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本文与 上篇 合并发表于《数学文化》2013 年 2 月刊 (山东大学与香港浸会大学合办)。

希尔伯特与广义相对论场方程 (下)

- 卢昌海 -

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五. 校样风波

希尔伯特论文校样的第 1 页
希尔伯特论文校样的第 1 页

科里等人所得到的希尔伯特论文校样与发表稿一样, 标注了曾在 1915 年 11 月 20 日的会议上作过报告。 除此之外, 它还带有一个打印日期: 1915 年 12 月 6 日, 以及希尔伯特手注的说明 “第一遍校样” (参阅右图), 从而是一份比发表稿更早的文件。 这一文件的发现, 在一定程度上填补了研究这一课题所面临的早期文献空白。

通过对校样的研究, 科里等人发现了希尔伯特在撰写发表稿过程中所做的若干修改, 其中既包括逻辑结构的调整, 比如校样包含三条公理[注一], 而发表稿——如 第三节 所述——只含两条; 也包括文字表述的修正, 比如在首次提到表示引力势的度规张量时, 手写加注了 “由爱因斯坦最早引入的” 这一说明。 这些修改的存在, 表明希尔伯特论文的发表稿与 1915 年 11 月 20 日的报告是有差异的, 而早期研究将两者混为一谈的做法则是有缺陷的。

问题是: 缺陷大到什么程度?

对此, 科里等人作出了一个他们称之为 “迟到的裁决” 的有一定颠覆性的结论, 那就是希尔伯特并未先于爱因斯坦提出广义相对论场方程。 具体地说, 科里等人发现在希尔伯特的论文校样中, 只包含了我们在 第三节 中提到的两条物理结果中的第一条——即引力理论的作用量为 K + L, 以及引力场方程可以通过对度规张量做变分而得到这一泛泛说明, 却没有包含第二条——即引力场方程的具体形式。

以这一发现为基础, 外加对另一处细节的分析 (参阅 [注八]), 科里等人还提出了一个更具颠覆性的观点, 那就是在希尔伯特提出广义相对论场方程的过程中, 有可能 “借鉴” 过爱因斯坦的场方程。 这样, 他们就不仅逆转了希尔伯特与爱因斯坦得到广义相对论场方程的时间顺序, 还冲击了早期研究中一致认定的希尔伯特与爱因斯坦彼此独立地得到广义相对论场方程的结论, 从而在史学界引起了极大的争议。

颠覆性结论引发极大的争议乃是常见现象, 本不足为奇。 不过, 这场有关希尔伯特与广义相对论场方程的争议却有一个奇特之处, 那就是它的切入点出现在了一个几乎没人猜得到的地方。 用旁观者的眼光来看, 科里等人的研究中有一样东西堪称铁证, 那就是希尔伯特的论文校样, 这也是他们整篇文章的核心证据。 但出人意料的是, 争议的切入点居然就出现在了这核心证据上, 并演变成了一场风波!

希尔伯特论文校样的第 8 页
希尔伯特论文校样的第 8 页

科里等人的短文发表后的第二年 (1998 年), 加州理工学院 (California Institute of Technology) 的爱因斯坦文献专家索尔 (Tilman Sauer) 发表了一篇题为 “发现的相对性: 希尔伯特关于物理学基础的第一份笔记” (The Relativity of Discovery: Hilbert's First Note on the Foundations of Physics) 的文章。 在这篇文章中, 他披露了一个令人吃惊的事实, 那就是希尔伯特论文校样的第 7、 8 两页 (那是同一页的正反面) 的上方有一部分是缺失的 (参阅左图), 而对引力场的作用量或场方程的叙述——如果有的话——恰好位于第 8 页的缺失部分中!

这情节简直赶上武侠小说了——在古龙小说《陆小凤传奇之金鹏王朝》中陆小凤怀疑有人冒充大金鹏王, 判断的方法是查验脚趾, 因为真的大金鹏王是六趾。 但当陆小凤揭开了盖在大金鹏王腿上的毯子时, 发现他的双腿是锯掉的!

索尔虽披露了这一缺失, 却未作发挥, 只简单地假定为是希尔伯特本人为了 “偷懒” 将之裁贴到了其它地方以节省时间[注二]。 但几年之后, 这一缺失却不仅引发争议, 而且演变成了风波。 2003 年, 美国内华达大学 (University of Nevada) 的物理学教授温特伯格 (Friedwardt Winterberg) 发表了一篇题为 “论 ‘希尔伯特—爱因斯坦优先权纠纷的迟到的裁决’” 的文章, 对科里等人的短文进行了严厉驳斥, 并对希尔伯特论文校样中的缺失作了阴谋论解读, 认为缺失乃是近期发生的蓄意行为, 目的是抹杀希尔伯特对广义相对论的贡献。 这一阴谋论解读得到了另外几位作者的响应, 比如美国作者毕尔克尼斯 (Christopher Bjerknes) 和德国作者沃恩茨 (Daniela Wuensch) 在分别于 2003 年和 2005 年出版的书中, 对这一 “阴谋” 进行了详细剖析, 甚至像福尔摩斯还原犯罪过程一样, “还原” 了 “阴谋” 的各个环节, 其中包括采用何种工具, 以何种方式裁去文字, 其间犯过何种错误, 采取过何种补救措施, 等等。 他们甚至详细 “还原” 了 “作案者” 的心理活动。

这些阴谋论解读因细节丰富到了可笑的地步, 就不在这里重复了。 它们的致命伤不仅在于缺乏与细节相匹配的证据, 更在于无法解释 “作案动机”, 即为何有人甘冒身败名裂的风险来对希尔伯特的论文校样做手脚? 阴谋论者认为那是为了能提出如科里等人所提出的那种颠覆性的观点。 但事实上, 且不说在这一冷僻领域中提出颠覆性观点的收益与身败名裂的巨大风险根本就不成比例, 即便真想提出颠覆性观点, 也完全没必要做那样的手脚。 因为在对缺失部分的篇幅及上下文的内容进行分析之后, 史学界已提出了极强的分析理由, 表明缺失部分只包含引力理论的作用量, 而不包含引力场方程。 这首先是因为引入后者及相关说明所需的额外篇幅绝非缺失部分所能容纳 (发表稿中相应内容的篇幅也印证了这一点); 其次还因为在后文提到缺失部分中的公式时, 表示由它对度规张量做变分可得到引力场方程, 这说明缺失部分包含的是作用量, 而不是场方程 (发表稿同样印证了这一点, 引力场方程是在作出上述表示之后才给出的)。 这一方面说明科里等人的核心证据虽一度成为争议的切入点, 由铁证蜕变成了分析证据, 实质内容却并无问题; 另一方面也说明提出如科里等人所提出的那种颠覆性观点, 根本就无需对校样作手脚[注三]。 此外, 还有一点对阴谋论者很不利, 那就是除无需对校样作手脚的科里等人外, 这一领域并无其他人提出过类似的颠覆性观点 (因此阴谋论的影射对象是极为鲜明的, 那就是科里等人), 从而根本找不到能从 “阴谋” 中获益的 “作案者”, 阴谋论的荒谬也就更不言而喻了。

另外有一点需要指出的是, 阴谋论者在驳斥科里等人时, 自己也提出了一个颠覆性观点, 那就是明示或暗示爱因斯坦在提出广义相对论场方程的过程中, 有可能 “借鉴” 过希尔伯特的场方程[注四]。 这一观点与科里等人的恰好相反, 却同样冲击了早期研究中一致认定的希尔伯特与爱因斯坦彼此独立地得到广义相对论场方程的结论。 这一对 “互为镜像” 的颠覆性观点, 我们将在后文中加以讨论。

阴谋论提出后, 被作为影射对象的科里等人在普朗克科学史研究所 (即作者之一的雷恩所在的研究所) 发表了一份针对温特伯格的措辞激烈的答复, 不仅指责温特伯格的文字风格偏执 (paranoid), 而且将其观点与昔日 纳粹德国的反相对论运动 联系了起来, 指控其试图重回纳粹时代反 “犹太物理学” 的老路。 至此, 争议演变成了风波。 科里等人的这份答复因涉嫌人身攻击而遭到温特伯格的抗议, 后来被普朗克科学史研究所 “和谐” 掉了, 取而代之的是一份以研究所名义发表的对双方争议保持中立的声明。

由希尔伯特的论文校样引发的风波就介绍到这里, 其基本结论是, 希尔伯特的论文校样只包含引力理论的作用量, 而不包含引力场方程

六. 信件辨析

由科里等人的短文引发的争议中, 虽出现了荒谬的阴谋论和令人遗憾的人身攻击, 却也涉及了一些细节性的辨析, 且引起了不少认真讨论。 接下来我们就对细节性辨析作一些介绍。

细节性辨析主要集中在对几封信件的解读上。 其中第一封是 1915 年 11 月 18 日爱因斯坦给希尔伯特的信。 这封信的背景是: 希尔伯特于 11 月 13 日写信邀请爱因斯坦出席自己的报告, 并表示该报告将对爱因斯坦提出的 “大问题” (great problem) 给出一个与爱因斯坦完全不同的公理化解答; 爱因斯坦于 11 月 15 日回信以胃痛和疲惫为由婉拒; 11 月 16 日, 希尔伯特给爱因斯坦发了一张如今已遗失了的明信片。 爱因斯坦 11 月 18 日的信就是对该明信片的回复, 其中包含这样的文字:

您给出的体系——就我所见——与我最近几个星期发现并向科学院报告过的完全一致。 困难之处并不在于找到 gμν 所满足的广义协变方程, 因为这可以在黎曼张量的帮助下很容易地得到, 而是在于证明那些方程是一种推广, 即对牛顿定律的简单而自然的推广。

针对希尔伯特表示自己的解答与爱因斯坦完全不同这一点, 爱因斯坦这段文字有明显的宣示优先权并强调 (自己的) 物理重于 (希尔伯特的) 数学的意味。 这段文字很早就引起过关注, 但自科里等人用希尔伯特的论文校样推翻了原先基于发表稿作出的 “希尔伯特先于爱因斯坦提出广义相对论场方程” 的结论之后, 这段文字有了更重要的地位, 被一些人视为了希尔伯特曾在 11 月 16 日的明信片中给出过广义相对论场方程的间接证据 (因为否则的话, 爱因斯坦所说的 “完全一致” 就失去了比较对象)。 由于明信片比论文校样更早, 假如它包含了场方程, 那么希尔伯特就依然是先于爱因斯坦得到了广义相对论场方程。 比如温特伯格就表示爱因斯坦的这段文字 “证明了希尔伯特先于爱因斯坦得到了正确的场方程”; 沃恩茨则以这段文字为由, 用肯定的语气列举了希尔伯特明信片的内容, 其中包括场方程。

但细究起来, 事情却又不那么简单, 因为爱因斯坦写下这段文字时他自己尚未得到正确的场方程。 他当时以为正确的乃是一星期前 (11 月 11 日) 发表的题为 “关于广义相对论 (补遗)” [On the General Theory of Relativity (Addendum)] 的短文中提出的错误方程: Rμν = —κTμν, 它与正确方程之间相差一个正比于曲率标量的项: —½gμνR[注五]。 这就产生了一个问题: 既然爱因斯坦尚未得到正确的场方程, 那么他所说的 “完全一致” 究竟是什么意思呢? 对此, 有人提出, 是因为爱因斯坦当时正处于——用他自己的话说——“一生中最激动、 最紧张的时期之一”, 没时间仔细推敲希尔伯特的场方程, 从而误以为它与自己的 (错误的) 场方程相一致。 至于这种 “误以为” 的根源, 有人认为是单纯的粗心大意, 即漏看了希尔伯特的 (正确的) 场方程所多出来的 —½gμνR 项; 也有人认为是爱因斯坦注意到了 —½gμνR 项在能量动量张量的迹 T = 0 时为零, 而他当时恰好短暂地接受了能保证 T = 0 的电磁观 (参阅 [注五]), 从而认为该项的有无并不重要[注六]

这后一种猜测不无道理, 在早期研究中也确实是对爱因斯坦所说的 “完全一致” 的合理解释。 但希尔伯特论文校样的发现却为这一猜测带来了疑问, 因为这一猜测假定了希尔伯特在 11 月 16 日的明信片中给出过场方程。 如果那样的话, 为什么在比明信片稍晚的论文校样中反而没有场方程呢? 对此, 有人认为是场方程在希尔伯特心中没什么重要性。 这种说法本身未必没有道理, 希尔伯特有可能确实不像爱因斯坦那样重视场方程, 但用它来说明这一疑问却是没有说服力的, 因为希尔伯特若果真由于不重视场方程而未将之纳入论文校样, 又怎会在小小的明信片中都不忘记写上呢? 这些问题的存在, 使得 “明信片包含场方程” 这一假定陷入了窘境。 如果小结一下的话, 那么这一假定的有利之处是可以解释爱因斯坦回信中的 “完全一致” 这一说法, 不利之处则是无法解释论文校样不包含场方程。 两者相比, 不利之处显得更为突出, 因为对 “完全一致” 这一说法可以有多种解释 (下面就将给出另外一种), 而且基于 “明信片包含场方程” 这一假定所做的解释虽不无道理, 却也仅仅是不无道理而已; 而论文校样不包含场方程这一点在 “明信片包含场方程” 的假定下却几乎不存在合理解释 (尤其是从时间上讲, 该明信片应该是对论文校样的概述, 从而更不可能包含超乎后者的内容)。 因此, “明信片包含场方程” 这一假定虽被一些人寄予厚望, 可靠性却并不高。

那么, 希尔伯特的明信片究竟包含什么呢? 从上面的分析来看, 更有可能的只是引力理论的作用量, 以及引力场方程可以通过对度规张量做变分而得到这一泛泛说明, 而并不包含场方程。 这不仅与论文校样相一致, 而且也同样有可能解释 “完全一致” 这一说法。 因为引力场的作用量对 gμν 的变分, 若没时间推敲的话, 是有可能被误认为或错算成 Rμν, 从而与爱因斯坦的 (错误的) 场方程相一致的 (事实上, 除去无贡献的全微分项, 作用量密度 R 的变分所给出的恰好是 Rμν, 正确场方程中的额外项 —½gμνR 则是来自不变体积元中 √g 的变分, 确实容易被忽视)。 而且爱因斯坦当时甚至认为自己的 (错误的) 场方程是 “唯一可能的广义协变方程” (他在 11 月 18 日的信中就强调了这一点), 从而还有可能仅凭两者都广义协变这一特点就粗略地判断两者一致。 当然, 有人也许会说: 这种低级错误是爱因斯坦有可能犯的吗? 对此当然谁也不敢肯定。 高手虽然会犯低级错误 (关于爱因斯坦犯低级错误的一个例子, 参阅 [注五]), 但没有铁证谁也不敢肯定某个特定的低级错误是高手犯的, 而只能猜测, 这是此类历史探究所无法避免的不确定性。 但上述可能性比起爱因斯坦漏看希尔伯特场方程中的 —½gμνR 项来, 恐怕还是大得多的可能性。 另外, 在我看来还有一个未被其他作者注意到的理由, 可以支持希尔伯特的明信片不包含场方程这一结论, 感兴趣的读者可以参阅 [注十]

另一封引起广泛讨论的信件则是爱因斯坦 1915 年 11 月 26 日 (即得到他自己的正确场方程的第二天) 给好友仓格尔 (Heinrich Zangger, 1874–1957) 的信, 其中包含这样的文字:

这一理论的美丽是无可比拟的, 然而只有一位同事真正理解了它, 而他正以一种聪明的方式试图 “分享” 它 (亚伯拉罕的表述)。 在我的个人经历中, 从未有比这一理论及相关一切所遭遇的更好地让我见识到了人性的卑劣。

这封信转译自《爱因斯坦全集》(The Collected Papers of Albert Einstein) 第八卷的英译部分, 其中 “分享” 一词来自英译 partake (德文原词为 nostrifizieren, 另一种常用的英译为 nostrify, 含义为 “吸纳”), 对该词的引号来自原文。 “亚伯拉罕的表述” 是指德国大学将其它大学的学位 “吸纳” 为自己学位的做法, 其中的 “亚伯拉罕” 是指经典电子论的代表人物、 德国物理学家亚伯拉罕 (Max Abraham, 1875-1922)。 “卑劣” 一词则来自英译 wretchedness。 撇开可能因翻译而受损的精微词义不论, 关于这段文字, 有两点是史学界公认的: 一是 “一位同事” 指的是希尔伯特 (对 “一位” 的着重来自原文); 二是这段文字有抱怨希尔伯特抢夺荣誉之意。 除这封信外, 爱因斯坦 1915 年 11 月 30 日给好友贝索 (Michael Besso, 1873-1955) 也写了一封信, 其中提到 “我的同事在此事中表现得很丑恶” (“丑恶” 一词来自英译 hideously), 也印证了上述抱怨。

这些信也被一些认为爱因斯坦 “借鉴” 过希尔伯特场方程的人解读为希尔伯特先于爱因斯坦得到广义相对论场方程的证据, 比如德国康斯坦茨大学 (University of Konstanz) 的物理学教授艾伯纳 (Dieter W. Ebner) 在 2006 年发表的文章 “希尔伯特如何先于爱因斯坦发现爱因斯坦方程及对希尔伯特校样的伪造” (How Hilbert has found the Einstein equations before Einstein and forgeries of Hilbert's page proofs) 中就这样解释爱因斯坦的愤怒: “他必定对自己为解决 ‘大问题’ 工作了 8 年, 而希尔伯特只用几个星期就先于他优雅地找到答案感到非常愤怒。 爱因斯坦的愤怒表明希尔伯特 11 月 16 日的明信片对他有过显著帮助。” 这种解释的逻辑是: 倘若希尔伯特没有先于爱因斯坦得到广义相对论场方程, 爱因斯坦就不会如此愤怒, 因此爱因斯坦的愤怒反证出了希尔伯特先于他得到广义相对论场方程。

这种解读的最大问题, 除采信了希尔伯特明信片包含广义相对论场方程这一本身就并不可靠的假定外, 还与世所公认的爱因斯坦人品有着巨大矛盾。 因为假如这种解读成立, 那爱因斯坦就不仅 “借鉴” 了希尔伯特的场方程, 而且还在给朋友的信中倒打一耙, 反诬希尔伯特 “丑恶”, 其人品可就不是一般的无耻了。 在没有铁证之前, 对世所公认的爱因斯坦人品做出如此颠覆性的推测, 是极度草率的。 因此, 这种以爱因斯坦的抱怨信为依据反证希尔伯特先于爱因斯坦得到广义相对论场方程的做法, 是非常可疑的。 相反, 如果我们认为世所公认的爱因斯坦的人品更有公信力的话, 倒是恰恰应该由抱怨信推证出爱因斯坦不可能 “借鉴” 希尔伯特的场方程。

而更平和的说法也许是, 无需对爱因斯坦的人品作任何极端假设, 就有很多理由可以解释爱因斯坦为什么会写下那样的抱怨信。 比如前面提到的误以为希尔伯特的体系与他自己的 “完全一致” (如前所述, 这并不意味着希尔伯特在明信片中给出了场方程), 就有可能对处于冲刺阶段的爱因斯坦造成极大的危机感和恼怒感, 因为那意味着希尔伯特这位听了他几次报告后半路杀出的竞争者有可能分享优先权。 某些传记作者喜欢渲染爱因斯坦对名利的超脱, 其实爱因斯坦起码对广义相对论的优先权是非常在乎的, 别说希尔伯特, 就连对昔日的 “亲密战友” 格罗斯曼 (Marcel Grossmann, 1878-1936) 的贡献, 他也曾在 1915 年 7 月 15 日给索末菲的信中近乎冷酷地表示: “格罗斯曼永远无法宣称是 [广义相对论的] 共同发现者, 他只是在数学文献方面引导过我, 而对结果没有任何重要贡献。”[注七] 对格罗斯曼尚且如此, 希尔伯特这样一个 “陌生人” 分享优先权的可能性, 自然不会让爱因斯坦开心, 在给朋友的信中有所流露也就不足为奇。 他信中的措辞虽然严苛, 但与对格罗斯曼的评价相比, 考虑到彼此关系的亲疏之别, 并不能算出格。 而且他不仅隐去了希尔伯特的名字, 所选择的倾诉对象也都是圈外人士 (仓格尔是法医学教授, 贝索是专利局职员)。 更何况, 他当时恐怕不会想到自己在几年之后会成为每封私信都将被人细细推敲的公众人物。 将这些因素综合起来, 那两封抱怨信并没有什么不可理解的地方, 需要靠颠覆爱因斯坦的人品, 及采信希尔伯特明信片包含广义相对论场方程那样的假定才能解释。

以上就是对受到较多关注的爱因斯坦信件的分析, 其基本结论是: 爱因斯坦的信件并不构成对 “希尔伯特先于爱因斯坦提出广义相对论场方程” 的有效支持

七. “借鉴” 之争

在前文中, 我们多次触及了希尔伯特与爱因斯坦是否彼此独立地得到广义相对论场方程的问题。 这个问题在早期研究中曾有过肯定答案, 但在科里等人的短文发表后却出现了两种针锋相对的否定看法: 一种是认为希尔伯特有可能 “借鉴” 了爱因斯坦的场方程; 另一种则认为爱因斯坦有可能 “借鉴” 了希尔伯特的场方程。 下面我们就对这两种观点做一些介绍与分析。

认为希尔伯特有可能 “借鉴” 了爱因斯坦场方程的观点从某种意义上讲, 是早期就有过的诸如 “希尔伯特的工作只是用变分原理对爱因斯坦的工作作了重新表述” (参阅 第四节) 之类泛泛看法的延续。 只不过利用希尔伯特的论文校样不包含引力场方程这一新证据, 具体提出了希尔伯特在看到爱因斯坦 11 月 25 日的论文之后才添加场方程, 且在添加过程中 “借鉴” 了爱因斯坦场方程的观点。 这种观点的前半部分从现有资料来看是成立的, 因为希尔伯特的论文确实是在校样之后才添加场方程的, 不仅时间上晚于爱因斯坦 11 月 25 日的论文, 而且还援引了后者, 从而表明希尔伯特看过爱因斯坦 11 月 25 日的论文 (以希尔伯特当时对引力理论的关注, 这是显而易见的)。 在这种情况下, 希尔伯特确实有可能因受到爱因斯坦 11 月 25 日论文的影响, 而对自己的论文作出调整。 不过, 认为希尔伯特在添加场方程的过程中 “借鉴” 了爱因斯坦的场方程, 却仍是缺乏依据的。

在说明这一点之前, 让我们稍稍离题一下, 先介绍另一个本身也值得一提的争议。 科里等人的短文发表之后, 有人提出了这样一个观点, 那就是希尔伯特既然给出了广义相对论的作用量, 就应该算是给出了场方程, 因为后者不过是前者的变分而已, 而且那变分用某些持这一见解的人的话说, 乃是 “普通研究生就能完成的常规练习”。 这个说法有道理吗? 应该说既有道理又没道理。 说它有道理, 是因为作用量确实可以算是间接确定了场方程, 而变分计算也确实不是很困难的问题; 说它没道理, 则是因为如今很简单的东西在初次探索时未必简单。 比如广义相对论的牛顿极限如今正是 “普通研究生就能完成的常规练习”, 当年却让爱因斯坦和格罗斯曼栽了跟斗 (参阅 [注五])。 广义相对论中的变分计算也是如此, 起码在当年绝非是 “普通研究生就能完成的常规练习” (参阅 [注十])。 另外, 对广义相对论来说, 场方程是一切物理计算的基础, 重要性远高于作用量, 这一点与现代读者所熟悉的量子场论之类以作用量为核心的理论完全不同。 因此, 在广义相对论的场方程尚未被提出之时, 将它的提出归附于作用量的提出是很不恰当的。

现在回到希尔伯特对场方程的推导上来, 这一推导实质上就是计算变分。 如上所述, 这在当年绝非是 “普通研究生就能完成的常规练习”。 但尽管如此, 要说像希尔伯特那样的数学大师在决定由变分原理推导场方程时, 会要 “借鉴” 爱因斯坦的场方程, 却是令人难以置信的。 而且, 爱因斯坦在短短一个月的时间里就提出了好几种不同的场方程, 我们这些事后诸葛虽然知道 11 月 25 日那个是正确的, 对当年的希尔伯特来说却未必显而易见, 他又怎会将自己的荣誉压在上面, “借鉴” 其结果而不亲自计算变分呢? 不仅如此, 爱因斯坦对正确场方程的推导——如 第三节 所提到, 并即将介绍的——有一定的 “歪打正着” 的意味, 与希尔伯特对严密性的要求相距甚远, 极不可能使他萌生 “借鉴” 之意。 因此, 希尔伯特得到广义相对论场方程的时间虽晚于爱因斯坦, 说他 “借鉴” 爱因斯坦的场方程却是缺乏依据的[注八]

认为爱因斯坦有可能 “借鉴” 希尔伯特场方程这一观点则基本上是近年才出现的。 在早期, 哪怕是曾经显著贬低过爱因斯坦狭义相对论贡献的英国数学家惠特克 (Edmund Whittaker, 1873-1956), 在其 1953 年出版的《以太和电学的历史》(A History of the Theories of Aether and Electricity) 的第二卷中述及广义相对论时, 也不曾提出过那样的观点。 持这一观点的人除了利用我们前面辨析过的那些信件外, 还提出了一个理由, 那就是爱因斯坦给出正确的场方程时没有进行推导。 前文提到过的艾伯纳、 哥廷根大学的理论物理学家托德洛夫 (Ivan T. Todorov) 等人都持此见。 但这种理由却是相当粗心的, 因为事实上, 爱因斯坦在给出正确的场方程时是进行了推导的, 只不过那推导有一定的歪打正着之处。

粗略地说, 爱因斯坦的推导是这样的: 利用 √—g = 1 这一他在那些年时常使用的简化条件, 将真空场方程 Rμν = 0 用一个被他称为引力场的 “能量分量” (energy components) 的量 tμν 来改写, 在改写的结果中出现了 tμν — ½gμνt 这一组合。 然后他假定物质场的能量动量张量 Tμν 与引力场的 “能量分量” tμν 应该以相同方式出现在理论中。 这就导致了 Tμν — ½gμνT 这一构成正确场方程 Rμν = —k(Tμν — ½gμνT) 的关键组合[注九]。 之所以说这一推导有一定的歪打正着之处, 是因为引力场的 “能量分量” tμν 并非张量, 而物质场的能量动量张量 Tμν 则是张量, 假定两者以相同方式进入理论是没有充分依据的。 爱因斯坦自己也在 1916 年 1 月 17 日给洛仑兹的信中承认: “基本表述终于正确了, 但推导仍是糟糕的”[注十]。 确实, 爱因斯坦直至 11 月 25 日为止的所有广义相对论论文在结构上都远不如希尔伯特的论文严整。 但正是那种不严整, 与他过去若干年中近乎于用试错法寻找场方程的努力一脉相承, 从而深具 “爱因斯坦特色” (这一点爱因斯坦自己也知道, 并在给洛仑兹的那封信中表示 “我那一系列有关引力的论文是一条错误足迹的链条”)。 更何况, 爱因斯坦 “借鉴” 希尔伯特场方程的前提是 “希尔伯特先于爱因斯坦得到广义相对论场方程”, 而如前所述, 目前的证据并不支持这一前提。 因此, 认为爱因斯坦有可能 “借鉴” 希尔伯特的场方程也同样是缺乏依据的。

以上是对希尔伯特与爱因斯坦在推导场方程这一环节上是否相互 “借鉴” 的分析, 其基本结论是: 希尔伯特与爱因斯坦在推导广义相对论场方程这一环节上是相互独立的

八. 尾声

至此, 本文就接近尾声了。 由希尔伯特论文校样激起的争议也许还不能算是尘埃落定, 但倘若没有新的原始资料被发现, 那么透过飞扬的尘土我们已可大致窥见结果。 总体来说, 与早期研究相比, 以较高可信度被改变的结论只有一个, 那就是希尔伯特并未先于爱因斯坦得到广义相对论场方程。 早期研究中的其它结论, 比如希尔伯特与爱因斯坦在推导广义相对论场方程这一环节上是彼此独立的, 则虽有新争议, 却不足以推翻早期结论; 而 “爱因斯坦是广义相对论物理理论的唯一提出者” (派斯语) 则更是无可撼动。

如果考虑到一些人提出的 “给出了广义相对论的作用量, 就应该算是给出了场方程” 这一并未完全没有道理的观点, 对那段历史中的优先权部分也许可以作这样一个无争议的表述: 希尔伯特最先得到了广义相对论的作用量。 有意思的是, 对这段历史的研究虽不无波折, 学术界对若干术语的命名却似乎早就预见到了结果: 广义相对论的场方程通常被称为爱因斯坦场方程 (Einstein field equations), 而作用量则被称为爱因斯坦—希尔伯特 (或希尔伯特—爱因斯坦) 作用量 (最先得到作用量的虽是希尔伯特, 爱因斯坦作为整个理论的奠基者, 享有共同 “冠名权” 应该不算过分)。

在本文的最后, 让我们提一下那段历史对希尔伯特与爱因斯坦个人关系的影响, 爱因斯坦给仓格尔和贝索的抱怨信可能会让某些读者为这两位大师级人物的关系捏一把汗, 担心他们之间会出现 李杨之争 那样的局面。 不过幸运的是, 爱因斯坦的抱怨信虽折射出对优先权的敏感, 他的整体人品与智慧终究还是让他摆脱了优先权之争的泥潭。 而更值得称道的则是希尔伯特, 他不仅在诸多场合公开承认广义相对论是爱因斯坦的理论, 而且还在评选第三届波尔约奖 (Bolyai Prize) 时推荐了爱因斯坦, 并提名使爱因斯坦当选为了哥廷根数学学会 (Göttingen Mathematical Society) 的通讯会员 (corresponding member)[注十一]。 1915 年 12 月 18 日, 希尔伯特写信将当选消息告知了爱因斯坦。 两天后, 爱因斯坦给希尔伯特回了这样一封信[注十二]

感谢您友好地告知我当选了通讯会员。 借此机会, 我觉得有必要跟您说一件对我来说比这更重要的事情。 我们之间近来有着某种我不愿分析其原因的不良感觉。 我一直在努力抵御这种感觉带来的苦涩, 并取得了完全的成功。 我已在心中恢复了与您的往日友谊, 并希望您也这样待我。 两个已在一定程度上将自己从这个肮脏世界中解脱出来的真正的研究者若不能彼此欣赏, 那将是一种真正的耻辱。

让史学界争议了近一个世纪的话题在那两位睿智的当事人之间, 就这样放下了。

他们都放下了, 我们还放不下吗? 就让这封信也成为本文的终结吧。

注释

  1. 希尔伯特论文校样所包含的第三条公理被称为 “时空公理” (axiom of space and time), 它将时空坐标限定为使能量守恒定律成立的坐标。 科里等人认为这一公理的使用表明希尔伯特 1915 年 11 月 20 日的报告曾受到爱因斯坦早期观点的影响, 认为广义协变性无法普遍成立, 从而需要对时空坐标附加额外限定。 这一解读后来受到了其他人的质疑, 因与本文主题关系不大, 就不详述了。 希尔伯特本人在给克莱因的信中表示, 在发表稿中舍弃这一公理乃是因为它 “不够成熟”。
  2. 这一说法并非全无依据, 因为希尔伯特曾经做过类似事情, 即从一篇文稿中裁去一部分内容, 贴到其它地方以节省时间。
  3. 不过, 科里等人的短文只字不提校样中的缺失, 依然是一件奇怪的事情。 有些史学家猜测科里等人撰写论文时校样仍是完整的。 但毕尔克尼斯声称自己曾写信向作者之一的施塔赫尔求证过, 后者表示之所以未提校样中的缺失, 乃是因为那篇短文只是一份不完整的初步报告 (施塔赫尔等人在 2002 年确实发表过更详细的文章, 其中提到了校样中的缺失)。 这一信息如果可靠, 则表明科里等人撰写短文时校样中的缺失已经存在, 从而他们以陈述事实的语气来陈述校样中不含引力场方程这一需经分析才能得到的结论就显得有些难以理解。 施塔赫尔的回答, 即那篇短文只是一份不完整的初步报告, 也并不能令人满意 (比如毕尔克尼斯就指出该回答与短文标题中的 “迟到的裁决” 那样的强势用语不相吻合)。 但奇怪归奇怪, 语气上的问题毕竟不是铁证, 这件事无论如何上升不到阴谋论的高度 (因为科里等人的短文根本无需 “阴谋” 来作后盾)。
  4. 阴谋论者中的有些人原本就对爱因斯坦持有很负面的看法。 比如毕尔克尼斯早在 2002 年就出版过一本书, 书名为《爱因斯坦: 无可救药的剽窃者》(Albert Einstein: The Incorrigible Plagiarist)。 说到毕尔克尼斯, 还有必要提到这样一点, 那就是此人的某些观点有明显的妄想家色彩, 比如认为人类正受到共济会 (Freemasonry) 等组织的威胁, 而他自己的知识是拯救人类所必需的。
  5. 不难证明, —½gμνR 在能量动量张量的迹 T = 0 时为零, 因此爱因斯坦的缺了这一项的场方程在一般情形下虽是错误的, 在 T = 0 时却成立。 这一点爱因斯坦自己也有所察觉, 因为他发现自己的场方程在 T≠0 时会出现问题 (无法满足能量动量守恒)。 为避免这一问题, 他破天荒地短暂接受了电磁观 (因为电磁场的能量动量张量满足 T = 0, 而电磁观意味着物质起源于电磁, 从而保证了物质场的能量动量张量也满足 T = 0)。 另外要指出的是, 这一错误场方程其实三年前就由爱因斯坦与格罗斯曼 (Marcel Grossmann, 1878-1936) 一同提出过, 只是因为计算牛顿极限时出现错误而遭到了放弃 (这是爱因斯坦犯低级错误的一个例子)。 爱因斯坦在 11 月 18 日的信中特意强调了这一点 (目的也许是巩固优先权), 从而证实了他信中所指的自己的场方程乃是这一错误方程。
  6. 从逻辑上讲还有一种可能性, 那就是希尔伯特在明信片中给出了一个跟爱因斯坦错得一模一样的场方程。 不过, 由于希尔伯特的任何文稿中都从未出现过那样的错误方程, 其理论体系中也看不到出现这种错误的温床, 忽略这一可能性是有较充足的理由的。
  7. 爱因斯坦在晚年时对格罗斯曼表示出了更多的感激。 比如 1936 年格罗斯曼去世后, 爱因斯坦在给格罗斯曼遗孀的信中表示 “感谢他 [格罗斯曼] 和他父亲的帮助, …… 要不然, 即使未必死去, 我也会在智力上被摧毁了。” 而在爱因斯坦自己去世前一个月所撰的回忆中, 他则写道: “我需要在自己在世时至少再有一次机会来表达我对格罗斯曼的感激之情”。 不过, 即使在这些表示中, 他也没有在对广义相对论的贡献上给予格罗斯曼更高的评价。
  8. 这里还有一个细节需要提一下, 那就是希尔伯特论文的发表稿在给出场方程时写了这样一句话 (已改用现代记号): “利用在由 gμν 及其一、 二阶微商构成的量中, Rμν 是除 gμν 之外唯一的二阶张量, 以及 R 是唯一的不变量这一事实, 无需计算就可得到”。 这句话被科里等人视为是希尔伯特没有亲自计算变分, 从而有可能 “借鉴” 爱因斯坦场方程的证据。 应该说, 这一看法不无道理, 因为仅凭这句话是得不到场方程的, 还必须辅以能量守恒的要求。 但以此认定希尔伯特 “借鉴” 了爱因斯坦的场方程, 比起正文所述的相反理由来, 是仍显薄弱的, 因为这有可能只是希尔伯特采取的一种在他看来更容易传递给读者的表述方式。 很难想象在这种严肃论文中, 崇尚严密性的希尔伯特会不进行严密的计算, 而 “借鉴” 爱因斯坦那屡经变更且推导很不严密的场方程。
  9. 广义相对论场方程有两种常用的等价形式, 爱因斯坦当时得到的是 Rμν = —k(Tμν — ½gμνT), 希尔伯特得到的则是 Rμν — ½gμνR = —kTμν (两者形式上的差别来自推导方法的截然不同, 从而本身也体现了两人在这一环节上的独立性)。 需要指出的是, 爱因斯坦对场方程的推导在 11 月 25 日的论文中写得很简略 (tμν 在该论文中被称为 “能量张量”), 在 1916 年的长篇综述 “广义相对论基础” 中才详细给出 (tμν 的名称则改为了 “能量分量”)。 不过两篇论文的逻辑传承还是很明显的。
  10. 爱因斯坦给洛仑兹的这封信 (以及两天后的另一封信) 还有两个值得一提的地方: 一个是在表示了 “推导仍是糟糕的” 之后, 爱因斯坦开始叙述用作用量原理表述理论的尝试。 这一点似乎间接证明了希尔伯特在 11 月 16 日的明信片中并未给出场方程。 因为否则的话, 爱因斯坦写信时由于已得到了正确的场方程, 从而也应该已经意识到正确的场方程才与希尔伯特的相一致, 以及希尔伯特的作用量是正确的 (因为希尔伯特的场方程来自该作用量)。 但爱因斯坦给洛仑兹的这封信却丝毫没有显示出这种知识。 另一个是他表示自己没有计算作用量对 gμν 的变分, 因为那太复杂。 这说明此类计算在当时绝非是 “普通研究生就能完成的常规练习” (参阅 第七节)。
  11. 这里所说的 “哥廷根数学学会” 在文献中有多个英译名, 甚至有可能就是 第二节 中提到过的 “哥廷根皇家科学院”。
  12. 关于爱因斯坦写这封信的原因, 除回复希尔伯特的友好来信外, 有史学家认为还有可能是因为他在写信之前已看到了更强调他的贡献、 且援引他所有论文的希尔伯特论文的修改稿, 从而情绪有所缓和。 另外, 这封信的口气似乎意味着两人之间的 “不良感觉” 已达到了彼此察觉的程度。 派斯在《上帝是微妙的》一书中甚至转述了与爱因斯坦有过接触的美国物理学家斯特劳斯 (Ernst G. Straus) 提供的一条据说得自爱因斯坦的消息, 声称那种 “不良感觉” 曾使希尔伯特给爱因斯坦写过辩解信, 表示自己已不记得爱因斯坦的哥廷根演讲。 这则消息在我看来有些八卦, 因为很难相信希尔伯特会忘记由他亲自请来的爱因斯坦的哥廷根演讲, 并以此为由进行辩解。 那样的 “辩解” 不仅太过拙劣, 而且只会火上浇油 (因为那相当于进一步抹杀了爱因斯坦的贡献), 完全不像希尔伯特的风格。

参考文献

  1. L. Corry et al, Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute, Science 278, 1270, 1997.
  2. J. Earman and C. Glymour, Einstein and Hilbert: Two Months in the History of General Relativity, Arch. Hist. Exact Sci. 19, 291, 1978.
  3. D. W. Ebner, How Hilbert has found the Einstein equations before Einstein and forgeries of Hilbert's page proofs, arXiv:physics/0610154v1 [physics.gen-ph].
  4. A. Einstein,《爱因斯坦文集》(第一卷), 商务印书馆, 2009。
  5. A. Einstein,《爱因斯坦全集》(第五卷), 湖南科学技术出版社 (2002).
  6. A. Einstein, The Collected Papers of Albert Einstein (vol 6, English Translation of Selected Texts), Princeton University Press (1997).
  7. A. Einstein, The Collected Papers of Albert Einstein (vol 8, English Translation of Selected Texts), Princeton University Press (1998).
  8. A. P. French (eds), Einstein: A Centenary Volume, Harvard University Press (1980).
  9. L. Infeld, Albert Einstein: His Work and Its Influence on Our World, Charles Scribner's Sons, (1950).
  10. W. Isaacson, Einstein: His Life and Universe, Simon & Schuster, (2008).
  11. A. J. Kox (eds), The Universe of General Relativity, Birkhäuser (2005).
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  17. C. Reid, Hilbert-Courant, Springer-Verlag New York Inc. (1976).
  18. J. Renn and M. Schemmel (eds), The Genesis of General Relativity (Volume 4), Springer (2007).
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  20. K. S. Thorne, Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy, W W Norton & Company (1994).
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  22. E. Whittaker, A History of the Theories of Aether and Electricity: The Modern Theories 1900-1926, Thomas Nelson and Sons Ltd. (1953).
  23. F. Winterberg, On "Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute", Z. Naturforsch. 59a, 715, 2004.

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网友讨论选录

  • 网友: 来自 14.106 的游客   (发表于 2012-08-15)

    “他们都放下了, 我们还放不下吗? 就让这封信也成为本文的终结吧”——文章好, 结尾更好。 处于领域巅峰的人在各个方面都让俗世之人无法企及! 长叹!

  • 网友: 来自 119.6 的游客   (发表于 2012-08-15)

    分析严谨, 写得很好。 物理学与数学还是有区别的, 单纯的数学家, 是搞不出广义相对论的。

  • 网友: 一直想思考   (发表于 2012-08-15)

    精彩, 一口气读完了。 比较好奇阴谋论的观点, 有被确定为阴谋论的事件么?

  • 网友: 卢昌海   (发表于 2012-08-15)

    Good question! 我想不起那样的事件。 也许是因为 “阴谋论” 本身是一个贬义词, 主要是指证据不充分、 推理牵强附会的理论。 假如一个真正的阴谋被破获了, 那反而不叫阴谋论了。 阴谋论者的水平通常也不太高 (否则自己就能意识到证据的不充分和推理的牵强附会), 比如本文提到的 Bjerknes 持有类似妄想家的观念, 拙作 寻找太阳系的疆界 中提到过的 Kollerstrom 则是 “大屠杀否认者” 之一。

  • 网友: 来自 119.255 的游客   (发表于 2012-08-15)

    这件事进一步证实了爱因斯坦并不像很多人认为的那样超脱。 另一个著名的例子, 是他对庞加莱的评价。 他对待优先权的敏感态度, 让我想起牛顿, 总之让人不愉快。 其实这件事中, 真正值得称道的还是希尔伯特, 他在整件事中的表现, 表明他能成为哥廷根的灵魂, 不仅仅因为学术。

  • 网友: 来自 14.106 的游客   (发表于 2012-08-16)

    自己最钟爱的东西被别人掠美, 对任何人都是十分痛苦的事情。 这是基本的人性, 无关人品。 希尔伯特是大数学家, 广义相对论方面的工作并不是其最爱, 甚至是可有可无的。 如果希尔伯特在数学方面最重要的工作被别人掠美, 他还能那么高姿态吗? 想想牛顿和莱布尼兹对微积分发明权的争论就知道了。 而爱因斯坦是大物理学家, 广义相对论是其最伟大最钟爱的工作, 广义相对论的整个框架和全部物理思想由其一人独创, 如果该理论最核心的场方程由别人特别是只听过他几次讲座的人几个月内首先得到, 其痛苦的心情可想而知。 在 1915 年 11 月 20 日前后的那些日子里, 当爱因斯坦被希尔伯特追赶着焦急地寻找正确的场方程时, 再也不能像几个月以前那样一个人悠闲的工作了, 有着强大数学背景的竞争者在他的物理框架下工作, 我想他有时是否会后悔 6 月份在哥廷根做的那些讲座呢?

  • 网友: shanqin   (发表于 2012-08-18)

    大约十年前看的《恋爱中的爱因斯坦》的中译本, 就提到了爱因斯坦对仓格尔写信影射希尔伯特及最后修好的事迹, 那时候就知道爱因斯坦确实很在乎这个优先权。 实际上, 你不能不在乎, 因为这不仅是失去优先权的问题, 还会让人认为你完全独立完成的杰出的工作是依靠别人启发才完成的, 这对于一个学者而言是难以接受的。

  • 网友: 来自 82.135 的游客   (发表于 2013-04-02)

    这两天正好在读 Einstein 的《狭义相对论和广义相对论浅说》, 原文为 Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie (Vieweg 版 1997 Nachdruck)。 被 Einstein 对狭义相对论、 引力场和广义相对论深入浅出的解说所折服。 可能在 wiki 中得知 Hilbert 对广义相对论也有贡献。 便在网上查找了一些有关史料。 读了一些零碎的有关 Einstein 和 Hilbert 对引力场方程优先权的介绍类文章, 包括那篇 Corry 等三人 1997 年发表在 Science 上的文章。 今天读到了您的文章, 感到很全面, 很中肯。 我个人感觉, Hilbert 的介入加速了 Einstein 对引力场方程的推导。 另一方面, 也反应出 Hilbert 数学大家的智慧和伟大学者的风范, 也说明 Einstein 作为一个天才的物理学家, 在数学上也不是完美的。 看来, 数学和物理是相互促进的。 但是, 如果 Hilbert 在发表他的 1916 年 3 月的论文时, 注明一下修改稿的日期, 也许会避免不必要的争论。 另外, 我也看了一些材料, 指出 Einstein 多次阅读 Kant 的《纯粹理性批判》, 而之后, 对 Kant 的时空观持批评态度。 我本人也在试读 Kant 的这本伟大著作, 很愿意聆听您对此的见解。 我感觉, 在读 Einstein 的《浅说》时, 感觉到 Kant 对他的影响。 再次感谢作者的分析。 2013 年 4 月 3 日凌晨, 于慕尼黑。

  • 网友: 卢昌海   (发表于 2013-04-02)

    谢谢留言。 Kant 的《纯粹理性批判》我也是小时候看 Einstein 传记中频繁提到, 早就如雷贯耳, 到美国后很快就买了。 可是 “吾生也有涯, 而知也无涯”, 直到今天, 半辈子都过去了, 也仍没有看……

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