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虫洞物理学简介 (四)

- 卢昌海 -

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五. 虫洞的 “工程学”

上节 中, 我们将可穿越虫洞的物质分布会破坏零能量条件这一结论具体化了, 那就是构筑可穿越虫洞需要用到所谓的奇异物质 (或负能量物质)。 我们并且以 Casimir 效应为例, 对奇异物质的产生方式作了介绍。 我们看到, 奇异物质由于是靠量子效应产生的, 其数量往往是非常微小的。 Casimir 效应从理论上被提出到实验上被验证, 相隔了差不多半个世纪的时间, 主要原因也正在于此。 这种数量上的微小对于构筑可穿越虫洞来说当然是坏消息, 但究竟坏到什么程度呢? 还得看 “供求关系” 的另一边——即构筑可穿越虫洞究竟需要多少奇异物质。 如果需要量很少, 情况也许就不算太坏, 反之, 则不容乐观。

那么, 构筑可穿越虫洞究竟需要多少奇异物质呢? 在本节中, 我们将转入虫洞研究的所谓 “工程学” 方面, 来对这一问题作些探讨。

很明显, 构筑不同结构的虫洞所需要的奇异物质的数量可能是不同的, 因此这一问题的答案取决于虫洞的具体结构。 不过, 涉及虫洞具体结构的计算通常是不太容易的, 而且那种不太容易的计算往往还没什么特别的重要性 (因为往往没什么理由认为某种结构比另一种结构更值得计算), 从而给人一种吃力不讨好的感觉。 怎么办呢? 物理学家们想到了一个聪明的点子, 那就是近似——既然选不出最值得计算的虫洞结构, 不如只做近似计算, 起码还能图个简单。 在广义相对论研究中, 有一种很常用的近似叫做 “薄层” (thin shell) 近似, 它的要点是将物质分布近似为薄层分布, 虫洞物理学上的许多计算就采用了这一近似。 在数学上, 所谓的薄层是被假定为无限薄的 (即厚度趋于零), 相应的物质分布呈现 δ 函数的形式。

薄层近似不仅具有数学上的简单性, 从 “工程学” 的角度讲也不无优点。 因为尽管如我们在 上节 末尾所说, 奇异物质能否被用来构筑可穿越虫洞是一个 “极不容乐观的未知数”, 但假如它能够, 那么从 “工程学” 的角度讲, 很自然的做法就是将这种数量非常微小的奇异物质的用量尽可能减少。 而减少用量的途径之一就是将它的使用范围尽可能局限起来, 比如局限在薄层上。 除此之外, 薄层近似还有一个很大的优点, 那就是它在数学上的简单性使人们可以在其它方面适当地引进复杂性, 比如引进非球对称性。 我们在 后文 中将会看到, 这对于更全面地分析虫洞的可行性是有很大益处的。

利用薄层近似, 物理学家们对构筑可穿越虫洞所需要的奇异物质的数量进行了计算。 计算的结果虽仍与虫洞的具体结构——即薄层形状——有关, 但托薄层近似的福, 可以用一个系统的公式来概括了。 在这里, 我们将再次采取 “中庸之道”, 用量纲分析法来推出那个系统的公式。 我们用 M 表示构筑可穿越虫洞所需要的奇异物质的数量。 很明显, M 与虫洞喉咙的大小——也称为虫洞的半径——r0 有关。 除此之外, 作为广义相对论的结果, 它当然也跟万有引力常数 G 及光速 c 有关, 因此 M=f(r0, G, c)。 与 上节 中推导 Casimir 效应的做法完全类似, 我们可以通过对量纲进行比较, 得到唯一的函数形式 (感兴趣的读者不妨自己推导一下), 即:

M ∝ —(c2/G) r0

(5.5.1)

这里, 我们将负号单独列出, 以表示奇异物质的能量为负这一重要特征。 考虑到——如前所述——计算结果与薄层形状有关, 因此完整的结果还需包含一个与薄层形状有关的因子 Fs, 即:

M = —(c2/G) Fs r0

(5.5.2)

其中比例系数已被吸收进了 Fs 之中, 因此比例符号 “∝” 变成了等号 “=”。 Fs 作为与可穿越虫洞的具体结构有关的因子, 承载了计算中的细节, 但在数量级意义上对结果没有显著影响。 5.5.2 式对于更一般的虫洞也基本成立, 只不过 Fs 的计算通常要复杂得多。

将万有引力常数 G 及光速 c 的数值代入, 不难得到与上述公式相对应的数量级意义上的数值结果 (感兴趣的读者可以核验一下):

M = —M r0

(5.5.3)

其中 M 为太阳的质量 (数量级为 1030 千克), 虫洞的半径 r0 以千米 (km) 为单位。

把这一结果与 上节 所得到的有关奇异物质质量密度的数值结果 5.4.9 相比较, 我们看到, 构筑可穿越虫洞在 “工程学” 上绝对是一个空前巨大的挑战。 因为太阳作为一个天体, 它的质量乃是所谓的 “天文数字”, 而奇异物质来自量子效应, 其数量是典型的 “微乎其微”。 因此, 构筑可穿越虫洞乃是要将 “微乎其微” 的量子效应, 累积成 “天文数字” 般的巨大数量, 其难度是可想而知的 (更不用说这种量子效应能否被累积还是一个未知数)。

更糟糕的是, 难度上的挑战并未到此为止。 因为依靠相当于一个太阳质量的奇异物质所能构筑的, 乃是一个半径约一千米的虫洞。 而接下来的问题是: 那样的虫洞真的可穿越吗?

星际飞船穿越虫洞的特技处理
星际飞船穿越虫洞的特技处理

初看起来, 一千米算是不小的半径, 假如虫洞类似于普通隧道的话, 那样的半径应该足以让大小可观的星际飞船穿越了。 看过科幻影片的人想必都对星际飞船穿越虫洞的特技处理留有深刻印象。 从影片中看, 星际飞船的周围充斥着星光组成的绚丽幻像, 它所穿越的则似乎只是一条狭小的通道。 但实际上, 星际飞船穿越虫洞的情形远比科幻影片所设想的来得复杂。 为了让飞船及乘员安全穿越虫洞, 几何半径的大小并不是最主要的问题。 那么什么才是最主要的问题呢? 是 “活着”——也就是 第三节 列出的可穿越虫洞所需满足的条件之第 2 条: 穿越过程中遇到的应力是人体能够承受的。

下面我们就以球对称虫洞为例, 来谈谈这一条件。 具体地说, 穿越虫洞时, 星际飞船及乘员将会遇到两种不同类型的应力: 一种来自虫洞物质本身的张力, 另一种则是虫洞引力场所产生的潮汐力 (tidal force)。

我们先看前者。 在 第三节 中, 我们曾经得到过一个当时称之为 “对于探讨虫洞是否真的 ‘可穿越’ 有着重要影响” 的公式, 即 5.3.5 式, 它给出的是球对称可穿越虫洞喉咙处的物质张力。 考虑到虫洞解的连续性, 该公式也近似地给出了喉咙附近一个小区域内的物质张力。 由于球对称可穿越虫洞的喉咙附近是零能量条件遭到破坏的区域 (参阅 第三节), 从而也就是奇异物质的分布区域 (参阅 第四节), 因此该公式给出的张力也被称为是奇异物质的张力[注一]

我们为什么将这个张力称为 “对于探讨虫洞是否真的 ‘可穿越’ 有着重要影响” 呢? 关键在于它的数值。 这数值从 5.3.5 式中是难以直接看出的, 因为物理常数被略去了。 现在我们就将之恢复起来。 恢复的方法大家应该已经很熟悉了, 就是量纲分析法。 恢复的结果是 (请读者自行验证):

τ = c4/8πGr02

(5.5.4)

这里我们略去了等式左端表示喉咙位置的 r0, 以及等式右端来自约定, 从而并无本质意义的负号。 将物理常数的数值代入便可得到数值结果为:

τ = 5×1010/r02

(5.5.5)

其中张力 τ 以牛顿每平方米 (N/m2), 或等价地焦耳每三次方米 (J/m3), 为单位, 虫洞半径 r0 以光年 (light year) 为单位。

这里需要特别注意的是, 虫洞半径所采用的不是像 “米” 或 “千米” 那样的日常单位, 而是光年那样的巨大单位。 因此, 上式表明一个半径为一光年的球对称虫洞喉咙附近的张力大小约为 5×1010 N/m2。 那么 5×1010 N/m2 又是一个什么概念呢? 它相当于在每平方米的面积上压上 500 万吨的重物, 或大致相当于物质在原子线度上所能承受的张力[注二]。 这意味着半径为一光年的球对称虫洞喉咙附近的张力如果作用在物质上, 将足以破坏原子结构[注三]。 由于物质的宏观结构——以所能承受的张力而论——要比原子结构脆弱得多, 因此, 无论星际飞船还是乘员, 在那样的张力作用下都将是 “不堪一击” 的。 而倘若虫洞的半径不是一光年, 而是更小, 则喉咙附近的张力将会更大 (因为张力的大小与虫洞半径的平方成反比)。 倘若虫洞的半径只有一千米, 则张力将高达不可思议的 5×1036 N/m2, 相当于每平方米的面积上压上 5 亿亿亿亿吨的重物, 这无论从 “工程学” 的意义上, 还是从已知物质的性质上讲都是近乎荒谬的。

由此我们看到, 别说是半径一千米的球对称虫洞, 就连半径一光年的球对称虫洞喉咙附近的张力如果作用在物质上, 也并非星际飞船或人体所能承受的。 那我们还能依靠什么呢? 就只能靠 5.5.5 所给出的张力与虫洞半径的平方成反比这一特点, 通过半径比一光年更大的虫洞来进行星际旅行了。 但这在 “工程学” 上同样是近乎荒谬的。 因为 5.5.3 式表明构筑可穿越虫洞所需的奇异物质的数量正比于虫洞半径, 而且构筑半径为一千米的虫洞所需的奇异物质的数量就相当于一个太阳的质量。 由于一光年约为十万亿千米, 因此构筑一个半径为一光年的虫洞所需的奇异物质的数量约相当于太阳质量的十万亿倍! 构筑能让星际飞船及乘员平安穿越的真正意义上的球对称可穿越虫洞所需的奇异物质的数量甚至比这更多。 如此数量的物质 (比整个银河系的质量还大得多) 别说是奇异物质, 就算是普通物质也实在是惊世骇俗的。

在 Thorne 应 Sagan 的电话咨询而研究虫洞物理学的时候, 他曾经用一个特殊的视角来判断虫洞作为星际旅行通道的可行性, 那就是: 什么样的事情是物理定律允许无限发达的文明 (infinitely advanced civilization) 去做的? 之所以采用这样的视角, 是因为作为理论物理学家, 他所关注的仅仅是物理定律是否允许可穿越虫洞存在, 而并不在意具体的实施难度——他把后者扔给了 “无限发达的文明” 去操心, 因为 “无限发达的文明” 按定义就是能做到物理定律所许可的一切事情的。 他并且把由这一特殊视角所提出的问题统称为 “Sagan 式问题” (Sagan-type question)[注四]。 不过, 即便采用 “Sagan 式问题” 的特殊视角, 上面提到的构筑球对称可穿越虫洞所需要的奇异物质的数量仍是一个灰色地带, 甚至可以说是对 “Sagan 式问题” 本身的一种诘难。 因为单纯从物理定律上讲, 那样的可穿越虫洞或许是可以存在的, 但实际上却几乎可以断定, 操控数量如此之巨的奇异物质对于生活在可观测宇宙中的任何文明——哪怕是 “无限发达的文明”——都是不太可能的。 因此, 上述可穿越虫洞可以说是介于理论上不可能与实际上不可能之间。 而 Sagan 所设想的 “纵横交错的虫洞” 用上述可穿越虫洞来衡量, 则是天方夜谭。

接下来再看看星际飞船及乘员将会遇到另一种应力: 虫洞引力场所产生的潮汐力。 潮汐力的根源是引力场的不均匀性。 由于这种不均匀性, 物体上两个相距 Δx 的点所感受到的引力加速度会有所不同。 我们知道, 引力加速度本身的效应是可以通过等效原理消去的, 但这种不同点所感受到的引力加速度 a 的不同, 即 Δa, 是无法消去的, 从而将体现为一种额外的作用, 那就是潮汐力。 潮汐力是一种常见的力, 因为它在地球上就有一种明显的表现形式: 潮汐 (其名称也由此而来)。 潮汐力的计算是广义相对论中的标准内容, 其加速度的表达式为:

(Δa)μ = —RμανβVα(Δx)νVβ

(5.5.6)

其中 R 是引力场的曲率张量, V 是物体的四维速度。 对于球对称虫洞, 上述加速度可以分解为径向部分 (Δa) 与横向部分 (Δa), 结果分别为 (感兴趣的读者可以用度规 5.3.1 式具体算一下):

(Δa) = {(1—b/r)[—φ''—(φ')2] + (b'r—b)φ'/2r2} (Δx)

(5.5.7)

(Δa) = (γ2/r2)[(r—b)φ' + v2(b'—b/r)/2] (Δx)

(5.5.8)

其中 v 是物体的三维速度值, γ=(1—v2)—1/2 是 Lorentz 因子 (Lorentz factor)。

有了这些结果, 原则上就可以计算出星际飞船及乘员穿越球对称虫洞时将会遇到的潮汐力了。 但是与计算奇异物质数量的情形相似, 结果显然也是跟球对称虫洞的具体结构有关的 (此外还可能跟星际飞船的运动方式有关——因为跟飞船运动有关的 v 和 γ 也出现在了公式中)。 我们采用的点子也类似, 那就是近似。 不过, 原先用过的薄层近似在这里是不恰当的, 因为它所具有的 δ 函数形式的物质分布反映到潮汐力上会产生奇异性。 那么, 什么样的近似适合潮汐力的计算呢? 最简单的一种是所谓的近 Schwarzschild (proximal Schwarzschild ) 近似。 这是对 Schwarzschild 度规的一个貌似细微的变更——即变更为:

ds2 = (1—2m/r+ε/r2)dt2 — (1—2m/r)—1dr2 — r22

(5.5.9)

其中 ε>0 是一个很小的参数[注五]。 很明显, 除了 r=2M 附近的一个小区域外, 近 Schwarzschild 度规处处都很接近 Schwarzschild 度规。 不过, ε 从数值上讲虽然细微 (即所谓 “貌似细微”), 对时空的整体性质却有着非同小可的影响, 因为引进了 ε 之后, r=2M 处的 gtt 就不再为零, 从而使得原本出现在 r=2M 处的视界不复存在了。 这就克服了将 Einstein-Rosen 桥视为星际旅行通道所遭遇的本质上是来自视界的困难。 我们在 第二节 中曾经说过, Einstein-Rosen 桥所具有的连接两个渐近平直时空的特性, 起码在表观上与虫洞有着异曲同工之处。 来自视界的困难一旦被克服, 这种 “异曲同工” 性就可以由表观转变为实质, Einstein-Rosen 桥也就荣升为虫洞了。 这种虫洞被称为近 Schwarzschild 虫洞, 它的喉咙位于 r=2M 处[注六]

由于近 Schwarzschild 虫洞的度规在远离喉咙处与 Schwarzschild 度规十分接近, 因此潮汐力也就基本上等于 Schwarzschild 度规中的潮汐力, 其加速度的表达式为 (这也是广义相对论中的标准结果, 感兴趣的读者可通过 5.5.75.5.8 进行验证):

(Δa) = (2GM/r3)(Δx)

(5.5.10)

(Δa) = —(GM/r3)(Δx)

(5.5.11)

其中横向加速度 (Δa) 的表达式带有一个负号, 表示物体在横向上会被压缩, 而径向加速度 (Δa) 的表达式不带负号, 表示物体在径向上会被拉伸。 我们前面提到过, 半径为一千米的虫洞喉咙附近的张力会达到不可思议的数值, 从而无论从 “工程学” 的意义上, 还是从已知物质的性质上讲都是近乎荒谬的。 现在我们可以以近 Schwarzschild 虫洞为例, 从潮汐力的角度来检视一下半径为一千米的虫洞。 因为潮汐力的作用, 当星际飞船接近虫洞时, 飞船上的乘员会渐渐感觉到自己的身体在沿虫洞的方向 (即径向) 上被拉伸, 而在与之垂直的方向 (即横向) 上被挤压。 这种感觉在一开始只是让人稍有些不适而已。 但由于潮汐力的大小反比于距离的三次方, 因此随着飞船的继续前行, 潮汐力会迅速增加, 距离每缩小到十分之一, 潮汐力就会增加至 1,000 倍。 当飞船距离虫洞中心还有 1,000 千米的时侯, 潮汐力的大小就基本达到了人体所能承受的极限。 如果这时候飞船还不立刻折回的话, 所有乘员都将在致命的潮汐力作用下丧命。 再往前飞行一段距离, 则飞船本身也将在潮汐力的作用下解体。 最终从虫洞另一端飞出的将不是意气风发的星际旅行家, 而是飞船和人体的残骸[注七]

这就是试图穿越半径一千米的近 Schwarzschild 虫洞的星际旅行家的下场。 因此, 从潮汐力的角度看, 半径一千米的虫洞——起码就近 Schwarzschild 虫洞这一例子而言——是无法作为星际旅行的通道的。 不仅如此, 包含潮汐效应在内的虫洞的巨大引力场会在周围一个很大的范围内产生毁灭性的破坏力, 科幻小说或电影中的那些出入口位于行星表面的虫洞从这个意义上讲, 都是极不可能的。 在 Sagan 的故事中, 曾有人反对将外星智慧生物传来的蓝图付诸实施, 因为他们担心那可能是一个能够毁灭地球的装置, 他们的担心是很有道理的。 那么, 什么样的虫洞产生的潮汐力才是在整个穿越过程中都是人体能够承受的呢? 对近 Schwarzschild 虫洞来说, 大约要半径在几万千米以上才行 (读者可以自行估算一下)。 这与来自张力的条件 (半径一光年以上) 相比虽然宽松得多, 依然是非常大的尺度 (相应地, 所需要的奇异物质的数量则相当于太阳质量的几万倍以上)。

以上就是对虫洞的所谓 “工程学” 讨论, 就讨论中所涉及的例子而言, 基本结论是: 可穿越虫洞的半径必须很大, 才能保障穿越过程中遇到的应力是人体能够承受的。 相应的, 所需奇异物质的数量也必须很大——大到几乎没有实现的可能。 不过, 这一结论并非无懈可击, 因为讨论中涉及到的例子毕竟是有限的。 那么, 在更一般的情形下是否有可能绕过这一结论呢? 我们在 后文 中还会做进一步讨论。

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注释

  1. 这里我们虽然强调了 “喉咙附近”, 但球对称可穿越虫洞的喉咙所在处本身零能量条件也很可能是遭到破坏的, 只不过是不能完全排除刚好处于破坏边缘这一特殊情形而已。 但这种理论上的边缘情形在实际上出现的概率是可以忽略的。
  2. 物质在原子线度上所能承受的张力可以用很简单的方法来估算, 那就是物质在原子线度上的特征能量除以原子的体积, 前者约为 10—19J (即电子伏特量级), 后者约为 10—30m3 (即线度约为 0.1 纳米), 相应的张力约为 1011 J/m3, 与 5×1010 J/m3 相当接近。
  3. 细心的读者也许注意到了, 这里我们用了 “如果” 一词。 这是因为虽然一般说来, 当物体穿越一种具有内部张力的结构时, 自身也会受到与那种张力同一量级的张力作用, 但考虑到我们对奇异物质的性质还所知不多, 不能完全排除它与普通物质的相互作用特别弱, 从而使穿越它的普通物体所受张力远小于奇异物质内部张力之类的可能性, 因此在措辞上特意留有余地。
  4. 不过, 虽然 Thorne 将此类问题冠上了 Sagan 的大名, Sagan 本人却似乎从未直接用过 “无限发达的文明” 这一概念。 他倒是沿袭拓展过苏联天文学家 Nikolai Kardashev (1935-) 提出的将星际文明分为 I 类、 II 类、 III 类的所谓 “Kardashev 标度” (Kardashev scale)。
  5. ε “很小” 的具体含义是 ε 远小于 M2 (感兴趣的读者可以试着恢复这一关系式中的物理常数)。
  6. 感兴趣的读者可以计算一下这一度规所对应的能量动量张量, 证实零能量条件会遭到破坏, 且喉咙处的张力满足 5.3.5 式。 关于近 Schwarzschild 虫洞, 一个有趣的问题是: 由于它的度规与 Schwarzschild 度规很相似, 而 Schwarzschild 度规所描述的天体被认为是普遍存在的, 这是否意味着近 Schwarzschild 虫洞可以通过对普通天体做适当的 “手术” 而比较容易地构筑出来? 可惜, 这个问题尚无答案, 因为近 Schwarzschild 虫洞的度规与 Schwarzschild 度规虽然相似, 时空的整体性质却很不相同。 在这种情形下, 由一种时空变为另一种时空别说难易, 就连是否有可能都还是一个未知数 (关于后面这一点, 后文 会有进一步的讨论)。 不过, 近 Schwarzschild 虫洞作为一个容易计算的例子, 无疑是很有用的。
  7. 如果把虫洞喉咙附近奇异物质的张力可能起到的破坏作用也考虑进去的话, 那么飞船及乘员的残骸还可能被进一步撕裂, 由虫洞另一端飞出的可能将是一串无法分辨来源的亚原子粒子!

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