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繁星笔谈之场论与粒子物理篇

- 卢昌海 -

本文汇集了我在繁星客栈上所发的 标准模型中的 Higgs 机制Dyson 与 QED 微扰级数量子场论中的质量与电荷费米子可以传递相互作用吗?中微子质量、轻子数、宇称及其它 等五篇有关场论与粒子物理的短文。

标准模型中的 Higgs 机制

这是一个比较复杂的问题, 须得多费些口舌 (按: 本文是应一位对 Higgs 机制持负面看法的读者的询问所写)。

应该说粒子物理的标准模型虽然非常成功, 但不能算是一个非常优美的理论, 因此对其中某些部分 - 比如 Higgs 机制 - 的怀疑不能说没有理由。 这就是说, 如果 Higgs 粒子果真不存在, 从纯理论的角度讲未必是不可接受的, 因为任何一个特殊而又没有太大美学优势的假设被实验所否决在物理学上都是很常见且不算太令人心痛的事情。

但是标准模型的情况不同于物理史上被否决的许多纯假设性的东西。 标准模型虽然带有象 Higgs 机制这样看似特定的机制, 虽然包含为数众多的自由参数, 但这些随意性和它所受到的实验检验的广度、 深度及精度相比却又只能算是小 case 了。 所谓小 case 不是说它可以被忽略, 事实上正是这个小 case 成为构造大统一理论等 "beyond standard model" 的理论的重要动机。 说它小 case 是指用这些机制和参数能解释如此广阔范围内的实验现象已经是一个非凡的成就, 远远远远地超出了巧合的范围。 在这种情况下这些机制和参数在表观上的任意性已不足以成为我们对其合理性做出仓促评判的依据。

从技术上讲, 虽然 Higgs 场的具体形式以及它与其它场的耦合带有随意性, 但 Higgs 机制作为一种对称性破缺的机制其思路却有着相当的合理性, 并且我认为也是非常漂亮的。 我们知道, 一个物理理论要具有某种对称性通常需满足两个条件: 一是理论的 Lagrangian 要具有这一对称性[注一], 二是理论的真空态要具有这一对称性。 由于 Lagrangian 是决定理论动力学行为的, 因而如果一个理论的 Lagrangian 不具有某种对称性, 我们就说这个理论没有该种对称性。 没有了对称性当然也就谈不上对称性破缺了。 因此要谈论对称性破缺, 理论的 Lagrangian 必须具有该种对称性, 在这种情况下真空态就成为对称性破缺的重要而且很自然的来源。 从这个角度讲 Higgs 机制利用真空态来实现对称性破缺其实是一个非常合理的想法。

从实验上讲, 虽然标准模型没有对 Higgs 粒子的质量作出直接预言, 但标准模型本身的成功, 尤其是基于 Higgs 机制对 W± 和 Z0 粒子的高精度的质量预言给 Higgs 机制提供了很强的间接支持。 由于 Higgs 粒子对高能物理中的许多反应过程有贡献, 且这种贡献与 Higgs 质量有关, 随着实验精度的提高, Higgs 粒子的搜索范围正变得越来越窄。 我对近来这一领域的实验进展不是太熟悉, 一年多前一位朋友告诉我说 Higgs 粒子已经被找到了, 我也没有时间搜索文献查证, 不过我收到的最新的 Particle Data Group 并没有把 Higgs 列为已经找到的粒子, 估计那个传闻只是一个 "false alarm" (如果这里有谁对实验进展比较了解, 欢迎给大家介绍一下)。 但是有一点我觉得很重要, 那就是迄今为止没有任何确切的高能物理实验对 Higgs 质量给出彼此矛盾的限制, 这表明 Higgs 粒子起码具有唯象意义上的 “真实性”, 也就是说不管最终、 最深层的物理机制是什么, 由那种机制所给出的物理过程在很大范围内可以近似地用一个标量粒子 - Higgs 粒子 - 来体现。

我想对 Higgs 粒子的等待应该不会持续太久了, 因为包围圈已经越来越小了, 觊觎 Nobel Prize 的枪手们已经把枪瞄向了中心。 如果 Higgs 粒子竟然能象去年美军重兵合围下的本拉登那样消失得无影无终, 那将成为物理史上最奇特的一幕, 因为这样一来标准模型的结构将整个地崩溃, 而它与实验之间令人赞叹的高度一致将成为悬在物理学家脑门上的一个巨大谜团。 这样的谜团 - 如果产生的话 - 将如何解决, 老实说我不知道。:-)

注释

  1. 确切地讲还必须要求理论中不出现破坏该对称性的量子反常 (anomaly)。

补注

  1. 最近读了 Abdelhak Djouadi 的 "Higgs Physics at Future Colliders: recent theoretical developments" (hep-ph/0303097)。 按照该文: (1) 截至 2002 年夏, LEP 给出的标准模型 Higgs 粒子质量限制为 MH ≥ 114.4 GeV (95% CL); (2) 假如标准模型的适用范围可以延伸至 GUT 能标 (1016 GeV), 则 MH ≤ 200 Gev; (3) 标准模型的超对称推广中最轻的 Higgs 粒子的质量为 Mh ≤ 200 Gev, 其中最小超对称推广 (MSSM) 要求 Mh ≤ 130 Gev。[2003-07-08]
  2. Higgs 粒子被认为已于 2012 年被发现, 质量约为 125~127 Gev。[2014-02-17]

二零零三年三月三十一日写于纽约

Dyson 与 QED 微扰级数

本附录是我发表于繁星客栈的两个贴子的合并整理

Dyson 是在证明了 QED 可重整后想要证明其展开级数收敛的, 因为这两者结合起来, QED 的微扰理论就完整了。

我不记得 Dyson 文章的出处了, 不过他的证明十分简单 (被称为 heuristic proof - 即不算严格的证明), 可以在这里简述一下: 如果 QED 的微扰级数对于耦合常数 e2>0 的某个数值收敛, 那它也必定在复平面上以 e2=0 为圆心的某个圆内收敛, 其中包含实轴上 e2<0 的某个区域。 但这是不可能的, 因为在物理上可以证明, 倘若 e2<0, 电磁系统不可能存在稳定的真空态, 由大量正电荷与负电荷分别聚集所形成的态具有比真空更低的能量, 这种态对应于微扰级数中的高阶项, 这说明微扰级数中的高阶项会变得越来越重要, 这种级数至多是一个渐进级数。

Dyson 的证明很难说是否得到公认, 他的推理是比较粗糙的, 后人所接受的应该是把他和其他人的工作合并起来的结果。

对于 Dyson 的证明, 我的感觉是: 对一般的级数而言, 在大于零的某点的邻域内解析, 的确不一定意味着在零的邻域内解析。 不过微扰级数在 e2=0 点是收敛的 (因为那是自由场情形), 因此假如它对某个 e2>0 收敛, 说明它在 e2=0 的收敛半径大于零。 这个我觉得是可以的。 在后半部分中 Dyson 并没有假定 e2<0 的世界具有与我们世界同样的真空, 他只是以我们世界的真空做参照来证明在 e2<0 的世界中没有稳定的真空态。

我对 Dyson 证明的疑问, 是我觉得他其实只是证明了: 如果微扰级数收敛的话, 它的收敛域包含了得到该级数所依据的物理模型本身无法涵盖的区域。 但这似乎没什么不可以的, 谈不上矛盾, 也未必可以反证出微扰级数不收敛的结论。 因此我觉得其他人的证明很值得一看。

二零零四年三月三十一日写于纽约

量子场论中的质量与电荷

本文由我在繁星客栈上与网友讨论量子场论中的质量与电荷的若干帖子合并整理而成。 由于内容完全由讨论中提出的问题所确定 (小字引文为网友在讨论中提出的观点或问题), 因此比较松散。

1. 重整化质量与 Lorentz 协变性

量子场论中的物理质量并不是一个常数, 在重整化后它会随着能量而改变。 那粒子的静质量该做何理解呢? 难道静质量不是一个确定的值?

在量子场论中, 粒子 (以电子为例) 的静质量会受到自相互作用及其它相互作用的影响, 在低能实验中 (即探测尺度为宏观尺度或相对较大的微观尺度时) 这种修正极其微小。 但随着探测能量的提高 (即探测尺度的减小), 这种质量重整化的修正会逐渐明显起来。 我们通常所说的粒子静质量指的是低能极限下的静质量 (夸克的情形例外, 详见下文)。

在重整化中, 好象只是把 Feynman 传播子的 pole 重整化了, 它到底从哪里反映出粒子的质量应该随能标改变? 电荷的重整化可以用真空屏蔽来理解, 那质量呢?

场论中传播子的 pole 对应的是场的激发态的能量, 也就是粒子质量。 质量的重整化是那些由自能图所表示的相互作用产生的, 类似于经典电动力学中的电子自能 (两者的具体关系式虽然完全不同, 但在相互作用可以影响质量这一意义上彼此相似), 它并不破坏静质量的 Lorentz 标量性, 而只是表明它由标量常数变成标量函数而已, 就像电荷重整化并不破坏电荷的 Lorentz 标量性一样。 重整化的结果中所涉及的都是满足 Lorentz 协变性的量 (比如 p2, q2 - q 为相互作用中的动量传递, 等), 因此不会破坏协变性。

2. 关于夸克质量

上面说到, 我们通常所说的粒子静质量是指低能极限下的静质量。 但夸克是一个例外, 由于 QCD 具有 confinement 效应, 夸克的质量无法在低能极限下定义。 通常轻夸克 (u, d, s) 的质量 (按照 Particle Data Group 所提供的数据) 是在 2GeV 附近定义的 (称为 current mass)。 这也使得夸克成为一个最好的例子, 说明粒子质量的定义是与能量标度有关的。

具体地讲, Chiral perturbation theory 被用来计算质量比 mu/md 和 ms/md (这差不多也是 Chiral perturbation theory 所能提供的有关轻夸克质量的全部信息)。 而质量的绝对值则是用 Perturbative QCD 及 Lattice QCD 来计算的。 这其中 Perturbative QCD 的适用范围可以远远高于 2GeV, 但 Lattice QCD 则不然, 它在高能区有一个由 lattice 间距所确定的 cut-off。 2GeV 是近几年里两种方法恰好都适用 (虽然精度都不高), 从而可以相互比较的能标, 因此轻夸克质量的定义选择了这一能量标度。

重夸克 (c, b, t) 由于质量远高于 ΛQCD, 其质量是在它本身的能标上确定的, 即 mb = mb(mb), etc。

3. 关于真空极化

我有一个疑问: 有些书上说, 电子的电荷重整化相当于在裸电子周围由于裸电荷产生真空极化, 把异号电荷吸引到自己周围。 然而我们知道, 介质极化产生的电偶极子总电荷为零, 因此如果观察距离更大一些, 裸电子周围包围的真空极化层总电荷为零, 我们观察到的岂不是裸电荷?

在通常的介质极化中部分电荷是出现在边界上的, 因此要想让介质贡献的总电量为零, 通常要到介质以外去观测才行。 对于真空来说, 我们无法跑到真空之外去观测, 因此不会出现在远距离上就可以观测到裸电荷的情形。

另外, 更主要的是, 如果介质中同时有正负电荷 (真空就是如此), 则正电荷所产生的介质极化中的同号电荷可以跑到负电荷周围, 对负电荷产生屏蔽, 从而不需要任何净电荷就可以同时屏蔽一对正负电荷。 因此即使不考虑我们无法跑到真空之外这一事实, 真空极化的总电荷为零也不意味着在远距离上可以观察到裸电荷。

二零零五年三月五日写于纽约

费米子可以传递相互作用吗?

这个用文字不容易准确叙述, 权且试试吧。 (按: 本文是回答 可见光网友 的一个贴子)

要想回答这个问题, 最好的方法是先定义什么叫做 “传递相互作用的粒子”。 我们知道基本粒子理论中的所有粒子都可以出现在 Feynman 图的相互作用顶点中, 但是我们却只把其中的一部分粒子称为 “传递相互作用的粒子”。 举个例子来说, 电子和光子同时出现在标准模型的 eeγ 顶点中。 我们却只把光子称为 “传递相互作用的粒子”, 这是为什么呢? 为什么我们不把出现在同一个相互作用顶点中的电子称为 “传递相互作用的粒子” 呢? 究竟什么是 “传递相互作用的粒子”? 在 Feynman 图的层次上, 这种粒子可以用一个简单的方式来定义 (当然这种定义归根到底是来源于 Lagrangian 中对物质场与规范场的区分), 那就是在一个相互作用的顶点中, 倘若一个粒子的发射不影响其它粒子的类型, 则该粒子 (并且也只有这样的粒子) 是 “传递相互作用的粒子”, 它是替未改变类型的粒子传递相互作用。 在 eeγ 顶点中, 唯一符合上述定义的诠释是: 光子是替电子传递相互作用的粒子 (如果强行把电子作为相互作用粒子的话, 则该顶点中剩下的两条线一条是光子线, 一条是电子线, 不是同一类型, 与定义相矛盾, 因此在这一顶点中电子不是传递相互作用的粒子)。

但是这里有一个很微妙的地方, 那就是究竟什么样的粒子才算 “同一类型”? 在上面所举的 eeγ 顶点中这是不言而喻的, 因为其中有两条线都是电子线, 电子与电子自然是同一类型。 但 W± 粒子也是传递相互作用的粒子, 发射一个 W- 粒子却会使 e 变成 νe, 这又如何解释呢? 这就涉及到基本粒子理论中 multiplet 的概念。 在 W± 所传递的弱相互作用中 e 与 νe 组成一组弱同位旋的 doublet。 对于弱相互作用而言, 这样的两个粒子被视为是同一个粒子的不同量子态 (就好比自旋分量不同的两个电子), 因此它们虽然从其它相互作用的角度上看很不相同 (比如从电磁相互作用角度看电荷不同), 但对于弱相互作用来说却是 “同一类型” 的。 这样的例子在历史上还有许多。 比如 π 介子曾被视为传递强相互作用的粒子, 但是发射一个带电 π 介子会使质子与中子互换。 这之所以没有妨碍我们把带电 π 介子视为相互作用粒子, 正是因为质子与中子在强相互作用唯象理论中是一组同位旋 doublet。 因此, 上述定义中 “类型” 的含义是: 在一个相互作用理论中所有处于同一个 multiplet 中的粒子都属于同一类型。

有了 “传递相互作用的粒子” 的定义, 就可以回答标题中的问题了。 这个答案我们分两部分来叙述。 首先在传统场论中问题的答案是否定的。 传统场论中所有传递相互作用的粒子都是玻色子。 这是因为发射一个费米子会使玻色子变成费米子, 或费米子变成玻色子[注一], 但玻色子与费米子在传统场论中是绝不会出现在同一个 multiplet 中的 (因为否则的话就必须引进带 fermionic 生成元的变换才能将同一个 multiplet 中的粒子联系起来, 这样的变换在传统场论中是不存在的), 从而是完全不同类型的。 因此传统场论中任何粒子都不可能发射一个费米子却不改变自己的类型, 按照上面的定义, 这也就是说费米子在传统场论中是不可能传递相互作用的。

上面的分析同时也给出了费米子传递相互作用的条件, 那就是必须存在同时包含玻色子与费米子的 multiplet。 这样的理论只有一种, 那就是超对称理论。 在超对称理论中一个粒子可以由玻色子变成 (同一个 multiplet 中的) 费米子 (或反过来) 却不改变类型, 在这一过程 (也只有这类过程) 中发射的费米子 (gaugino, gravitino) 就和传统场论中的光子、 W± 粒子等一样可以传递相互作用。 因此在超对称理论 (并且也只有超对称理论) 中费米子 (gaugino, gravitino) 可以传递相互作用

注释

  1. 这是因为 Lagrangian 是 bosonic 的, 因此一个顶点中要么没有费米子, 要么有两个费米子 (四个或更多费米子会破坏可重整性), 不能只能有一个费米子。 这说明有费米子的相互作用顶点中除去那个假设为传递相互作用的费米子外, 剩下的必定一个是费米子, 一个是玻色子。

二零零五年三月十二日写于纽约

中微子质量、轻子数、宇称及其它

简单地讲, 与中微子质量、 中微子振荡及轻子数守恒有关的结果主要有以下这些:

  1. 中微子质量 + 中微子质量本征态≠弱本征态 → 中微子振荡
  2. 中微子振荡 → 各代轻子数 (即 Le, Lμ, Lτ) 不分别守恒
  3. 中微子具有 Majorana 质量[注一] → 各代轻子数与总轻子数均不守恒[注二]
  4. 目前还不知道中微子质量是 Dirac 质量还是 Majorana 质量, 或是两者都有。
  5. 标准模型中无论微扰还是非微扰的效应都不会产生中微子质量, 因此中微子质量无法用标准模型来说明 (这里 “标准模型” 是指传统意义上的标准模型, 不排除未来某一天人们将同一名称赋予某个包含中微子质量的推广模型的可能性)。
  6. 在标准模型之外人们已经提出许多有关中微子质量的模型 (如 see-saw 机制、 Zee 模型、 large extra dimension 等), 现有的实验精度还不足以对它们进行有效的判定。

中微子质量与宇称不守恒不矛盾, 但与宇称 100% 破缺有一定的冲突。 不过所谓宇称 100% 破缺只是表明 V+A 型的相互作用在实验精度之内未被检测到, 不代表它一定不存在, 因此这种冲突并不绝对。 在中微子有质量的情况下, 物理学家们提出了一些模型来说明为什么在实验中宇称几乎 100% 破缺。 比如有一种模型叫做 “左右对称模型” (left-right symmetric model), 在其中 Lagrangian 具有 SU(2)L×SU(2)R 对称性, 该对称性在很高的能量下自发破缺, 使得右旋中微子具有很大的质量, 同时也抑制了 V+A 型的相互作用, 因此在低能实验中我们只能观测到左旋中微子及 V-A 型的相互作用, 宇称看起来是 100% 破缺的。

注释

  1. Majorana 质量是形如 mψTC-1ψ 的质量 (其中 C 为电荷共轭变换), 它在 ψ→eψ 下不是不变的, 因此轻子数不守恒。 Majorana 质量是正反粒子等同 (即 ψ=ψc≡CψT) 时的质量项 mψψ。
  2. 顺便提一下, 标准模型中的轻子数被极微小的 instanton 效应所破缺, 因此严格讲也是不守恒的。

二零零五年五月十九日写于纽约

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