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宇宙监督假设简介 (四)

- 卢昌海 -

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六. 零质量标量场与裸奇点

宇宙监督假设的明确表述虽然帮助宇宙监督假设闯过了若干关卡, 却很不幸地排除了诸如理想流体之类广义相对论研究者们喜闻乐见的物质分布。 为了进一步研究宇宙监督假设, 物理学家们不得不引进其它类型的物质。 这其中最简单的莫过于是标量场 (scalar field), 也叫做 Klein-Gordon 场 (Klein-Gordon field)。 而标量场中最简单的则是所谓的零质量标量场, 它的能量动量张量为 Tμν = φφ — (1/2)gμνφφ, 相应的运动方程则为最简单的线性二阶双曲方程 (请读者自行证明):

gμν φ;μν = 0

(4.6.1)

这种标量场与引力耦合的体系被称为 Einstein-Klein-Gordon 体系[注一], 它显然满足宇宙监督假设的明确表述对运动方程的要求, 因而成为了研究宇宙监督假设的新战场。

自 20 世纪 80 年代中期开始, 当时任教于美国雪城大学 (Syracuse University) 的数学物理学家 Demetrios Christodoulou (1951-) 开始对 Einstein-Klein-Gordon 体系进行较为系统的研究。 由于问题的高度复杂性, Christodoulou 不得不将注意力集中到具有球对称性的 Einstein-Klein-Gordon 体系上。 但即便引进了这么高的对称性, 问题依然相当困难, 以至于与宇宙监督假设有关的突破直到 6 年之后的 1992 年, 才由当时在美国德克萨斯大学奥斯汀分校 ( University of Texas at Austin) 的物理学家 Matthew Choptuik 做出。 Choptuik 在 Christodoulou 的一些前期解析研究的基础上, 对球对称 Einstein-Klein-Gordon 体系的坍缩过程进行了数值研究。 他的研究表明, 如果向内坍缩的标量场的某个强度参数足够小, 坍缩场将会被反射回无穷远; 而如果该强度参数足够大, 坍缩场则会形成黑洞。 这两种极端情形都不破坏宇宙监督假设。 但是, 这两种极端情形之间还存在一段参数范围, 那里的情况如何呢? 特别是, 当强度参数由大变小, 在由能够形成黑洞转变为无法形成黑洞的那一个被称为临界参数 (critical parameter) 的特殊数值附近的情况又如何呢? 这些问题 Christodoulou 曾在 1987 年提出过, Choptuik 找到了答案, 他的结果发表于 1993 年初。

Choptuik 的数值研究表明, 当强度参数由大变小接近临界参数时, 黑洞的质量 MBH 与参数 p 之间存在一个幂函数关系: MBH ~ (p—pc)γ, 这里 pc 为临界参数, γ 是一个对标量场具有普适性的指数, 数值约为 0.37。 Choptuik 的这个结果表明, 在接近临界参数时, 黑洞的质量——因而其视界——将无限缩小, 外部观测者可以无限接近黑洞中心的奇点。 这种可以无限接近的奇点已经非常类似于裸奇点, 但还不完全是, 因为对于任何给定的强度参数, 只要它不完全等于临界参数, 这种接近程度就终究还是有限的。 那么, 当强度参数完全等于临界参数时, 情况又如何呢? 这时候黑洞的视界将会消失, 但奇点是否也会随之消失呢? 如果奇点也消失了, 那就仍然不存在裸奇点。 幸运 (或不幸——取决于看问题的立场) 的是, Choptuik 的研究表明, 在这种临界情形下, 时空的曲率标量在坍缩中心附近趋于发散, 即奇点依然存在! 因此, 临界情形下 Einstein-Klein-Gordon 体系的坍缩会在坍缩中心形成裸奇点。 这是物理学家们首次在具有 “正常的物质性质” 的引力耦合体系中找到裸奇点。

比 Choptuik 的稍晚, 印度塔塔基础研究所 (Tata Institute of Fundamental Research) 的物理学家 Indresh Dwivedi 与 Pankaj Joshi 给出了一个稍具一般性的结果, 即在满足弱能量条件的球对称体系中, 特定的非奇异初始条件可以导致裸奇点。 而 Christodoulou 本人也在 Einstein-Klein-Gordon 体系的特定球对称坍缩过程中发现了性质与 Choptuik 所发现的临界情形相类似的裸奇点。 1995 年, 剑桥大学的数学物理学家 Rufus Hamadé 与 John Stewart 通过更细致的数值计算进一步证实了 Choptuik 的结果。

出现在零质量标量场中的这一系列结果对宇宙监督假设是沉重的打击 (事实上它直接否证了我们在 上一节 中所给出的宇宙监督假设的 “比较严格” 的表述)。 虽然原则上我们仍可以有 “遁词”, 比如现实世界中并不存在具有基础意义的零质量标量场 (粒子物理标准模型中唯一的标量场——Higgs 场——是有质量的), 但由于零质量标量场具备基本物质场所应具备的所有良好的动力学特征, 因此我们有理由认为 (虽然那不等同于证明), 裸奇点在零质量标量场中的出现意味着 “正常的物质性质” 并不能成为挽救宇宙监督假设的救命稻草。

在这一系列的不利结果面前, 久经考验的宇宙监督假设的捍卫者 Hawking 终于扛不住了。 1997 年初, 他——如我们在 第一节 末尾所述——终于公开承认自己在与同事 Preskill 及 Thorne 的赌局中落败, 并依约向后者提供了赌注之一的足以覆盖对方裸体的衣服。 不过, 一局之败显然并不能让 Hawking 就此俯首称臣。 心有不甘的他请人在输给对方的衣服上绣上了那句著名的短语: “上帝憎恶裸奇点”, 以示最终的胜负还得 “走着瞧”。 而且——也如我们在 第一节 末尾所述——就在认输的同一天, 他用一份修改了的赌约与 Preskill 及 Thorne 开始了一个新的赌局。

Hawking 之所以要对赌约进行修改, 除了因为对宇宙监督假设痴心不改外, 还有一个很重要的原因, 那就是他注意到人们当时针对宇宙监督假设所构造的反例全都依赖于非常特殊的初始条件, 比如 Choptuik 的裸奇点要求标量场的强度参数恰好等于临界值, 大了或是小了都不行; 此外它们还大都依赖于非常严格的对称性, 比如球对称性。 如果宇宙监督假设的所有反例全都具有类似性质, 即依赖于非常特殊的初始条件或严格的对称性, 那它们在现实世界中实际上是无法出现的。 有鉴于此, Hawking 在新赌约中规定: 初始条件必须是一般的 (generic) 而不是特殊的。 换句话说, Hawking 认为: 一般初始条件 (generic initial condition) 下的动力学演化不会产生裸奇点[注二]。 或者反过来说: 裸奇点只能由特殊的初始条件所产生

显然, Hawking 的这一附加条件可以被认为是对 第一节 的粗略表述中提及过, 并在 上一节 的 “比较严格” 的表述中以渐近平直初始数据集的方式有所体现——但显然体现得还不够——的 “正常的初始条件” 的补充。 从 上节 中我们知道, “正常的物质性质” 曾一度挽救过宇宙监督假设, 可惜挽救得并不彻底。 现在 Hawking 把新的希望寄托在了 “正常的初始条件” 上, 希望它能干得比 “正常的物质性质” 更好, 甚至一劳永逸地完成 “救驾” 任务。 由于现实世界每时每刻、 每个角落都充满着各种各样的随机微扰 (比如宇宙微波背景辐射、 引力波等), 因此 Hawking 寄希望于从初始条件的一般性这一角度来排除裸奇点, 的确是一个比较合理的想法。 新赌约对赌注的规定没什么大的改变, 大家虽然都不缺钱, 但衣服总是需要的, 因此输家仍须向赢家提供足以覆盖后者裸体的衣服。 不过 Preskill 与 Thorne 对 Hawking 上次所绣的 “上帝憎恶裸奇点” 看来有些耿耿于怀, 因此在新赌约中特意强调衣服上所绣的必须是一句 “真正愿赌服输” (truly concessionary) 的话, 而不能再玩花招。

七. 讨论

Hawking 等人的新赌约问世后不久, 1999 年, 上文提到的 Christodoulou 在普林斯顿大学及高等研究院 (Institute for Advanced Study) 主办的《数学年报》(Annals of Mathematics) 上发表了一篇文章 (这篇文章的基本结果其实早在 Hawking 等人的新赌约问世之前就已完成, 并曾被圈内人士广泛引用)。 在这篇文章中, 他对 Einstein-Klein-Gordon 体系做了一些解析研究, 目的是想判定形成裸奇点的初始条件是否稳定。 他的研究表明, 对于 Einstein-Klein-Gordon 体系来说, 即便在球对称的情况下, 能形成裸奇点的初始条件也是不稳定的, 它会被特定类型的球对称微扰所破坏。 显然, Christodoulou 的这一结果对 Hawking 的新赌约是一个很大的支持, 尽管它距离证明 “Hawking 版” 的宇宙监督假设无疑还差得很远。

Hawking 等人的新赌局迄今尚未见出输赢。 这份赌约虽不是学术作品, 却在很大程度上指出了宇宙监督假设的一个重要的研究方向。 因为事实上, 种种反例的存在已经推翻了如我们在 上节 中所表述的那种宇宙监督假设。 要想挽救宇宙监督假设, 附加条件的引进已是势在必行, 而 Hawking 在新赌约中引进的初始条件的一般性, 在所有有可能挽救宇宙监督假设的附加条件中, 几乎是唯一一种不至于将之弱化到失去现实意义的条件。 不过, 尽管 Hawking 引进的附加条件不至于将宇宙监督假设弱化到失去现实意义, 但却仍有可能造成一些不容忽视的后果。 比如我们知道, 广义相对论中有一些重要的结果——比如我们我们在 第三节 中提到过的黑洞面积定理——是在类似于我们 上节 所给出的那种如今看来并不成立的宇宙监督假设的基础上证明的。 Hawking 引进的附加条件对那些证明及其结论会产生什么影响? 也许是值得有志于广义相对论研究的读者去思考的。

在结束本专题之前, 让我们回过头来提一下 第一节 留下的一个伏笔。 读者们也许还记得, 我们在给出宇宙监督假设的粗略版时曾经提到, 那是所谓的宇宙监督假设。 什么是弱宇宙监督假设? 它是指只要求奇点存在于视界以内, 从而与视界外的时空断绝因果联系, 却并不排除视界内的观测者直接观测到奇点的可能性。 但是, 假如我们认为经典广义相对论必须自洽到不允许裸奇点具有观测意义的程度 (这是人们提出宇宙监督假设的一个重要动机), 那么视界内的观测者似乎也不应该例外。 有人可能会说: 视界内的观测者既然再也不可能回到视界之外了, 那无论他们观测到什么, 都已不再具有实际意义。 这话初听起来不无道理, 但我们别忘了, 黑洞原则上是可以任意大的, 可以大到不仅让观测者能平安穿越视界 (黑洞越大, 观测者穿越视界时所经受的潮汐力就越小), 而且还可以让他们在黑洞内存在任意长的时间, 甚至可以在那里从事系统的物理研究。 在那里难道他们会发现完全不同的物理学吗? 对于这样假想性的问题, 不同的人显然会有不同的看法。 但有一些物理学家相信, 既然我们是由于对经典广义相对论的自洽性具有信心而提出了宇宙监督假设, 就没有理由把视界内的观测者排除在外。 他们提出, 裸奇点不仅对于视界外的观测者, 而且对于视界内的观测者都是不具有观测意义的。 这就是所谓的宇宙监督假设。

依据强宇宙监督假设, 只要排除象大爆炸那样的初始奇点, 时空的所有区域都应当能被适当的初始条件所预测, 因此强宇宙监督假设曾被 Penrose 表述为: 除去初始奇点外, 所有物理上合理的时空都是全局双曲的。 当然, 对强宇宙监督假设的严格表述将会涉及一些数学上的微妙细节, 以排除通过简单拓扑剪拼手段构造出的反例, 这些我们就不在这里介绍了。

与弱宇宙监督假设的初看起来正确不同, 强宇宙监督假设似乎初看起来就不太正确。 我们早已知道, 奇点在经典广义相对论中是无可避免的。 由于强宇宙监督要求奇点对所有观测者都不具有观测意义, 这意味着仅仅象弱宇宙监督假设所要求的那样用视界包裹奇点是不够的, 为了使视界内的观测者也无法观测到奇点, 奇点必须是类空的。 类空奇点的一个例子是 Schwarzschild 奇点, 观测者虽然可以依据广义相对论预知其存在, 但只有在真正撞上时才能 “观测” 到这样的奇点。 但是, 并非所有奇点都是类空的, 比如由 Reissner-Nordström 或更一般的 Kerr-Newman 度规描述的奇点就是类时的。 对于那样的奇点, 所有进入内视界的观测者都有可能直接观测到它的存在及可能的物理效应。

读者也许会觉得奇怪, 既然象 Reissner-Nordström 和 Kerr-Newman 这样重要的时空就已经允许进入内视界的观测者直接观测到奇点, 从而违反强宇宙监督假设, 怎么还会有人 “不识时务” 地提出强宇宙监督假设呢? 这是因为有迹象表明象 Reissner-Nordström 和 Kerr-Newman 时空中的内视界这样的东西很可能是不稳定的。 这些内视界是所谓的 Cauchy 视界, 它是强宇宙监督假设遭到破坏时必然会出现的[注三]。 1982 年, Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995) 与 James Hartle (1939-) 证明了 Reissner-Nordström 时空的 Cauchy 视界是一个无限蓝移面, 即来自远处的辐射在这一视界处会被无限蓝移, 从而不仅会对试图穿越这一视界的任何观测者造成致命伤害, 而且会严重干扰 Reissner-Nordström 度规本身, 导致 Cauchy 视界的不稳定。 很多物理学家认为, 类似的不稳定性也存在于更一般的 Kerr-Newman 时空中, 其结果便是使得象诸如 Reissner-Nordström 或 Kerr-Newman 度规所描述的那种奇点为类时的情形无法出现[注四]。 当然, 这些基于特例所做的研究距离证明强宇宙监督假设所需的普遍性还相差很远。

有关宇宙监督假设的研究还在进行。 就我个人的看法而言, 虽然我对 Hawking 版的宇宙监督假设是否成立这样的纯技术问题并无先入之见, 不过我并不看好导致宇宙监督假设的那种推理。 物理学家们大都相信, 奇点在广义相对论中的存在是广义相对论作为经典理论的局限之处。 在一个完整的量子引力或更宏伟的所谓终极理论 (theory of everything) 中, 那样的奇点是不会存在的。 既然如此, 我们有什么理由认为广义相对论需要以某种精巧的方式阻止事实上根本就不存在的奇点的观测效应呢? 就拿 Hawking 那句 “上帝憎恶裸奇点” 来说吧, 如果 “上帝” 创造的原本就是一个量子引力世界, 在那里原本就不存在真正的奇点, 那它又有什么理由要在广义相对论这样一个非量子、 从而注定是片面的理论中 “憎恶” 一个在完整理论中根本就不存在的裸奇点呢? 退一步讲, 倘若 “上帝” 果真 “憎恶” 广义相对论中的裸奇点, 为何又允许它出现在种种个例之中呢? 导致宇宙监督假设的那种推理, 无论是作为拟人化的 “上帝” 的喜好, 还是作为单纯的物理分析, 都显得不够自洽。 从历史上看, 在黑洞概念问世之初, 英国物理学家 Eddington 曾认为大自然将会阻止黑洞出现, 就象宇宙监督假设的支持者们认为大自然将会阻止裸奇点出现一样, 结果他错了; 在量子力学问世之初, Einstein 曾象 Hawking 那样猜测过 “上帝” 的喜好, 认为他老人家不会掷骰子, 结果他也错了。 历史将会在宇宙监督假设这里重演一遍, 还是玩出新的花样? 宇宙监督假设的最终命运将会如何? 这是未来广义相对论研究中一个引人注目的悬念。

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注释

  1. Einstein-Klein-Gordon 体系中的标量场一般来说是有质量的, 本节涉及的零质量情形只是特例。
  2. Hawking 新赌约中涉及 “一般初始条件” 的原文是 “源自一般初始条件 (即源自初始条件组成的开集) 的动力学演化不可能产生裸奇点”。 这一表述似乎只有从 “能产生裸奇点的初始条件集不包含开子集” 这一角度来理解才既有意义, 又不与已知的反例相矛盾。 如果能产生裸奇点的初始条件集不包含开子集, 那么任何能产生裸奇点的初始条件都可以被某些微扰所破坏 (请读者结合开集的定义自行论述这一点), 从而是不稳定的。 但另一方面, 经过这样理解的 “一般初始条件” 并不意味着能产生裸奇点的初始条件是 “稀有” 的 (请读者想一想这是为什么?)。 从而严格讲并不足以剥夺裸奇点的现实意义。 可惜 Hawking 似乎从未在学术论文中阐述过这一条件, 从而使我们无法找到更可靠的参照。 在我看来, 对 “一般初始条件” 的更恰当的定义是要求能导致裸奇点的初始条件的相对测度为零。 在这方面, 宇宙监督假设的另一位核心支持者 Penrose 的看法要狡猾得多, 他认为现阶段最好别给 “一般初始条件” 下明确定义, 以便保留随机应变的能力。
  3. 这是因为强宇宙监督假设要求时空具有全局双曲性, 因而它的破坏意味着初始条件的 Cauchy 展开具有边界, 这一边界——如我们在 奇点与奇点定理简介第四节中所介绍的——正是 Cauchy 视界。
  4. 需要注意的是, Cauchy 视界在 Reissner-Nordström 和 Kerr-Newman 情形下的不稳定性并不意味着它在任何情形下都不稳定。 一个引人注目的反例是: Mike Morris、 Thorne 和 Ulvi Yurtsever 曾在 1988 年发现, 虫洞 (wormhole) 时空中的 Cauchy 视界不具有由无限蓝移导致的不稳定性。 不过, 如我们在 虫洞物理学简介 中将会看到的, 虫洞时空并不满足宇宙监督假设所要求的能量条件。

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网友讨论选录

  • 网友: shanqin   (发表于 2008-09-29)

    Christodoulou 的文章看过几篇, 不过一页都没有看懂……

  • 网友: dfj   (发表于 2008-09-29)

    超大质量黑洞内部的条件比较 “温和”, 里面的人能否区分是在黑洞里面还是外面? 这个黑洞里面还可能套着黑洞吗?

  • 网友: 卢昌海   (发表于 2008-09-29)

    通过对一定范围内的时空进行测量, 视界内的观测者是能够区分自己附近的度规与 Schwarzschild 度规的内部还是外部相符合的。

    虽然从未有人给出过与 Schwarzschild 内部时空相衔接的黑洞解, 但我看不出有什么理由那样的黑洞内的黑洞不能存在。

  • 网友: 秋水无涯   (发表于 2008-09-30)

    插一句: 很想请问卢先生对日内瓦新近启动的 LHC 的看法?

  • 网友: 卢昌海   (发表于 2008-10-01)

    一句话的评价是: 在 LHC 上发现什么 (比如 Higgs, 超对称粒子等) 固然极其重要; 即便什么都没发现, 它对理论物理界依然会有重大影响, 因为它将改变物理学家们对当前最受侧重的一些理论的看法。

  • 网友: shanqin   (发表于 2008-10-01)

    发现了, 是证实; 没发现, 是推翻, 所以都很重要。

  • 网友: 卢昌海   (发表于 2008-10-01)

    LHC 的重要性也反衬出当年美国国会中止 SSC 计划实在是鼠目寸光的行为。

  • 网友: henring   (发表于 2012-10-03)

    国庆节, 买了《黎曼猜想漫谈》, 一口气重新看了一遍, 这次还做了书上留给读者做的 “习题”。 实在是了不起的一本高级科普。

    我其实一直在等卢兄出版广义相对论这一系列的文章的, 就我所见, 没有人在这个问题上的科普写得比你好。

  • 网友: 卢昌海   (发表于 2012-10-03)

    谢谢。 这一系列已与清华大学出版社签订合同, 将于明年出版。

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