其他人的兴趣大都来自于对黎曼猜想本身的兴趣, 他却是因为听了美国数学家蒙哥马利 (Hugh Montgomery) 的一个并非直接针对黎曼猜想的研究报告, 才从事零点计算, 并研究零点计算的算法的。 蒙哥马利那个报告所介绍的是一项很独特的研究, 即研究黎曼 ζ 函数非平凡零点在临界线上的分布规律。 他的研究表明, 在适当的假设——其中包括假设黎曼猜想成立——下, 可以证明黎曼 ζ 函数的非平凡零点在临界线上的分布呈现出一种相互排斥的趋势 (即倾向于彼此远离), 这个趋势可以用一个不太复杂的数学公式来描述。

蒙哥马利自 20 世纪 70 年代初就开始研究黎曼 ζ 函数非平凡零点在临界线上的分布规律了。 他发现了规律, 并且因为那规律不太复杂而直觉地感到在其背后应该蕴含着某种玄机。 为了揭开那玄机, 他特意访问了普林斯顿高等研究院。 在那里, 他 “觐见” 了黎曼猜想研究的元老赛尔伯格。 可惜就连赛尔伯格也看不透那规律背后的玄机。 不过, 在高等研究院那样一个名家云集的地方, 随时都有可能出现意想不到的学术交流。 蒙哥马利在最有希望得到信息的赛尔伯格那里不曾得到有价值的信息, 却在高等研究院的茶室里偶遇了一位物理学家。 那位物理学家名叫戴森 (Freeman Dyson), 是一位研究领域很宽广的人物, 当他在和蒙哥马利的攀谈中获知后者所发现的这个零点在临界线上的分布规律时, 登时就吃了一惊。 因为他想起了自己十多年前的一系列研究。 那些研究跟黎曼 ζ 函数的非平凡零点没有半点关系, 但在那些研究中, 他却得到过同样的分布规律!

戴森十多年前所研究的是什么呢? 是从一些极为复杂的物理体系——比如复杂原子核——中抽象出来的问题。 处理那种问题所用的是一类特殊的统计物理手段, 而其中一个典型的课题则是研究复杂体系中能量的分布——物理学家们称之为能级分布。 戴森曾经得到过那种分布的具体形式, 它除了可以描述能级外, 还出现在了许多其它复杂的物理现象中。 而现在, 从蒙哥马利所从事的纯数学研究中, 他居然再次见到了同样的分布, 这实在是大大出乎他意料的事情。

几年之后, 蒙哥马利再次来到普林斯顿, 并作了一次研究报告——即欧德里兹科所听到的报告。 在报告中, 他除了介绍自己的研究外, 还提到了他和戴森所发现的这种数学与物理之间的奇怪联系。 这一切引起了欧德里兹科的浓厚兴趣, 使他决定通过大规模零点计算来验证蒙哥马利所发现的零点在临界线上的分布规律。 从 20 世纪 80 年代末到 90 年代初, 欧德里兹科利用他和合作者肖恩哈格所提出的新算法, 完成了几批大规模的零点计算, 结果非常漂亮的证实了蒙哥马利所提出的零点在临界线上的分布规律。 考虑到蒙哥马利的结果是在假设黎曼猜想成立的基础上得到的, 因此这种证实也可以在一定程度上被视为是对黎曼猜想的间接支持。

不过, 所有这些都没有解决一个最根本的问题, 那就是像黎曼 ζ 函数非平凡零点在临界线上的分布这样最纯粹的数学性质, 为什么会跟像复杂原子核的能级分布那样最现实的物理现象扯上关系? 这种神奇的关联本身又预示着什么呢? 这两个问题直到今天也没有完全的答案。 但有意思的是, 在半个多世纪前, 却有两位数学家曾经提出过一个猜想——一个与蒙哥马利、 戴森、 欧德里兹科所发现并证实的这种数学与物理间近乎离奇的联系遥相呼应的猜想。 那两位数学家的名字我们在前文中曾经提到过, 一位是希尔伯特, 一位是波利亚, 那个猜想则被称为希尔伯特-波利亚猜想, 它是对黎曼 ζ 函数非平凡零点分布的猜测, 其中赫然包括了猜测它们与某个物理体系的能级相对应的可能性!

不过这个希尔伯特-波利亚猜想本身也颇有一些离奇的地方, 因为当人们因蒙哥马利、 戴森、 欧德里兹科的研究而对它发生兴趣, 试图追溯它的起源时, 却惊讶地发现无论希尔伯特还是波利亚, 居然都不曾在任何文字之中述及过这个猜想。 难道这个猜想根本就是子虚乌有的传说? 幸运的是, 94 岁高龄的当事人波利亚那时仍健在, 他在一封信件中以个人回忆的方式肯定了这一猜想的存在性。 但早已去世的希尔伯特在什么场合下提出过这一猜想, 却很可能将成为数学史上一个永久的谜团了。

介绍了这许多有关黎曼猜想的研究, 有一个问题想必很多读者都会关心, 那就是黎曼猜想的终极命运将会如何? 它是会被证明呢? 还是会被推翻 (否证)? 对于这个有关黎曼猜想 “前途命运” 的大悬念, 数学家们各有各的看法。

有些数学家相信黎曼猜想是对的, 比如那位输掉了葡萄酒的查基尔自赌局告负之后就对黎曼猜想深信不疑。 他相信黎曼猜想的理由很 “纯朴”, 那就是数值证据已经够强了。 读者们想必还记得, 他当时要求的数值证据是 3 亿个零点, 现在的证据已经超过了 10 万亿, 远远超出了他的要求。 因此, 他的相信是有理由的。 不过, 由于零点有无穷多个, 实际上再多的数值证据也是微不足道的。 而且在数学上有过这样的例子, 即一个被否证了的数学命题的数值反例出现在极遥远的地方, 远远超出数值证据所能触及的范围。 黎曼猜想会不会也是如此呢? 谁也说不准。 当然, 支持黎曼猜想的证据不仅仅来自数值计算, 还有我们介绍过的大量其它研究, 其中包括至少有 40% 的非平凡零点位于临界线上那样颇为可观的结果。 相信黎曼猜想的数学家们也可以从那些方面获得信心。

有些数学家则认为黎曼猜想是错的。 面对黎曼猜想所得到的如此海量的支持, 选择那样的立场当然是要理由的。 这其中一条打不倒的理由就是: 所有支持都不是证明。 确实, 对于像黎曼猜想这样的数学命题来说, 要想证明它成立, 必须 “一个都不能少” 地涵盖所有的零点, 缺一丁点儿都不行。 但反过来, 要想推翻它, 却只要找到一个反例——即一个不在临界线上的非平凡零点——就足够了, 这种繁简程度上的不对称对于怀疑黎曼猜想的数学家们是十分有利的。

除上述两种截然相对的态度外, 黎曼猜想的长期悬而未决还使一些人联想到了所谓的哥德尔不完全性定理 (Gödel's incompleteness theorem), 认为黎曼猜想有可能是一个不能被判定——即既不能被证明, 也不能被否证——的命题。 据说哥德尔 (Kurt Gödel) 本人就有过这样的看法。 不过, 黎曼猜想假如不成立, 在原则上是可以用明确的步骤, 通过数值计算找到它的反例, 从而证明其不成立的。 从这个意义上讲, 黎曼猜想假如不成立, 它是可以被判定为不成立的, 而它如果不能被判定, 实际上是表明它成立。

好了, 以上就是对黎曼猜想的简单介绍。 这一介绍因为略去了数学细节而看上去更像是一串故事。 但实际上, 黎曼猜想是一个极为艰深的课题, 如果哪位读者想要啃一啃这个猜想, 首先要有扎实的数学功底, 否则非但啃不动, 还很可能会崩掉牙齿——可别怪我没提醒哦。

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