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本文发表于《科幻世界》二零零七年第一期 (科幻世界杂志社出版)。

从巴西的蝴蝶到德克萨斯的飓风

- 发表稿 -

- 卢昌海 -

本文为 从巴西的蝴蝶到德克萨斯的飓风 一文在《科幻世界》杂志的发表稿, 内容有所删节, 不含注释, 且结构也有所变更。 对被删节部分感兴趣的读者可参阅 从巴西的蝴蝶到德克萨斯的飓风 一文。

一. 从弹球游戏说起

二十世纪三十年代, 美国小镇达特茅斯 (Dartmouth) 的许多学生迷上了一种弹球游戏 (pinball game), 那是一种让小球在一张插有许多小针的倾斜桌子上经过多次碰撞后进入特定小孔的游戏。 当时达特茅斯的许多药店及餐厅里都放置了这种游戏, 当地的学生是游戏的常客。 这一现象引起了达特茅斯政府的担忧, 他们决定以禁止赌博为由禁止这种游戏。 但是游戏的支持者们提出了反对意见: 他们说, 弹球进入哪个小孔完全取决于击球的角度与力量, 因此弹球游戏不是赌博, 而是一种有关击球准确度的竞技。 他们的这一理由一度使政府官员为之语塞, 弹球游戏因此而得以继续。

弹球游戏在达特茅斯镇后来的命运如何我不得而知, 但达特茅斯镇的政府官员在当时的那场小小争辩中落败是可以理解的。 因为游戏支持者所提出的想法在物理学上很有渊源。 在很长一段时间里, 物理学家们看待我们这个世界的方式就象弹球游戏的支持者们看待弹球游戏一样, 以为只要知道了初始的状态 (好比控制好了击球的角度与力量), 就可以精确地知道以后发生的一切 (好比确切地知道弹球会进入哪个小孔)。 这种想法被称为决定论思想。

在决定论思想的引导下, 物理学家们一度相信我们在原则上可以对物理现象作出精确的预言。 这一信念, 与达特茅斯镇的弹球支持者以为弹球游戏是技巧比赛一样, 在后来遇到了很大的困难。 而困难的原因之一, 就是我们所要介绍的蝴蝶效应。

在物理学上, 这个效应也被称为对初始条件的敏感依赖性, 它指的是某些 (通常是非线性的) 物理体系中, 初始条件的细微改变有可能对体系的未来演化产生巨大的影响。 它的一种很富诗意的形容, 是说巴西的一只蝴蝶拍动翅膀产生的空气扰动, 有可能演变成美国德克萨斯州的一场飓风。 这也是蝴蝶效应这一名称的主要由来。 如果小小蝴蝶拍动翅膀就会产生如此巨大的影响, 那么想要精确预言与之相关的物理现象显然就成为了 “不可能任务” (Mission Impossible)。 如果弹球游戏也具有这种特点, 那么它显然也就不可能是一种竞技。 这一点, 后来戏剧性地被当年在达特茅斯镇念大学的一名学生所揭示, 这名学生后来成了一位气象学家, 他的名字叫做洛伦兹 (E. Lorenz)。

二. 早期研究

追溯起来, 人们对蝴蝶效应的认识可以算得上有一百多年的历史。 早在十九世纪末, 法国科学家庞加莱 (H. Poincaré) 在研究天体运动时就发现, 在某些情况下, 初始条件的细微差异有可能对天体运动产生巨大影响。 这一点被他写入了自己的科学哲学著作之中, 这或许可以算是有关蝴蝶效应最早的明确描述。 后来, 物理学家们在其它一系列有关复杂现象的研究中 - 比如在对流体运动的研究中 - 都发现了类似的效应。

当科学家们接触到包含蝴蝶效应的现象时, 科幻小说家们也在用自己独特的方式描述着类似的现象。 比如一九五五年, 美国科幻小说家阿西莫夫写了一部小说, 叫做《永恒的终结》(The End of Eternity)。 在这部小说中, 阿西莫夫描述了一群生活在物理时间之外的人, 他们可以对人类的历史进行修正, 使其更加完美。 但他们企图为人类创造一个完美历史的努力, 在无形中扼杀了人类的创造与探索能力, 致使人类在与外星生命的竞争中一败涂地。 幸运的是, 人类后来发现了这一点, 并最终通过时间旅行的手段设法挽回了一切。 在这部小说中阿西莫夫提到: 对历史的每一次微小改变, 都有可能以一种无法精确预言的方式改变数百万人的人生轨迹, 这与蝴蝶效应的表述显然有着极大的相似性。 这种出现在科幻小说中的近乎先知性的描述, 初看起来很令人吃惊, 其实并不奇怪。 因为现实世界本身就是一种最复杂的自然现象, 象蝴蝶效应那样的东西, 远在它成为科学研究的对象前, 就早已出现在了人们的日常经验中。 人们常说的 “差之毫厘, 谬之千里”、 “牵一发动全身” 等, 都在一定程度上体现了这种效应。 但从那些日常体验上升为明确的理论表述, 则是一个困难得多的问题。

从十九世纪末到二十世纪中叶, 经过许多科学家的共同研究, 人们对这个困难得多的问题终于有了一些认识。 那些研究不仅确立了蝴蝶效应的存在, 而且还对什么样的运动会产生蝴蝶效应给出了一定的描述。 但可惜的是, 当时人们的兴趣很明显地集中在那些不具有蝴蝶效应的运动上, 因此有关蝴蝶效应的结果明明已是呼之欲出了, 在当时的学术文献中却极少提及。 正因为如此, 十几年后当洛伦兹在数值计算中再次遭遇蝴蝶效应的时侯, 依然感到了极大的惊讶。 也正因为如此, 发现蝴蝶效应的荣誉在很大程度上落到了洛伦兹的头上。

三. 模拟天气

在达特茅斯镇的弹球游戏之争发生时还是一位年轻大学生的洛伦兹, 到了二十世纪五十年代已经成为了资深的气象学家。 洛伦兹早在二战时期就在美国的军方机构从事气象预测研究。 战争结束后, 他在麻省理工学院 (MIT) 继续自己的研究。 从理论上预测气象变化 - 尤其是给出长期预测 - 是气象学家们梦寐以求的目标, 但这一目标的实现却始终困难重重。 这种困难是不难理解的, 因为地球的大气层是一个巨大的流体系统, 所有流体力学系统所具有的复杂性, 都会出现在大气层中。 更何况, 大气层的行为与海洋、 地表、 日照等各种复杂的外部条件都有密切的关系; 而且大气层的组成相当复杂, 其中有些组成部分 - 如水汽 - 的形态还常在气态、 液态、 与固态之间变化。 所有这一切, 都使得气象预测成为一个极其困难的课题。

在洛伦兹从事气象研究的时侯, 从理论上预测气象的方法主要有两类。 一类被称为动力气象学 (dynamic meteorology), 这类方法主要是把大气层看作一个流体系统, 然后选取一些重要的物理量, 如温度、 风速等, 进行研究。 由于问题的复杂, 人们把大气层象切蛋糕一样分割成许多区域, 每个区域都用一个点来代表。 显然, 这是极其粗糙的近似, 但即便如此, 整个大气层的状态往往还是需要几百万甚至更大数目的变量来描述。 换句话说, 即便是求解一个非常粗糙的气候模型, 往往也需要处理带有几百万个未知数的方程组。 这无疑是极其困难的 (但不是完全没有希望的)。 除了动力气象学外, 还有一类方法被称为天气学 (synoptic meteorology), 这类方法的特点是把对气候影响最大的一些大气结构, 比如各种气旋, 直接作为研究对象。 天气学所使用的规律, 有许多是描述那些大气结构的经验规律, 而不是象流体力学那样系统的物理理论。 从这个意义上讲, 天气学不如动力气象学那样基本。 但天气学的优点, 是把从动力气象学角度看非常复杂的某些大气结构作为了基本单元, 从而有着独特的简化性。

洛伦兹所采用的主要是天气学的方法。 经过大量的简化, 洛伦兹得到了一个含有十四个变量, 并且其中一到两个变量的影响可以忽略的模型。 即使那样的模型用手工计算也是非常困难的, 洛伦兹决定借助计算机的帮助。 当时是一九五九年, 距离个人电脑的出现还有二十几年。 洛伦兹使用的机器用今天的标准衡量是极为简陋的: 体积庞大, 噪音惊人, 内存却只有今天普通个人电脑内存的几万分之一。 经过几个月的努力 (主要是编程), 洛伦兹终于在那台机器上运行起了他的模拟天气。

四. 奇怪的结果

日子平静地流逝着, 洛伦兹与同事们间或地就模拟天气的演变打上一些小赌, 聊以消遣。 终于有一天, 洛伦兹决定对某一部分计算进行更为仔细的分析。 于是他从原先输出的计算结果中选出了一行数据 - 相当于某一天的天气状况 - 作为初始条件输入了程序。 机器从那一天的数据开始了运行, 洛伦兹则离开了办公室, 去喝一杯悠闲的咖啡。 中国的神话故事中有所谓 “洞中方一日, 世上已千年” 的传说, 洛伦兹的那杯咖啡就喝出了那样的境界。 一个小时后, 当他回到实验室时, 他的模拟世界已经运行了两个月。 洛伦兹一看结果, 不禁吃了一惊! 因为新的计算结果与原先的大相径庭。 这为什么令人吃惊呢? 因为这次计算采用的初始条件乃是旧的数据, 既然初始条件是旧的, 得到的结果怎么会大相径庭呢? 洛伦兹的第一个反应是机器坏了, 这在当时是经常发生的事情。 但是, 当他对结果做更仔细的检验后, 很快排除了那种可能性。 因为他发现, 新旧计算的结果虽然最终大相径庭, 但在一开始却很相似, 两者的偏差是在经过了一段指数增长过程后才彻底破坏相似性的。 如果机器坏了, 是没有理由出现这种 “有规律” 的过程的。

既然机器没有问题, 那么究竟是什么造成了如此巨大的偏差呢? 洛伦兹很快找到了答案。 原来, 洛伦兹的程序在运行时保留了十几位有效数字, 但在输出时为了让所有变量的数值能够打印在同一行里, 他对每个变量都只保留了小数点后三位有效数字。 因此, 当洛伦兹把以前输出的数据作为初始条件输入时, 它与原先计算中保留了十几位有效数字的数据相比, 已经有了微小的偏差。 洛伦兹的计算表明, 在他的模拟系统中, 这些微小的偏差每隔四天就会翻一番, 直至新旧数据之间的相似性完全丧失为止。 这正是蝴蝶效应。 由于这种效应的存在, 洛伦兹意识到长期天气预报是注定不可能具有高精度的。 因为我们永远不可能得到绝对精确的初始条件, 而且由于任何计算设备的内存都是有限的, 我们在计算过程中也永远不可能保留无限的精度, 所有这些误差都会因为蝴蝶效应的存在而迅速扩大, 从而不仅使一切高精度的长期气象预测成为泡影, 而且也葬送了建立在决定论思想上的对物理现象进行精确预言的梦想。 蝴蝶效应的发现也让洛伦兹重新想起了达特茅斯镇的弹球游戏之争。 那个游戏其实正是一个有关蝴蝶效应的例子, 只不过当时谁也没有意识到这一点。

洛仑兹奇怪吸引子
洛仑兹奇怪吸引子

五. 从蝴蝶到飓风

发现蝴蝶效应后, 洛伦兹花了一段时间寻找更简单的模型。 最终他找到了一组只含三个变量的方程, 并用这组方程再次确认了蝴蝶效应的存在。 一九六三年, 洛伦兹在《大气科学杂志》上正式公布了自己的结果。

不过, 无论是洛伦兹的原始论文, 还是此后若干年内的其它有关著作, 都没有直接使用 “蝴蝶效应” 这一名称。 洛伦兹本人有时用过海鸥造成的大气扰动来比喻初始条件的细微改变。 “蝴蝶” 这一名称的使用是在九年后的一九七二年。 那一年洛伦兹要在华盛顿的一个学术会议上做报告, 却没有及时提供报告的标题。 于是会议组织者梅里利斯 (P. Merilees) 替洛伦兹拟了一个题目: “巴西的蝴蝶拍动翅膀会引发德克萨斯的飓风吗?” (Does the flap of a butterfly's wings in Brazil set off a tornado in Texas?)。 就这样, 美丽的蝴蝶随着梅里利斯的想象飞进了科学术语之中。 除此之外, “蝴蝶效应” 的得名还有另外一个原因, 那就是洛伦兹模型中有一个所谓的奇怪吸引子, 它的形状从一定的角度看很象一只展翅的蝴蝶 (见附图)。 不过 “蝴蝶效应” 这一名称的最终风行, 在很大程度上要归因于美国科普作家格雷克 (J. Gleick) 的科普作品《混沌:开创新科学》(Chaos: Making a New Science)。 这部作品被译成了多国文字, 对混沌理论 (蝴蝶效应是混沌理论的一部分) 在世界范围内的热播起了极大的促进作用。 这部作品第一章的标题就是 “蝴蝶效应”。 二零零四年, 蝴蝶效应甚至被搬上了银幕, 成为一部科幻影片 - 虽然是不太成功的影片 - 的片名。

蝴蝶效应以及混沌理论在世界范围内的风行, 一度使人产生错觉, 以为物理学的又一次革命到来了。 从物理学的角度讲, 蝴蝶效应及混沌理论并不包含新的原理性的东西, 它们对物理学的最大启示是: 形式上简单的物理学定律有可能包含巨大的复杂性, 从而有可能解释比我们曾经以为的更为广阔的自然现象。 这一点早在洛伦兹的论文发表之前, 就已经被物理学家注意到了。 二十世纪六十年代初, 美国物理学家费曼 (R. Feynman) 在给本科生讲课时, 就非常清晰地阐述了这一点 (那些课程的内容汇集成了著名的《费曼物理学讲义》)。 费曼曾经希望人类的下一次智力启蒙会带给我们理解物理定律中的复杂内涵的方法。 混沌理论的发展部分地体现了费曼的希望 - 虽然它与真正的智力启蒙还有一定的距离。 真正的智力启蒙究竟会在何时? 就象洛伦兹的天气一样, 谁也无法准确预测, 但我们会拭目以待。

参考文献

  1. E. A. Jackson, Perspectives of Nonlinear Dynamics vol.1 (Cambridge University Press, 1989).
  2. E. N. Lorenz, The Essence of Chaos (University of Washington Press, 1995).

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