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把酒胡侃磁单极

- 卢昌海 -

本文是我发表在繁星客栈上的一个贴子。 文末附录则是多年前的两篇旧作, 讨论经典电磁理论中的磁荷。

我当年发现自己在 附录二 的第三节 磁荷造成的不对称性 中提到的结果时的确十分吃惊, 因为物理现象 (而不是对物理现象的描述) 竟取决于我们对左右旋法则的约定, 这在我看来是不可接受的。 但后来我发现其实人们早就知道这一结果了, 只不过没有用这么直接的方法来显示而已。 别人所用的术语是: 磁单极是赝标粒子, 或磁单极的内禀宇称是负的。 当时我的感慨是在经典物理学上简直要插根针都难。 说起这个, 还让我想起中学后期读 Landau 《力学》 的情形, 当时 Landau 用作用量原理推导非相对论质点动力学的做法给我留下了极为深刻的印象, 于是我便把它推广到了相对论性, 当时觉得十分兴奋, 直到后来读到 Laudau 的《场论》 才发现他老人家早就这么做了[注一]

我当年对经典电动力学中引进磁单极的做法最不满意的是名义上追求对称性, 但在实际操作时却对电荷和磁荷作不同的处理, 且一般教材连提都不提这种不对称性, 有一种糊弄人的感觉。 磁单极在经典电动力学中是十分人为的东西, 因而所受的约束非常弱, 即便加上量子力学, 除了一些离散对称性及 Dirac 量子化条件外也很难得到其它具体的结果。 不过在 non-Abelian 规范理论中磁单极的出现有很大的必然性, 尤其是对于从单连通规范群破缺到标准模型对称群的大统一模型, 磁单极作为孤立子解是必定存在的。 不过这些当然远不是我当年所知道的。:-)

顺便也把酒胡侃一下电磁对偶性的现代版。

在某些对称性自发破缺的规范理论 (比如 SU(2) 破缺为 U(1) 的规范理论) 中磁单极作为孤立子出现, 所带磁荷为 g, 半径约为 1/ve (v 为渐进 Higgs 场真空期待值的大小); 而带电粒子 (W 粒子) 作为场的基本激发态出现, 所带电荷为 e, 被视为点粒子。 对于现实世界的电荷来说, 磁荷 g 比电荷 e 大两个数量级, 因此磁荷是强耦合的孤立子, 电荷则是弱耦合的基本激发态。

但是如果我们考虑规范理论的强耦合区域, 情况就大不相同了。 这时 e 很大, 而 g 很小 (Dirac 条件在作祟), 因此电荷间的耦合变得很强, 而磁荷间的耦合变得很弱。 与此同时磁荷的半径 1/ve 变得很小, 越来越接近点粒子, 相反电荷随着耦合的增强却被越来越复杂的虚粒子云所包围, 变得越来越远离点粒子。 这些迹象都表明在强耦合下电荷与磁荷的物理表现几乎在互换! 受此启发物理学家们提出了一个猜测, 即存在一个与原理论对偶的理论, 在其中磁荷以场的基本激发态的方式出现, 而电荷反而成为孤立子。 这就是现代规范场论中的电磁对偶性。 当原理论的耦合常数很大时, 这种对偶理论将是研究原理论行为的极好的工具。

可惜的是寻找一个规范理论的对偶理论是一件极其困难的工作, 目前的研究大都只限于超对称理论 (尤其是某些 N=2 及 N=4 的超对称规范理论), 即使对于那些理论, 对偶性也还没有被完全证明。

以后有时间我会写一个有关磁单极及电磁对偶的系列, 更详细地叙述这些东东。:-)

注释

  1. 不过我当年的推广方式与 Laudau 的《场论》 及其它类似论述相比有一个不无意义的差异, 那就是没有将作用量是 Lorentz 标量作为前提条件。 这一点之所以不无意义, 是因为一般来说, 一个理论的作用量不一定是该理论所满足的对称群下的标量, 比如非相对论点粒子的作用量就不是 Galilean 变换下的标量。

二零零四年十月二十二日写于纽约

附录一: 有关磁荷的几点思考

本文为少时旧作, 此处重贴纯系纪念, 读者请勿引用或视之为参考资料。

Maxwell 方程组

·D = ρ      ×E = -∂B/∂t
·B = 0      ×H = ∂D/∂t + J (1)

的既对称又不对称的形式使人们很容易想到磁荷并写下存在磁荷时的场方程:

·D = ρe      ×E = -∂B/∂t - Jm
·B = ρm      ×H = ∂D/∂t + Je (2)

方程式 (2) 似乎体现了电与磁之间的完全对称性, 但事实不然。 最明显的不对称性就在于 (2) 式的两个旋度方程差一个符号, 这一符号足以表明电磁之间仍存在某种形式的不对称性。 如果说电荷产生电场与磁荷产生磁场的规律完全一致 (这正是人们所希望的完全对称性), 比如 Coulomb 定律为:

E = qe / 4πε0r2      H = qm / 4πμ0r2 (3)

那么最后归结到 (2) 时怎么会差一个符号呢?

后面我们将看到,若存在作为电荷的完全对称体的磁荷, 它的静场满足 (3),那么电磁场方程确实是完全对称的, 不过不同于 (2)。 得出 (2) 的原因在于未能真正理解 (1) 的含义及 (1) 中 B 的来源。

但在讨论这点之前我将要说明: 根据迄今为止,以相对论为基础的电磁体系, 根本不存在引进磁荷的对称性要求。 事实上, 磁场纯属电场的运动效应, 对此的各种讨论见 [注一]。 引进磁场乃是作为描述运动系中电荷产生的电场的附加项, 并非独立客体, 作为它的源的磁荷当然也无存在的必要了。 从数学上也可以看出这点, 相对论性的电磁势方程为:

2φ = -ρe0      □2A = -μ0Je (4)

其中并无任何不对称性,φ 由 ρe 产生, A 本质上也是电起源的。 作一些单位的调整并引进四维势还可以将 (4) 式写成 □2Aμ = -Jμ, 从中更可以看出电磁之间本没有什么不对称性。 历史似乎和我们开了一次大玩笑, 事实上人们对磁荷的猜测来源于两点:

  1. 磁石曾被作为磁现象独立地研究。
  2. 将全部注意力投入到 (1) 式中 (即使在相对论之后), 从形式上受启发而提出磁荷观点。 这是近代磁荷观点的起源。

假如人们早就知道并着重于研究 (4) 式, 那么磁荷观点也许就不会被提出了, 或者说不会从电动力学体系中被提出。

关于磁荷, 它被提出后就被作了独特的讨论, 如奇异势等。 但对电荷却不作同样的讨论, 这本身就违背了人们的对称观念。 若不顾对称观念, 又何必提出磁荷呢? 有关磁荷的许多讨论 (比如解释电荷量子化的经典方法) 都基于 (2) 式及由它导出能量动量守恒定律。 对此, 下面我们就来说明, 如果存在与电荷完全对称的磁荷, 那么电磁场方程将不是 (2) 式

(3) 式乃是对称性的要求。 在相对论范围内由电荷 Coulomb 定律 (外加迭加原理等) 就足以推导出 (1), 其中的 B 具有电起源。 下面我们用下标 e 表示电起源的物理量, 则 (1) 式成为:

·De = ρe      ×Ee = -∂Be/∂t
·Be = 0      ×He = ∂De/∂t + Je (5)

完全对称地, 由磁 Coulomb 定律可以得到:

·Bm = ρm      ×Hm = -∂Dm/∂t
·Dm = 0      ×Em = ∂Bm/∂t + Jm (6)

Lorentz 力公式则为:

fe = ρe(Ee + Em) + ρev×(Be + Bm)
fm = ρm(Hm + He) + ρmv×(Dm + De) (7)

(7) 式是出于这样一个理由, 即磁本质与电本质的场对荷的作用是完全一样的, 这也是对称性所要求的。 记 E = Ee + Em, H = Hm + He 等为总场, 将 (5)(6) 相加得:

·D = ρe      ×E = Jm + ∂(Bm - Be)/∂t
·B = ρm      ×H = Je + ∂(De - Dm)/∂t (8)

(7) 式则成为:

f = ρeE + ρmH + Je×B + Jm×D (9)

(8) 式应取代 (2) 式的地位, 它是有磁荷时的场方程, 它关于电和磁完全对称。 但我们看到一个极大的不足, 那就是 (8) 式中出现了电磁起源的场的差, 而 (9) 式表明用荷与流的受力只能检验总场。 另外 (8) 式的形式也不太简洁, 但这并不能说明 (8) 式不成立。 即使有人不同意用 Coulomb 定律及迭加原理就能得出 Maxwell 方程组, 他也应当承认, 若电荷磁荷产生场的规律对称, 则将 (1) 中电磁地位互换将得到只存在磁荷时的场方程。 这正是 (6) 式。

应当说明, (8) 的形式表明它不足以完备地描述电磁规律, 因为其中出现了 Ee, Em, Be, Bm 共 12 个分量。 完备的方程是 (5)(6) 联立。

最后, 我们来看 (8) 式对应的能量守恒定律。 电磁场对荷的功率为:

∫(Je·E+Jm·H)dV = ∫{E·(×H) + H·(×E) - [∂(De-Dm)/∂t]·E - [∂(Bm-Be)/∂t]·H}dV

这一形式显得非常复杂, 它含有的 E·(×H) + H·(×E) 不同于无磁荷时的减号形式, 无法化为面积分, 因此连 Poynting 矢量之类的能流都得不出。 基本物理规律的复杂性往往预示着非正确性, (2) 式在这点上优于 (8) 式。 但我们已经分析过了, (2) 式是没有充份理由的, 从分析角度看 (8) 式却是合理的。 不过不能忘记, (8) 式是以存在磁荷为前提的, 这一前提, 我们已说明过并没有什么必要性。 于是, 如果 (8) 式由于其复杂性而显得不可信, 那么有可能是并不存在磁荷。

注释

  1. 许多书,如李文博的 «狭义相对论», 朱荣华的 «物理学基本概念的历史发展» 等都肯定了这一点并作了推导。 但也有作者对此有异议,比如 J. D. Jackson 的 «经典电动力学» 就持不同看法, 该书认为引力场同样为平方反比场, 但场量却按二阶张量 (广义相对论) 变换而不是四维矢量。 有趣的是, 有些作者不仅不认为这是一个反驳意见, 反而从引力的类磁效应出发建立引力场理论, 并得到广义相对论的三大检验。

一九九零年八月十五日写于杭州

附录二: 有关磁荷的几点思考 (续)

本文为少时旧作, 此处重贴纯系纪念, 读者请勿引用或视之为参考资料。

附录一 中我认为电磁场理论中并没有不对称性, 磁荷的存在并没有物理上的理由。 在本文中, 我继续考虑了这一问题, 并得到了进一步的观点, 即磁荷的存在不仅没有物理上的理由, 而且人们为它所建立的理论是错误的。 同时本文将纠正上文所运用的一个错误的论据。

§1 设想中的含磁荷的 Maxwell 方程组

历史上磁荷观念以及含磁荷的 Maxwell 方程组都直接来自于这样一种朴素而又强烈的追求 - 追求电磁之间的对称。 由此得到的场方程具有如下形式:

·D = ρe (1)
×E = -∂B/∂t - Jm (2)
·B = ρm (3)
×H = ∂D/∂t + Je (4)

相应的 Lorentz 力公式为:

f = ρeE + Je×B + ρmH - Jm×D (5)

其实, 人们并没有追求到完全的对称性。 (2) 和 (4) 差一个负号, (5) 式中也有类似的情况。 我后面将要说明, 这里的负号是无法抹去的。 因此, (1) - (5) 究竟比无磁荷的 Maxwell 方程在对称性上优越多少并非无可争议, 但人们似乎还是满足于这组方程式。

为了表明这一形式在很大程度上是不可避免的, 我们可以回忆一下在普通电磁理论中是如何引入磁场的。 无论在相对论中还是在电磁理论中, 磁场都是用 f = J × B - 即从运动带电粒子受力的角度 - 来引进的。 在相对论中这一点表现得尤为明显。 这里需要说明的是, 引进磁场的方式并不是唯一的。 比方说完全可以用 f = - J × B 来定义磁场。 从某种角度上讲, 现有的引进磁场的方式未必是最合理的。 比方说考虑一个电荷沿一直线运动, 从物理上讲这种情况具有轴对称性, 而且对左右旋也是对称的。 但按定义, 电荷产生的磁场却是右旋的, 这是破坏左右旋对称性的 (用 f = - J × B 定义的磁场是左旋的, 同样破坏左右旋对称性)。 这一定义是 Maxwell 方程组的基础之一。 我觉得, 这说明作为电磁理论的一种表述形式的 Maxwell 方程组未必是电磁理论的令人满意的表述, 它是建立在对场的不对称的定义之上的。 这里不对称指的是破坏了左右旋对称性。 后面我们还要回到这一点上, 但现在先来说明一下 (1) - (5) 的不可避免性。

无论 (2) 式右边取不取负号, 真空中的静止磁荷产生的场都是

H = qm / 4πμ0r2 (6)

于是运用相对论于运动磁荷便与电荷一样得到相互作用力的附加项, 该附加项可以与电荷情形相似地定义运动磁荷产生的电场。 我们前面已经讨论过这种定义的方式并不唯一, 但为了不失去与电荷情形的相似性, 只有两种定义尚可接受: f = Jm × Dm 和 f = - Jm × Dm (场的下标 m 表示磁起源)。 其实后一种定义已不太令人满意 (差一负号), 但当我们排除前一种后, 就只能考虑它了。

如果我们接受由 f = Jm × Dm 给出的 Dm, 则磁荷产生的电场便和电荷产生的磁场满足相同的规律。 于是空间只有磁场时的场方程只不过是 Maxwell 方程组的完全翻版:

·Bm = ρm (7)
×Hm = -∂Dm/∂t (8)
·Dm = 0 (9)
×Em = ∂Bm/∂t + Jm (10)

而电荷产生的 Maxwell 方程组是:

·Be = 0 (11)
×He = ∂De/∂t + Je (12)
·De = ρe (13)
×Ee = -∂Be/∂t (14)

一般情况下的场是电、磁荷产生的场之和。但正如我们在 附录一 中看到的, 将 (7) - (10) 和 (11) - (14) 分别相加时却在右边出现了 Bm - Be, Dm - De 这样的量, 方程组并不能表示为总场的形式, 或者说磁和电起源的场并不完全可以融合起来。 此外, 这时守恒定律也大大复杂化了。 显然, 这并不满足我们的初衷。 因此看来只能采取后一种形式 (即带负号) 作为运动磁荷产生的电场的定义, 这就是 (5) 式最后一项中负号的起源。 这时 (7) - (10) 就成为:

·Bm = ρm (7')
×Hm = ∂Dm/∂t (8')
·Dm = 0 (9')
×Em = -∂Bm/∂t - Jm (10')

(7') - (10') 与 (11) - (14) 分别相加正好得到 (1) -(4), 其中场是总场, 电磁起源的场融为了一体, 但美中不足的是多了一个负号。

§2 电磁理论并没有不对称性

在 §1 中我们看到了有磁荷时场方程及 (5) 式的由来。 由此也可以看到 附录一 中的一个论据是错误的, 它用 (7) - (10) 来反驳 (1) - (4) 的成立, 其实 (7) - (10) 只是按 f = Jm × Dm 定义的 Dm 所满足的方程, 而 (5) 式表明在有磁荷的情形下人们并不用这一定义, 而用差一负号的定义。

但是那里的主要论点, 即电磁理论并没有任何不对称性, 从而磁荷的存在没有物理上的理由这一点我仍然认同。 通常认为的不对称性仅仅是形式上的, 即仅仅是 Maxwell 表述造成的。 而 Maxwell 表述之所以具有形式上的不对称性, 也许正是因为采用了关于磁场的违反左右旋对称性的定义。 如果人们采用四维势表述:

2Aμ = -Jμ (15)
fμ = (∂μAν - ∂νAμ) Jν (16)

其中便不再有任何的不对称性。 这就说明磁荷的存在并非电磁理论内在的要求。 在历史上, 由于电效应在自然界的许多现象中互相中和抵消, 从而使得磁现象独立地显现了出来。 由于早年人们根本不知道磁现象的电起源, 而它又显示出和电现象一样的吸引排斥性质, 从而促使人们很早就与电理论平行地发展出了磁理论, 磁荷的观点也就因此而渊远流长了。

§3 磁荷造成的不对称性

这一节我要来分析一种由 (1) - (5) 造成的不对称性, 它是如此的严重, 以致于我几乎毫不怀疑它表明人们关于磁荷的理论不仅没有理由, 而且还是错误的。

如左图, 磁荷 qm 静止于原点, 电荷 qe 位于正 z 轴上以速度 v 沿 y 方向在 y-z 平面内运动。 由于 qm 产生的 B 沿 z 方向, 按 f = Je × B, qe 所受的力是沿 x 方向的, 于是 qe 将离开 y-z 平面而朝 x 方向运动。 可是在这里, 一切物理因素都关于 y-z 平面对称, 因此出现这种偏离 y-z 平面的情形在物理上是明显不合理的。 前面我们提到在 Maxwell 理论中对 B 的定义破坏了左右旋对称性, 但场终究是抽象的, 因此这种破坏还只是隐性的, 无磁荷的 Maxwell 理论中物理现象并不违反对称性。 比如两同向运动电荷间的磁力沿对称面, 完全满足对称性。 在有磁荷的情况下问题的尖锐之处在于物理现象出现了不对称性, 这是难以接受的。

更严重的是 §1 中已经提到, 电荷产生的磁场也可以用 f = - Je × B 来定义[注一], 它和原定义一样合理 (或者说一样不合理), 因为那不过是在左右手法则之间作一个纯粹约定性的取舍。 这时磁荷产生的电场便得用 Jm × Dm 来定义了[注二]。 这时再看上面的情形, 因 (6) 式仍成立, 从而 B 仍沿 z 方向, 而 (5) 式变成

f = ρeE - Je×B + ρmH + Jm×D

从而 qe 所受之力由 - Je×B 来表示, 它指向 -x 方向!

在物理上 qe 如何运动竟会和我们对左右手法则纯属任意的选择 (即用 Je×B 还是用 - Je×B 定义磁场) 有关, 出现这种荒谬的结果只能说明一点, 即人们关于磁荷的理论是错误的。

这一错误的根源就在于 Maxwell 方程组中的不对称性纯粹是人为的, 是由关于 B 的定义的不对称性造成的。 而所谓引进磁荷来补全对称性其实乃是加上相反的对称性 (即由左旋方式 - Jm × Dm 定义 Dm), 因而一切都有赖于最初对左右手法则的选择。 倘若选择四维势来表示电磁理论, 所有这些问题根本就不存在, 磁荷也根本没有必要存在。

注释

  1. 这时 Maxwell 方程组和 Lorentz 力方程成为:

    ·Be = 0
    ×He = -∂De/∂t - Je
    ·De = ρe
    ×Ee = ∂Be/∂t
    f = ρeE - Je × Be

  2. 这时单纯磁荷的场由 (7) - (10) 表示, 而代替 (1) - (5) 的方程组成为 (即 [注一] 与 (7) - (10) 相加):

    ·B = ρm
    ×H = -∂D/∂t - Je
    ·D = ρe
    ×E = ∂B/∂t + Jm
    f = ρeE - Je × B + ρmH + Jm × D

一九九二年四月二十六日写于复旦大学

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