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繁星笔谈之经典物理篇

- 卢昌海 -

本文汇集了我在繁星客栈上所发的 熵与微观自由度带高阶导数的 Lagrangian 体系非线性科学与物理学基础 等三篇有关经典物理的短文。

熵与微观自由度

在熵的统计计算中, 通常只计入某些特定层次上的微观自由度。 比如计算常温下普通气体的熵时通常只考虑分子或原子运动的自由度 (平动、 转动、 振动等), 而不考虑更小层次上的微观自由度, 比如不考虑核子内 quark 的内禀自由度。

那些不计算在内的微观自由度通常表示的是那些在所考虑的温度下无法被激发的束缚态, 比如核子内的 quark 束缚态。 对这种自由度来说, 所考虑的温度差不多就是绝对零度, 它们对熵的贡献只是一个常数 (这种常数在考虑 “绝对熵” 的时候自动被视为零)。

在黑洞熵的计算中, Loop Quantum Gravity 给出的微观解释 (参阅 “追寻引力的量子理论” 的 第五节) 大体上是把熵的微观分布限制在视界上。 此外还有一种 Conformal Field Theory 的解释 [S. Carlip, Phys. Rev. Lett. 88 (2002) 241301], 是基于在黑洞视界上存在的一种 asymptotic conformal symmetry。 这种对称性所对应的 conformal field 的自由度数正好是黑洞熵所要求的。 这种微观解释也是把熵的微观分布限制在视界上。 由于对外界观测者来说, 视界是黑洞中观测所及的唯一部分, 因此把熵的微观分布限制在视界上倒是比较不错的结果。 但超弦理论的解释由于是在由强弱对偶性所联系的弱耦合极限下进行的, 似乎尚未能对熵的空间分布做出描述 (也可能做了, 但我还不知道, 欢迎补充)。

至于这些计算是否穷尽了黑洞中所有可能的微观态, 我没有看到任何人曾对此做过证明。 我估计目前还很难做普遍的证明, 因为上面提到的几种解释本身就大相径庭, 我们还没弄清它们表示的是黑洞中可能存在的几种独立类型的自由度还是同一类型自由度的不同表示方式。

二零零四年六月十二日写于纽约

带高阶导数的 Lagrangian 体系

在 Lagrangian 带高阶导数时可以引进新的变量取代部分导数项 (带最高阶导数的项除外), 从而将 Lagrangian 约化为仍只带广义坐标 (新引进的变量也包括在内) 及其一阶导数的 Lagrangian。 这样做的代价是必须引进表示新变量与原广义坐标导数之间关系的约束条件。 但通过合理选择新变量可以使约束条件也只带广义坐标及一阶导数, 从而使整个 Lagrangian (包括 multiplier 项) 不包含高阶导数。

具体的做法是这样的: 引进一串新变量, 使每一个都是前一个的一阶导数, 直至总导数阶数为原 Lagrangian 中的最高导数阶数减一。 比如 L = L(q, q', q'', q''', q''''), 则引进 X=q', Y=X', Z=Y', 从而新 Lagrangian 为:L(q, X, Y, Z, Z') - λ(X-q') - ξ(Y-X') - η(Z-Y')。 含更高阶导数就引进更多新变量。

通过引进新变量虽然可以在形式上把带高阶导数的 Lagrangian 改写成了只带一阶导数的 Lagrangian, 但这并不会改变带高阶导数的体系的动力学行为有别于只带一阶导数的体系这一事实。

引进高阶导数项会影响理论的可重整性, 因为高阶导数项的能量 (量纲) 幂次较高, 相应的耦合常数的能量幂次就较低, 一旦这一幂次为负, 理论就丧失了可重整性。 因此可重整理论所带导数的阶数都不高。

二零零四年十一月十六日写于纽约

非线性科学与物理学基础

从物理学的角度讲, 构成物理体系出发点的物理学原理及其直接对应的数学表述才是 foundamental 的, 而在此基础上可以用数学推理得到的所有东西都被认为是可以由那些物理原理所解释的, 因而不是 foundamental 的 (换句话说, 物理学上所说的解释本身就包含了数学推理)。 拿非线性理论来说, 按照这种理解, 它显然不是 foundamental 的, 因为非线性理论中的那些模型 - 比如 Lorenz 的气候模型 - 只是物理原理的粗略简化, 谈不上 foundamental, 此外的一切都只不过是那些近似方程式的数学推论, 其中没有任何东西是物理意义上 foundamental 的。

这里最容易引起迷惑的是出现在不同非线性系统中的那些具有一定普适性的东西, 比如 Feigenbaum 常数, 这东西看上去的确很 fancy, 我最初接触到的时侯也很受震动, 但这并不意味着它就应该被归为物理意义上 foundamental 的东西。 事实上, 它不仅不是物理意义上 foundamental 的东西, 甚至对于非线性科学本身来说也不是 foundamental 的, 它并不是非线性理论的基本出发点, 而只是数学推论。 数学中象这样具有普适性的东西很多, 一个比 Feigenbaum 常数重要 100 倍的常数是 e (≈2.718), 它出现在所有正比于自身的演化现象中, 却并未有人宣称 e 代表了物理上 foundamental 的东西。

从物理学的角度讲, 非线性理论中的复杂性与普适性不仅不代表物理上 foundamental 的东西, 相反, 它表明物理上真正 foundamental 的东西 - 那些对于寻求 fancy 现象的人来说已经很 boring 的东西, 比如 QED (它也是非线性的) - 所能够解释的现象可能比原先我们以为的多得多。 许多原先以为不是物理学所能解释的东西有可能只是因为我们还没有理解现有物理体系的全部内涵, 而并非由于我们发现了或需要引进新的 foundamental 的东西。 当然, 要把这种可能变为现实 (或否定这种可能) 需要对物理理论的数学结构做更深入的研究, 其中包括对非线性理论的研究, 但这与引进新的 foundamental 的东西是不同的。

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补充两点: 第一点, 并不是只有物理上 fundamental 的东西才是重要的。 细心地研究一组物理上已知的原理所蕴含的信息, 其重要性并不亚于原理本身。 虽然从 fundamental 与否的角度讲那些信息只是推论。 因此我的那段文字不是要低估非线性理论的重要性, 它与后者的 “前途不可限量” 并不是对立的。

第二点, 我那段文字讨论的只是网友提到的一些与混沌及分形有关的简单非线性模型, 那些模型及其数学推论我认为都不是 fundamental 的, 但是一些我们目前认为 fundamental 的物理理论 (比如广义相对论) 往往也是非线性的, 那些理论不在我那段文字的讨论范围之内。

至于统计性及 Maxwell 电磁理论中的场, 如我在那段文字中所说, 构成物理体系出发点的物理学原理及其直接对应的数学表述是 foundamental 的。 因此这些概念, 当它们作为物理学原理或其直接对应的数学表述出现时, 是 fundamental 的概念, 物理上什么是 fundamental 的并不是一成不变的, 不过目前非线性理论中所用的那些模型即使在未来我认为也不会成为物理上 fundamental 的东西 (once again, 这并不意味着它们不重要, 它们对于理解物理原理背后可能蕴含的种种复杂性有着至关重要的启示作用)。

二零零五年六月八日写于纽约

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