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芝诺悖论浅析

- 卢昌海 -

本文依据我在繁星客栈上讨论芝诺悖论 (Zeno paradox) 的几个贴子合并整理而成, 文末有若干附录。

我记得方励之的 《力学概论》 (书名可能记错) 中用芝诺悖论的分割方式建立了一种所谓的芝诺时钟 (芝诺悖论与芝诺时钟的表述见 [注一]), 用这种方式他把芝诺悖论表述为: 芝诺时钟走到无穷只对应于普通时钟的有限时间, 或者换句话说芝诺时间只对应于普通时间的一个有限部分 (有点象 Schwarschild 度规下外部坐标时间与自由下落观测者的本征时间之间的关系)。

方励之在分析的末了还说了这样一段话 (大意),我印象很深: 我们的普通时钟是否也象芝诺时钟呢? 现代宇宙学的研究给出的结论是肯定的。 我到现在也不知道他具体指的是什么。 是笼统地说我们的观测时空在数学上是可以延拓的呢还是指有具体证据表明用宇宙中的物理过程 (比方说原子钟的周期) 所定义的时钟具有与芝诺时钟类似的特点?

芝诺悖论在早年曾是一个著名的哲学 (数学) 悖论, 至今还有许多搞哲学的人在把玩。 不过我并不觉得它在今天还有什么可以令人困惑的地方。 它只是把完成无限多个步骤与需要无限多的时间混淆在了一起。 或者用级数的语言来说, 它只是把一个收敛的级数纯以项数而论视为了无穷。 方励之的解释在这点上很切中要害 (我只是觉得他最后有关物理时间的评论太语焉不详)。

网友提到的另一个版本的悖论 (内容见 [注二]), 其厉害之处在于把那些原本越来越微不足道的时间放大了。 即无论那些时间间隔有多小, 在每一个这样的间隔中一个具有有限效果的事件 - 炸弹位置的改变 - 完成了, 从而使情况变得更为奇特。

这个悖论的关键在于炸弹的位置是在芝诺时间中定义的 (并且是只在芝诺时间中才有定义的), 而最后问的却是在炸弹爆炸的时候 (即普通时间 t=2 分钟时) 炸弹的位置。

但是整个的芝诺时间只对应于普通时间 [0,2)- 注意右端为开区间, 即普通时间 t=2 并不在芝诺时间的覆盖范围内炸弹的位置在这个时刻根本就没有定义过。 换句话说问题所问的是一个函数 - 炸弹的位置作为时间的函数 - 在定义域之外的数值, 因此我们无法回答。 这并不构成任何实质意义上的悖论。

我们也可以不用芝诺时间之类的术语来分析这个悖论: 它的要害在于悖论所提供的确定炸弹位置的方法只适用于时间 t<2 的情形, 却似是而非地要让我们用这一方法来确定 t=2 时的炸弹位置。

注释

  1. 芝诺悖论有若干不同的版本, 这里所讨论的是所谓的 Achilles 与乌龟赛跑问题: Achilles 每次走到乌龟原先的位置, 乌龟就又向前走了一小段路, 因此 Achilles 永远无法超过乌龟。 方励之的芝诺时钟是把每次 Achilles 走到乌龟原先位置所需的时间作为时间单位 (这也正是芝诺悖论试图误导人的地方, 即把那些越来越微不足道的时间间隔视为不可忽略的)。
  2. 该悖论是一位网友所引的: 大致是说两位仇人 A 和 B 互扔一枚定于两分钟后爆炸的炸弹。 A 先将炸弹抛向 B, B 一分钟后将炸弹反抛给 A, A 半分钟后又将炸弹抛给 B, B 1/4 分钟后再反抛给 A, ... ..., 如此反复, 问最后炸弹到底在谁的手上爆炸?

附录一: 我在繁星客栈上的另两个相关帖子

时空量子化并不意味着跟无穷有关的逻辑悖论需要重新分析。 因为数学并不局限于物理观测所及的范围。 比如尽管我们不会在物理测量中得到虚数, 但在数学中可以通过数系的拓展提出并研究虚数的概念。 即使对于象芝诺悖论那种看似与物理时间的连续性紧密相关的悖论, 如果仅仅用物理时间不能无穷分割来反驳它, 也是很欠缺的。 因为多数悖论的实质及微妙之处在于推理, 而非前提, 尽管其前提可能是理想化, 从而在物理上无法严格实现的。 [2004-12-21]

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To me, the main subtlety and value of the Zeno paradox is in its reasoning. The fact that it may not be physically realizable (therefore its premise may not physically hold) does not render it less meaningful. After all, we have only one physical world, many mathematical concepts are not physically measurable (the Pythagoreans wouldn't have to kill Hippasus for the discovery of √2 had they realized this point :-), yet they are perfectly valuable topics to study. [2005-08-17]

二零零五年八月十八日写于纽约

附录二: 亚里斯多德对芝诺悖论的分析

这两天由于一个其它题材的缘故翻阅了一下亚里斯多德的《物理学》, 结果意外地发现这位老前辈对芝诺悖论居然有一种非常有趣 (并且我认为也是非常聪明) 的分析, 在这里介绍一下。

芝诺同学说有限的空间可以分割成无限多个部分, 因此无法在有限的时间内完成。 亚里斯多德很聪明地指出, 芝诺同学显然没有意识到他对空间的分析也可以用在时间上, 因为有限的时间跟有限的空间一样, 也是可以分割成无限多个部分的。 因此用有限的时间完成有限的空间是完全可以的, 因为那实际上是用无限多个时间部分来完成无限多个空间部分。 亚里斯多德并且表示, 无论是空间、 时间还是其它连续的东西, 当我们说它们 “无限” 时必须区分两种含义: 一种是分割意义上的无限, 一种是延伸意义上的无限。 芝诺同学显然混淆了两者 (这一看法与本文相近)。 现代人由于早已熟悉诸如收敛级数这样的概念, 因此在分析时往往会直接指出完成无限多个部分不等于需要无限多的时间。 但这种分析如果拿到亚里斯多德时代, 恐怕非但难以服人, 还会被当成胡搅蛮缠 (因为它等于直接假定芝诺同学错了, 却不给出任何理由 - 除非我们有办法让亚里斯多德时代的人理解我们有关收敛级数的某些知识)。 反倒是亚里斯多德的分析由于是用芝诺同学自己的分析方法来反驳他, 可谓是 “以子之矛, 攻子之盾”, 或 “以毒攻毒”, 即便拿到今天, 也不无意义 (虽然有些粗糙)。

二零一零年一月二日写于纽约

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