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本文第 节与 奇点与奇点定理简介 (二)第三节 合并为 “奇点与奇点定理简介 (中)”, 发表于《现代物理知识》二零零七年第六期; 本文 第六节 与附录 Raychaudhuri 小传 合并为 “奇点与奇点定理简介 (下)”, 发表于《现代物理知识》二零零八年第一期 (中国科学院高能物理研究所)。

奇点与奇点定理简介 (三)

- 卢昌海 -

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四. 时空的因果结构

在前两节中, 我们介绍了证明奇点定理的第一步, 即通过 Raychaudhuri 方程、 强能量条件及一般性条件, 确立了测地完备时空中每条非类空测地线上都存在共轭对这一结论。 那一步侧重的是引力理论中的动力学因素。 接下来的第二步侧重的则是时空的因果结构。

在物理学中, 因果性是一个很微妙的概念。 一方面, 它是现实世界中最基本的经验事实之一; 另一方面, 却很少有物理理论直接把因果性作为前提条件。 由此导致的一个结果是: 某些物理理论起码在形式上允许因果性的破坏。 广义相对论就是这样的一个理论。 在广义相对论中, 破坏因果性最简单的方式是产生闭合非类空曲线 (请读者想一想, 这种曲线在什么意义上破坏因果性?)。 为了对这种类型的因果性破坏进行界定, 人们引进了一个条件, 叫做因果性条件 (causality condition): 一个时空如果不存在闭合非类空曲线, 则称为满足因果性条件。 考虑到所有有质量粒子都只能沿类时曲线运动, 人们还提出了一个比因果性条件稍弱的条件, 称为时序条件 (chronology condition), 它与因果性条件的差别在于把 “不存在闭合非类空曲线” 减弱为 “不存在闭合类时曲线”。

虽然时序条件比因果性条件稍弱, 但可以证明, 一个时空如果在时序条件之外还满足测地完备性, 则该时空将不仅满足因果性条件 (即不存在闭合非类空曲线), 而且不存在可以无限逼近闭合非类空曲线的曲线。 这个比因果性条件更强的性质, 被称为强因果性条件 (strong causality condition), 它在奇点定理的研究中是一个重要概念。

奇点定理研究中的另一个重要概念是所谓的封闭陷获面 (closed trapped surface)。 这是一种特殊的二维封闭类空曲面, 其基本性质是: 所有与之正交的类光测地线束无论向内还是向外都是趋于会聚的 (即膨胀标量 θ<0)。 从物理上讲, 该性质意味着从封闭陷获面发出的光波的波前是收缩的。 这种曲面在广义相对论中并不鲜见, 比如 Schwarzschild 解中所有 r<2m 的曲面都具有这一性质 (这表明任何物质——包括光波——都不能从 Schwarzschild 黑洞中逃脱)。 1983 年, 美国数学家 Richard Schoen (1950-) 与美籍华裔数学家 Shing-Tung Yau (丘成桐, 1949-) 证明了一个相当普遍的结果: 只要物质的分布足够致密, 就必定会出现封闭陷获面。

由于封闭陷获面的定义是建立在类光测地线的行为之上的, 因此我们引进与类光测地线有关的两个特殊点集: E+(S) 与 E(S), 分别由从曲面 S 发出的未来与过去方向的类光测地线所组成[注一]。 在这一定义中我们还进一步假定 S 上任意两点之间都不存在类时连接, 这种点集 S 被称为非时序点集 (achronal set)。 封闭陷获面由于是类空的, 显然也是非时序点集。 可以证明, 如果强能量条件成立, 则对于任何封闭陷获面 S, E+(S) 与 E(S) 紧致。

我们知道, 物理上所有的相互作用都是非类空传播的 (也就是说相互作用的传播速度不大于光速)。 因此, 如果我们考虑时空中某一点上的任何物理性质, 它所能依赖的初始条件只能位于与该点具有非类空连接的时空点上。 反过来说, 给定某个时空区域 S 上的初始条件, 我们能完全确定其性质的时空区域是由那样的一些点组成的: 所有通过那些点的过去不可延拓非类空曲线都与 S 相交。 这一时空区域被称为 S 的未来 Cauchy 展开 (future Cauchy development) 或未来影响域 (future domain of dependence), 通常记为 D+(S)。 D+(S) 的边界则被称为未来 Cauchy 视界 (future Cauchy horizon), 记为 H+(S)。 类似地, 我们也可以定义 S 的过去 Cauchy 展开 (或过去影响域) 和过去 Cauchy 视界, 分别记为 D(S) 和 H(S)。 S 的未来 Cauchy 展开与过去 Cauchy 展开合在一起——即 D+(S)∪D(S)——称为 S 的 Cauchy 展开 (或影响域), 记为 D(S)。 一个时空 (或时空中的一个点集) M 中如果存在一个封闭非时序点集 S, 使得 M=D(S), 则称为是全局双曲 (globally hyperbolic) 的, 相应的封闭非时序点集 S (可以证明它一定是一个超曲面) 被称为 Cauchy 面 (Cauchy surface)。 Cauchy 面可以被形象地理解为时空中对应于某一时刻的超曲面。 一个时空如果是全局双曲的, 我们就可以通过 Cauchy 面上的初始条件预言整个时空中的演化, 因此时空的全局双曲是一种非常优良的因果性质。 1965 年, Penrose 正是在假设时空为全局双曲的基础上证明了最早的奇点定理。 但是, 时空的全局双曲是一个很强的假设, 要想证明现实时空满足这样的假设几乎是不可能的。 因此五年之后 (即 1970 年) , Hawking 与 Penrose 放弃了这一假设, 在一组物理上更容易实现的假设之上重新证明了奇点定理, 那便是我们所要介绍的 Hawking-Penrose 奇点定理。

对于奇点定理的证明来说, 全局双曲时空 (或点集) 有一个很重要的性质, 那就是其中任意两个可以建立非类空连接的时空点 p 和 q 之间必定存在一条非类空测地线, 其长度最大——即大于或等于 p 和 q 之间的任何其它非类空曲线 (请读者想一想为什么这里测地线的长度是最大而不是最小?), 并且在 p 和 q 之间不存在与 p 共轭的点

五. Hawking-Penrose 奇点定理

以上我们介绍了一些在奇点定理的研究中常用的有关时空因果性质的定义及结果。 虽然介绍得比较零散, 但有些读者可能已经看出一点思路来了: 我们在 第三节 中曾经证明了, 在适当的条件下, 每条非类空测地线上都存在共轭对; 而在 上节 的末尾我们则开始接近一个与之矛盾的结果, 即在特定的条件下, 某些测地线上不存在共轭对。 这对彼此矛盾的结果正是证明奇点定理的关键。 确切地讲, 奇点定理的证明是要通过这对彼此矛盾的结果来论证以下五个条件不可能同时成立:

  1. 时空是测地完备的。
  2. 强能量条件成立。
  3. 一般性条件成立。
  4. 时空满足时序条件。
  5. 时空中存在一个非时序点集 S, 使得 E+(S) 与 E(S) 紧致。

限于篇幅, 我们只能简单叙述一下论证思路。 在上述五个条件中, 条件 1—3 是 第三节 所介绍的证明奇点定理的第一步中所用到的条件, 由此推知的是每条非类空测地线上都存在共轭对。 条件 1 和条件 4 所推知的——如上文所述——是时空满足强因果条件。 而由强因果条件与条件 5 则可以证明这样一个结果: 时空中存在一个全局双曲区域 M, 其中包含一条未来不可延拓类时曲线 γ 及一条过去不可延拓类时曲线 λ。 利用这一结果就可以证明时空中存在一条没有共轭对的非类空测地线。 具体的做法是: 在 λ 上取一个沿过去方向趋于无穷的点集 an, 同时在 γ 上取一个沿未来方向趋于无穷的点集 bn (选取时使得 b1 在 a1 的类时未来, 从而保证所有 bn 都在 an 的类时未来)。 由于 M 是全局双曲的, 因此——由 上节 末尾的结果可知——在每一对 an 和 bn 之间都存在一条 (长度最大的) 非类空测地线 μn, 其上在 an 和 bn 之间不存在 an 的共轭点。 可以证明, 存在于 M 之中的这一由非类空测地线 μn 组成的无穷集合必定有一个聚点 (limit point) μ, 它是一条非类空测地线, 并且其上不存在任何共轭对。 这样, 我们就得到了与第一步 (也就是条件 1—3) 所得的 “每条非类空测地线上都存在共轭对” 相矛盾的结论, 从而证明了上述五个条件不可能同时成立。

既然上述五个条件不可能同时成立, 那么我们就可以选其中四个条件为前提 (即假定这四个条件成立), 来推翻剩下的那个条件[注二]。 Hawking 与 Penrose 所做的是以条件 2—5 为前提, 来推翻条件 1, 即证明时空不是测地完备的。 按照我们在 第一节 所作的定义, 这表明时空中存在奇点。 这就是 Hawking 与 Penrose 的奇点定理。

在被奇点定理采用为前提的条件 2—5 中, 条件 2—4 都有明确的物理意义, 唯独条件 5——即时空中存在一个非时序点集 S, 使得 E+(S) 与 E(S) 紧致——显得很抽象。 幸运的是, 我们可以用一些物理意义更为明确的条件来取代这一抽象的数学条件。 在 上节 中我们介绍过, 如果强能量条件成立, 则对于任何封闭陷获面 S, E+(S) 与 E(S) 紧致。 由于强能量条件已经包含在条件 2—4 中了 (即条件 2), 因此我们可以用 “时空中存在封闭陷获面” 来替代条件 5, 这个条件在物理上可以由足够致密的星体来满足。 除此之外, Hawking 与 Penrose 还提出了另外两个条件来替代条件 5: 一个是 “时空中存在紧致无边的非时序点集”[注三], 这个条件在物理上可以由空间上有限无边的宇宙来满足; 另一个是 “时空中存在一个点, 通过该点的所有未来 (或过去) 方向的类光测地线束的膨胀标量 θ 最终将变为负值”, 这个条件在物理上可以由局部膨胀或收缩的宇宙来满足。 这三个替代条件都被认为是原则上可以检验, 并且很可能在我们的宇宙中已经得到满足的条件。

至此, 我们可以对 Hawking 与 Penrose 所证明的奇点定理做一个完整表述:

Hawking-Penrose 奇点定理: 一个时空若满足以下条件, 就必定是非类空测地不完备的 (即存在奇点):

  1. 强能量条件成立。
  2. 一般性条件成立。
  3. 满足时序条件。
  4. 以下三个条件之一成立:
    a. 存在封闭陷获面。
    b. 存在紧致无边非时序点集。
    c. 存在一个点, 通过该点的所有未来 (或过去) 方向的类光测地线束的膨胀标量 θ 最终将变为负值。

这个定理是 Hawking 与 Penrose 于 1970 年提出并证明的。 如我们在上文中所说, 这并不是最早的奇点定理。 Penrose 于 1965 年, Geroch 于 1966 年, Hawking 于 1967 年等都提出过奇点定理。 比较之下, Hawking-Penrose 奇点定理所要求的条件在物理上最容易实现, 并且涵盖面也广[注四], 因此人们如今提到奇点定理时通常指的就是这一定理。 Hawking-Penrose 奇点定理不依赖于对称性, 它对于确立广义相对论中奇点的存在性及普遍性是非常重要的。 同时它也是对我们在 能量条件简介引言 中所介绍的有关奇点的不同见解的有力裁决。 但是, Hawking-Penrose 奇点定理也有一个显而易见的缺点, 那就是它既无法告诉我们究竟哪一条非类空测地线是不完备的, 也无法提供有关奇点具体性质的信息。 这一缺点为后人加强奇点定理的结论部分留下了空间。 不过要想加强奇点定理的结论部分, 往往不可避免地要对前提部分也予以加强, 从而有损定理的普遍性。

六. 讨论

我们对奇点定理的介绍就要结束了。 有些读者可能会提出这样一个问题: 那就是我们证明 Hawking-Penrose 奇点定理所用的是排除法, 即通过证明测地完备性与奇点定理的四个前提不相容, 来排除测地完备性, 从而确立奇点的存在。 但是, 当一组命题不相容时, 究竟哪个 (或哪几个) 命题应该被排除, 在逻辑上是有很大随意性的[注五]。 因此从逻辑上讲, 由上面介绍的不相容性, 原则上可以通过排除不同的命题, 而得到不同的定理 (读者不妨自己写出几个看看)。 为什么我们偏偏要选择将时空的测地完备性作为被排除的命题, 从而得到 Hawking-Penrose 奇点定理呢?

这是一个非常好的问题。 我们知道, 一个物理上有价值的定理必须能对物理世界作出某种程度的描述。 因此, 在所有逻辑上成立, 并且能进行物理诠释的数学命题中, 只有那些其前提在物理上能够实现的定理才能成为有效的物理定理。 如果已经知道物理世界不满足某一性质, 那么把该性质作为前提的数学命题就不能成为有效的物理定理。 从这个意义上讲, 我们可以通过考察 Hawking-Penrose 奇点定理所涉及的四个前提在物理世界中实现的可能性, 来分析这一定理的合理性。

在 Hawking-Penrose 奇点定理的四个前提中, 前提 4 属于初始及边界条件, 并且实现的可能性极大。 事实上, 早在 Hawking-Penrose 奇点定理提出的年代, 天文观测及理论研究就已经在很大程度上显示出这个前提的三个子条件很可能部分甚至全部得到满足。 前提 1 和前提 2 与人们在宏观世界的观测经验相符, 因为迄今所知的所有宏观物质的能量动量张量都满足强能量条件, 而现实宇宙中物质 (包括宇宙微波背景辐射) 及引力波的分布无疑遍及全空间, 从而满足一般性条件, 因此在以大尺度宏观世界为主要描述对象的广义相对论中, 这两个前提被认为是适用的。 前提 3 所要求的不存在闭合类时曲线也具有不错的经验基础, 因为时间的单向性是宏观世界中最基本的经验事实之一。 因此所有这四个前提都有可信赖之处, 这在很大程度上保证了 Hawking-Penrose 奇点定理的价值。

但如果一定要在这四个前提中找出一个最有可能在现实物理世界中不成立的, 那么——如我们将在 后文 中看到的——能量条件 (即前提 1) 将是首选, 因为理论与观测都表明它事实上就不成立。 不过, 能量条件的破坏主要来自量子效应, 而我们所讨论的奇点定理是经典广义相对论中的命题, 两者在所涉范围上是有出入的。 那么, 假如我们不考虑量子效应, 或者说只考虑经典广义相对论, 又有哪一个前提最值得怀疑呢? 一般认为是时序条件 (即前提 3)。 这一条件要求不存在闭合类时曲线。 它之所以值得怀疑, 主要有两个原因: 一是因为广义相对论的某些特殊解事实上允许闭合类时曲线存在, 虽然迄今为止那些解还没有一个得到过任何观测上的支持; 二是由于闭合类时曲线实际上是一种抽象的时间机器, 这是一种在很多方面都很引人入胜的东西[注六]。 因此有些物理学家把广义相对论没有在原理层面上禁止闭合类时曲线, 视为是一个很值得探索的理论问题。

如果时序条件有可能被破坏, 那就产生了一个很自然的问题: 即我们是否可以通过作一个与 Hawking-Penrose 奇点定理不同的选择, 把测地完备性作为定理的前提之一, 而把时序条件的破坏 (从而允许时空中存在闭合类时曲线) 作为定理的结论呢[注七]? 对这种可能性物理学家们也进行过一些研究。 1977 年, 美国图兰大学 (Tulane University) 的物理学家 Frank Tipler (1947-) 研究了渐近平直时空中有限大小的闭合类时曲线, 结果发现在强能量条件与一般性条件等成立的情况下, 这样的曲线在测地完备时空中是不可能出现的[注八]。 其他一些物理学家后来也做了这方面的研究和推广, 包括使用更弱的条件, 以及推广时序破坏的定义等, 得到的结果都类似。 这些结果成为后来 Hawking 提出所谓时序保护假设 (chronology protection conjecture) 的基础之一。 这些结果表明, 时序条件的破坏在很大程度上本身就意味着测地完备性的破坏, 因而放弃时序条件并不能挽回测地完备性[注九]。 这在一定程度上进一步加强了奇点的不可避免性[注十], 也进一步支持了 Hawking-Penrose 奇点定理的合理性——当然, 所有这一切都限于经典广义相对论的范围。

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注释

  1. E+(S) 和 E(S) 分别被称为 S 的未来边界 (future horismos) 和过去边界 (past horismos)。
  2. 严格讲, 我们还必须证明被选为前提的那四个条件彼此相容 (因为五个条件不相容并不保证其中四个一定相容)。 对于在奇点定理中假定为前提的条件 2—5 来说, 这一证明可以通过给出一个满足条件 2—5 的广义相对论的解来完成。
  3. 这种非时序点集 S 的边界定义为这样一些点 p 的集合: p 的任何开邻域都包含一个位于 p 的类时过去的点, 一个位于 p 的类时未来的点, 以及一条连接这两个点但与 S 不相交的类时曲线。 可以证明, 这种非时序点集必定是三维子流形。
  4. 在本系列的讨论中我们没有对时空流形的微分结构进行细分。 如果细分的话, Hawking-Penrose 奇点定理要求度规张量起码是二阶连续可微 (即 C2) 的。 这一条件对于某些严格解——比如物质密度存在突变的解——来说并不成立。 不过对于具有现实物理意义的情形来说, 度规张量即物质密度通常都被认为是足够可微的。
  5. 举一个最简单的例子: 由 ¬(A∧B) (即 A 和 B 不能同时成立) 既可以推知 A→¬B (即由 A 成立推出 B 不成立), 也可以推知 B→¬A (即由 B 成立推出 A 不成立)。
  6. 关于闭合类时曲线及时间机器, 感兴趣的读者可参阅拙作 时间旅行: 科学还是幻想?
  7. 当然, 这样的定理将不再是奇点定理, 而应该被称为时序破坏定理, 或时间机器存在定理。
  8. 在这一研究中, Tipler 还假定了物质的能量密度在过去类时曲线上处处大于一个非零正值, 所得到的结果则是时空必定是类光测地不完备的 (从而也是测地不完备的)
  9. 有读者可能会问: 既然无论时序条件是否被破坏, 奇点都会出现, 那为什么不干脆把时序条件从奇点定理的前提中去掉呢? 这是因为在论证时序条件的破坏会导致测地完备性的破坏时, 往往要引进一些额外的条件 (比如 [注八] 中提到的 Tipler 所用的额外条件)。 这些看似细微的额外条件的使用, 使得我们无法将时序条件从奇点定理的前提中简单地去除。
  10. 奇点的不可避免性也受到诸如 Schwarzschild 解等物理上相当合理的解的直接支持。 不过需要指出的是, 从纯理论的角度讲, 奇点定理所要求的许多条件都是可以被突破的, 人们也的确因此而构造出了没有奇点的解。 只不过那些解都是非常特殊的, 对于具有现实意义的解, 广义相对论中奇点的出现几乎是不可避免的。

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