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关于场的自由度及表观自由度

- 大学物理札记 -

- 卢昌海 -

本文收录了两篇读书札记, 讨论场的自由度、 表观自由度及其应用。

一. 有关场论中自由度数的注释

  1. 向量场 (S = 1)

    无质量向量场 Aμ 的 Lagrangian 为 L = -¼F2,它只有两个自由度。 这可以从经典理论和量子理论两个角度加以论证:

    • 经典理论的论证是: 由于 Πμ = Fμ0, 因此 Π0 ≡ 0。 这表明 Π0 (从而相应的 A0) 并不代表物理的自由度。 再者, 由于 A0 对应的运动方程 ·Π = 0 不含对时间的导数, 因此不描述体系的演化过程。 从 Hamiltonian 体系的角度讲它只是一个约束条件, 这说明三个 Πi (从而相应的三个 Ai) 并不独立。 这样最终得出无质量向量场只有两个自由度的结论。 注意在这一论证中我们只使用运动方程而未涉及规范变换及规范条件。 不用运动方程而用规范条件来分析当然也是可以的, 但运用起来较为复杂。 比如 Lorentz 规范 ∂μAμ = 0 表观上只消去一个自由度, 但由于它是一个所谓的 “第二类约束”, 分析表明一定存在一个相应的 “第一类约束”, 因此实际上有两个约束, 从而同样得出体系只有两个自由度的结论。
    • 量子理论的论证稍复杂些: 以 Lorentz 规范下的量子化为例, 我们希望引入协变的对易关系 [Aμ, Πν] = iημνδ3(x - x′)。 但 Π0 ≡ 0 破坏了这一关系。 为此常用的办法是修改 L, 加入所谓的 gauge-fixing 项, 使之自动体现 Lorentz 规范条件。 不难发现, L = -¼F2 - ½(∂μAμ)2 给出运动方程 □Aμ = 0 正好是 Maxwell 方程组 ∂μFμν = 0 和 Lorentz 条件 ∂μAμ = 0 综合的结果, 因此这个 L 自动体现了 Lorentz 规范条件。 在这个新的 L 下 Π0 = -∂μAμ。 到目前为止我们只是在经典层次上用了一次 Lorentz 规范条件。 对这一新的 L, 用上面提到的协变对易关系对体系进行量子化时 □Aμ = 0 被视为算符方程, 但 Lorentz 条件 ∂μAμ = 0 显然不能做为算符方程, 否则 Π0 仍将为零。 目前流行的方法是认为物理态 |phys> 必须满足 <phys|∂μAμ|phys> = 0, 也就是说 Lorentz 条件是在对物理态求平均的意义上成立的, 不是对算符而是对物理态的约束。 由此出发可以证明向量场的纵向分量和类时分量对任何物理过程的贡献互相抵消, 从而只有两个自由度起作用。 在这一论证中我们两次使用了 Lorentz 条件: 一次是在经典层次上, 得出非零的 Π0 表达式和新的运动方程。 另一次是在量子层次上, 以 <phys|∂μAμ|phys> = 0 的形式使用, 使作为算符的 Π0 不恒为零 (从而可以使用协变对易关系), 最终得到和经典理论一致的体系只有两个自由度的结论。

    有质量向量场 Aμ 的 Lagrangian 为 L = -¼F2 + ½m2A2, 它有三个自由度。 这里以经典角度为例来论证一下。 Π0 ≡ 0 与无质量的情形一样, 因而 Π0 (从而相应的 A0) 不代表物理的自由度。 与无质量情形不同的是 A0 对应的方程: ·Π = mA0 虽然仍是一个约束 (因不含对时间的导数), 但由于含有 A0 而不能看作是 Πi 之间的约束。 事实上它消去的只是 A0 (即重复了 A0 不代表物理自由度的结论)。 因此系统仍有三个自由度。 从 Lorentz 条件 ∂μAμ = 0 的角度看由于此时体系不具有规范不变性, 因此不存在作为规范条件的 ∂μAμ = 0。 不过它正好可以从场方程得到, 因此这一关系式本身仍存在, 它可以消去一个自由度 (注意这一论证与无质量情形只是形似, 因为这里使用的实质上是运动方程)。 但由于它不是象 Lorentz 规范那样的 “第二类约束”, 不存在对应的 “第一类约束”, 从而体系仍有三个自由度。

    简单的归纳: ∂μAμ = 0 在 m = 0 和 m ≠ 0 的理论中扮演的角色是不同的。 在 m = 0 时它 - 作为规范约束 - 消去两个自由度; 而在 m ≠ 0 时 - 作为运动方程的推论 - 只消去一个自由度。

  2. 旋量场 (S = 1/2)

    S = 1/2 的 Dirac 旋量场 Ψ 有四个复分量, 从而表观上有八个自由度。 但 Dirac 方程 (iγ·∂ - m)Ψ = 0 将 Ψ 中的上两个分量与下两个分量联系起来, 因此 Dirac 旋量场有四个自由度。

    无质量的情况也一样, 但在两种特殊情形下无质量 Dirac 旋量场只有两个自由度: 一种是粒子与反粒子等同的情形, 这时 Ψ 必须是 Majorana 旋量, 其分量均为实数, 从而自由度数减半。 另一种是如中微子那样, 满足 helicity 条件 γ5Ψ = Ψ, 这将消去两个自由度 (helicity 条件虽有四个复方程, 但可以证明它们实际上只消去两个自由度)。

    顺便说一下, 对于自由的无质量粒子, Majorana 条件与 helicity 条件给出同样的物理内容, 但在有相互作用时前者正反粒子相同, 轻子数为零, 后者如中微子轻子数不为零。

  3. 向量-旋量场 (S = 3/2)

    S = 3/2 的 vector-spinor (向量-旋量) 场 Ψμ (μ = 0, 1, 2, 3) 对每个 μ 均有四个复分量, 从而表观上有 32 个自由度[注一]。 该场的 Lagrangian 为:

    L = Ψαεαμνβγ5γμ(∂ν + imγν/2)Ψβ

    它对应的运动方程为:

    εαμνβγ5γμ(∂ν + imγν/2)Ψβ = 0

    其等价形式为:

    (iγ·∂ - m)Ψα - iγα∂·Ψ - i∂α(γ·Ψ) + γα(iγ·∂ + m)(γ·Ψ) = 0

    以 ∂α 作用于其上可得 m(γ·∂)(γ·Ψ) - m∂·Ψ = 0; 以 γα 作用于其上则可得 2i(γ·∂)(γ·Ψ) - 2i∂·Ψ + 3mγ·Ψ = 0。 两式联立并与场方程一起可以解得:

    (iγ·∂ - m)Ψμ = 0 (1)
    γμΨμ = 0 (2)
    μΨμ = 0 (3)

    可以证明 γμΨμ 在 Lorentz 变换下按 S=1/2 的 Dirac 旋量变换[注二], 也就是说 (2) 式消去的是 Ψμ 中 S=1/2 的分量。 (3) 式的作用类似于向量场情形下的 Lorentz 条件, 在 m = 0 时为规范条件 (因为这时运动方程在 Ψμ → Ψμ + ∂μχ 下不变, 从而 Ψμ 是规范场), 而在 m ≠ 0 时则为运动方程的推论而非规范约束。 现在来看这一理论的自由度数: Dirac 方程 (1) 将每个旋量的上两个分量与下两个分量联系起来, 从而使自由度减半为 16, (2) (3) 两式各有四个复方程, 但由于 Dirac 方程已经将独立分量数减半, 因此 (2) (3) 两式各有四个约束, 从而理论的自由度为八 - 正反粒子各有四个自旋分量。

    在无质量的情形下, S = 3/2 与 S = 1/2 的粒子明显不同。 后者的自由度数 (除上文提到的两个特例外) 和有质量时相同, 但 S = 3/2 的场在 m = 0 时具有规范不变性, 因而是规范场。 可以证明在这种情况下 (3) 式不能从运动方程中推出, 只能作为规范条件引进。 与向量场的情形相似, (3) 式作为规范条件时可以消去两倍于方程数目的自由度, 因此 m = 0 时 S = 3/2 的粒子只有四个自由度 - 正反粒子各有两个自旋分量。

    在超引力理论中 m = 0, S = 3/2 的粒子叫做 Gravitino (引力微子), 是引力子的超对称伙伴。 引力微子是正反粒子等同的, 从而每一个 Ψμ 均为 Majorana 旋量, 其分量均为实数, 自由度数也由四个减为两个。

注释

  1. Ψμ 来自 (1/2, 1/2) (1/2, 1/2) = (1, 1/2) (0, 1/2) 中的 (1, 1/2) - 更具体地说是 (1, 1/2) (1/2, 1) - 表示。
  2. Dirac 旋量的变换规律为: ΨD → ΨD = S(Λ)ΨD, 其中 S(Λ) = exp[-(i/4)ωμνΣμν] 是 Lorentz 群的 (1/2, 0) (0, 1/2) 表示。 由于 S(Λ)-1γμS(Λ) = γρΛρμ, 因此 γμΨμ → γμΛμνS(Λ)Ψν = S(Λ)S(Λ)-1γμS(Λ)ΛμνΨν = S(Λ)γρΛρμΛμνΨν = S(Λ)γμΨμ, 即满足 Dirac 旋量的变换规律。

二. 表观自由度在判断超对称代数 off-shell 闭合性中的应用

本文利用表观自由度的概念来分析文献中若干超对称代数的 off-shell 闭合性。 所谓表观自由度,指的是纯运动学上的自由度, 不涉及场方程 (因为我们考虑的只是超对称代数是否闭合, 而场是作为超对称代数表示的基出现的, 它如何运动与我们考虑的问题无关)。 我们知道在一个超对称理论中 Fermionic 和 Bosonic 物理自由度必须相等, 但仅此一点不足以判断超对称代数 off-shell 闭合与否。 为使超对称代数 off-shell 闭合其表示的基必须具有相同的 Fermionic 和 Bosonic 自由度 (也就是场的表观自由度)。 假如一个超对称理论中的 Fermionic 和 Bosonic 表观自由度不相等, 则必须引入辅助场才能使超对称代数 off-shell 闭合 (辅助场通常可以用 superfield 方法自动导出), 否则只能使用 on-shell 闭合的超对称代数, 后者在数学上不如 off-shell 闭合的代数容易处理。

一. 三维情形

  1. {3/2, 1} Multiplet:

    该理论包含场 Ψμ, Aμ 和 A (详见参考文献 [1]), 其中 Ψμ 为无质量实分量场 - Majorana vector-spinor, 而 A 为辅助场 (引入的原因下面会叙述)。 其 Fermionic 场 Ψμ 在三维时空中的分量数为 2 × 3 = 6, 但是局域超对称变换有一个二分量的生成元, 从而 Ψμ 的表观自由度数为 6 - 2 = 4; Bosonic 场 Aμ 有 3 个分量, 因该理论的 Lagrangian 含 AμAμ 项, 不存在规范变换, 因此表观自由度也为 3。 两相对比显然 Bosonic 表观自由度比 Fermionic 少 1。 带一个表观自由度的辅助场 A 的引入正好平衡了系统的 Fermionic 和 Bosonic 表观自由度, 从而超对称代数是 off-shell 闭合的。

    注意在这一理论中所有场的物理自由度均为零, 可见表观自由度和物理自由度是很不相同的。

  2. N = 1 超引力 - {2, 3/2} Multiplet:

    该理论包含场 eμa, Ψμ 和 S (详见 [1]), 其中 S 为辅助场。 其中 Fermionic 场 Ψμ 在三维时空中的表观自由度与上例相同, 为 4 个; Bosonic 场 eμa 共有 3 × 3 = 9 个分量, 但是局域 Poincaré 变换在三维时空中共有 3 + 3 = 6 个生成元, 从而 eμa 的表观自由度数为 9 - 6 = 3。 因此与上例相似, Bosonic 表观自由度比 Fermionic 少 1, 而带有一个表观自由度的标量场 S 的引入恰好使得超对称代数 off-shell 闭合。

    注意只有含 eμa 的理论中才有局域 Poincaré 变换。 另外该理论中各场的物理自由度也均为零。

  3. N = 2 超引力:

    该理论包含物理场 eμa, Ψμ, χμ 和 Aμ。 Fermionic 场 Ψμ 和 χμ 共有 2 × 6 = 12 个分量, 但 N = 2 的局域超对称变换有两个二分量生成元, 因此 Fermionic 场的表观自由度数为 12 - 4 = 8; Bosonic 场 eμa 与上例一样具有 3 个表观自由度, Aμ 与前例一样有 3 个表观自由度 (无规范变换)。 两者表观自由度数相差 2, 因此超对称代数不是 off-shell 闭合的。 通常的做法是引入两个各带一个表观自由度的辅助场 A 和 S 使之 off-shell 闭合。

    注意所有附加场都是没有物理自由度的 (否则理论的物理内容将因附加场的引入而改变), 在上述各例中物理场恰好也没有物理自由度, 但这只不过是三维时空的特例而已。

  4. N = 2 共形超引力 (Conformal Supergravity):

    该理论与上例一样包含物理场 eμa, Ψμ, χμ 和 Aμ (详见参考文献 [2][3]), 只是理论的对称性更高。 Fermionic 场 Ψμ 和 χμ 除了被 N = 2 的局域超对称变换消去 4 个分量外另有 4 个分量被共形超对称变换消去, 从而 Fermionic 表观自由度数为 4; 至于 eμa, 除局域 Poincaré 变换外还被局域标度变换 (scaling) 消去一个分量, 因而只有 2 个表观自由度; 而 Aμ 此时有规范变换, 因而也只有 2 个表观自由度。 两相对比,Fermionic 和 Bosonic 表观自由度数正好相等。 因此该理论的超对称代数是 off-shell 闭合的, 不必引入任何辅助场。

    注意规范条件 (与场方程一起) 可以消去两个物理自由度, 但只能消去一个表观自由度。

二. 四维情形

  1. N = 1 超引力 - {2, 3/2} Multiplet:

    该理论包含物理场 eμa 和 Ψμ (详见 [3])。 Fermionic 场 Ψμ 在四维时空中有 4 × 4 = 16 个分量, 但局域超对称变换的生成元有 4 个分量, 从而 Ψμ 的表观自由度数为 12; Bosonic 场 eμa 在四维时空中有 4 × 4 = 16 个分量, 但此时局域 Poincaré 变换有 10 个生成元, 因此 eμa 的表观自由度数只有 6。 为使超对称代数 off-shell 闭合需引入附加场 Bμ, S 和 P 共计 6 个 Bosonic 表观自由度。

  2. N = 2 超引力:

    该理论包含物理场 eμa, Ψμ, χμ 和 Aμ (详见参考文献 [3])。 与上例相仿, Ψμ 和 χμ 共有 24 个表观自由度; eμa 有 6 个表观自由度; Aμ (四维情形下有规范变换) 有 3 个表观自由度。 显然该理论的 Fermionic 表观自由度远多于 Bosonic, 超对称代数不是 off-shell 闭合的。 为使该理论的超对称代数 off-shell 闭合需引入带 15 个 Bosonic 表观自由度的辅助场, 其复杂性往往超过了 off-shell 闭合性所带来的好处, 因此对于这种需要引入大量辅助场的理论人们有时干脆只用 on-shell 闭合的理论。

参考文献

  1. M. Roček, P van Nieuwehuizen, Class. Quan. Grav. 3, 43, 1986.
  2. P van Nieuwehuizen, Phys. Rev. D32, 872, 1985.
  3. P van Nieuwehuizen, Phys. Rep. 68, 189, 1981.

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