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规范理论的重整化 (上)

- 作者:Gerard 't Hooft    译者:卢昌海 -

译者序: 本文依据 Gerard 't Hooft 的 "The Glorious Days of Physics - Renormalization of Gauge Theories" (Erice Lecture Notes, 1998) 所译。 't Hooft 是一位杰出的理论物理学家, 曾因 “阐明了电弱相互作用的量子结构” 与他当年的导师 Martinus Veltman 共同获得 1999 年的 Nobel 物理学奖。 本文的标题 “规范理论的重整化” 所代表的是 't Hooft 一生最杰出的贡献之一 (也是瑞典皇家科学院所用的 “阐明了电弱相互作用的量子结构” 这一含糊其辞的表述背后的主要含义)。 本文的原文共分七节, 涵盖了标准模型建立过程中的许多重大理论进展。 本译文包含了其中与 “规范理论的重整化” 这一主题关系紧密的前四节 (约占全文篇幅的 2/3)。 在许多方面本文与 S. Weinberg 的 标准模型简史 可互为补充。 与 标准模型简史 的译文一样 (理由也一样), 本译文也略去了原文所引的参考文献 (共计百余篇, 多数为原始文献)。

1. 史前 (≈1947-1969): 量子场论之死

在经历了将发散积分替换为实验可观测的物理量 (如质量及电荷) 所带来的十余年的极大兴奋之后, 新的看似足以妨碍对重整化问题作任何进一步理解的严重困难出现了。 在六十年代, 已知的可重整量子场论主要有两种原型:

  1. 量子电动力学 (QED), 一个描述带电费米子与电磁场相互作用的现实模型, 以及
  2. λφ4-理论, 一个标量粒子自相作用的理论。 与第一个理论不同的是, 人们并不期望这一理论描述当时已知的任何基本粒子。

当时普遍的看法是: 现实世界并不由可重整量子场论所描述。 现在我们就来做一次事后诸葛, 找出这一误解产生的原因。

1953 年, Peterman 与 Stueckelberg 注意到重整化振幅的一个重要特征。 比方说一个三粒子顶点 (3-vertex) 可以表示为:

或者说:

Γ = gren + (g)3(...) - Δg

(1.1)

因此, 完整的振幅是由低阶顶点 gren, 单圈修正, 以及一个吸收表观无穷大的抵消项 (counter term) 所组成的。 很明显, gren 与 Δg 之间的划分是任意的, 而完整的振幅不应该依赖于这种划分, 它应该只依赖于 “裸” 耦合常数 gbare=gren-Δg。 但是, 当我们截断微扰展开式的时候, 在多圈图内部的耦合常数却是重整化后的耦合常数 gren。 因此, 在实际运用时仍然存在着对划分方式的某种人为的依赖性。 这种依赖性在我们把微扰理论中所有各阶的贡献都加上后应该会消失。

完整振幅与减除方式的无关性被 Peterman 与 Stueckelberg 诠释为理论的一种对称性。 这种对称性被称为重整化群, 其变换为 [译者注: 按上面的符号约定 - 即 gbare=gren-Δg, 下式中 Δg 的变换似应为: Δg → Δg + ε]

gren → gren + ε
Δg → Δg - ε

(1.2)

这看起来象是一种重大的对称性, 但其实际用途却仅限于一种情形 - 尽管那是一种极其重要的情形。 人们发现只有标度变换才与重整化群相关。 这是重整化群的一维子群, 也是今天仍在使用的唯一类型。

1954 年, M. Gell-Mann 与 F. Low 注意到在可变能标 μ 的标度变换下精细结构常数 α 的重整化群变换可以被计算出, 他们发现

μdα/dμ = O(α2) > 0

(1.3)

在微扰展开中, (1.3) 式右端的函数是关于 α 的 Taylor 级数, 以 α2 项居首。

在莫斯科, L. Landau 预期这一函数为恒增函数, 因此 α(μ) 应该是一个关于 μ 一开始缓慢增长 (因为 α(1MeV) 很小), 而后逐渐转为爆炸式增长的递增函数。 即便 (1.3) 式中的级数终止于 α2 项, α(μ) 仍会在有限的 μ 处具有奇点。 这一奇点被称为 Landau 奇点 (Landau pole), 它看来是一个在物理上难以令人接受的东西。 这就是为什么 Landau, 以及与他持相同见解的一大批研究者视重整化量子场论为数学上错误的原因。

另一方面, Gell-Mann 与 Low 则猜测 (1.3) 式右端的函数可能会有零点。 在这种情况下, 跑动耦合常数 α(μ) 将会终止于某一数值, 该数值就是理论的裸耦合常数。 但是为了计算这一裸耦合常数, 人们必须跳出微扰理论的框架, 这在当时没人知道该怎么做。 因此尽管 Gell-Mann 与 Low 没有摒弃这一理论, 但他们的观点显然需要当时还不存在的数学技术来支持。 其结果是, 不仅在东欧, 而且在西欧, 许多物理学家相信量子场论的数学基础是破绽百出的。

将所有这些连接在一起的是这样一种信念, 即重整化群函数 - 后来被称为 β-函数 - 的正定性是不可避免的。 这种信念是基于传播子的所谓 Källen-Lehmann 表示:

D(k2) = ρ(m2)dm2/(k2+m2-iε);    ρ(m2)>0

(1.4)

函数 ρ(m2) 是正定的, 因为对它的贡献来自于所有粒子可能衰变到的虚粒子态 [译者注: 具体地讲 ρ(m2) 的表达式为 Σλδ(m2-mλ2)|<0|φ(0)|λ>|2, 显然是正定的]。 但 ρ 与 β 之间的关系并非显而易见这一事实却显然被忽略了。 可重整量子场论被视为是一种玩具理论, 一些研究者并且声称量子电动力学所取得的表观上的数值成就不过是一种巧合而已。

2. 有趣的模型

尽管如此, 几个这种有蛊惑性的玩具理论依然出现了。 其中最杰出的一个是由 C. N. Yang 与 R. Mills 于 1954 年所提出的, 其基本拉氏量 (Lagrangian):

LYM = -(1/4)GμνGμν - ψ(γD+m)ψ

(2.1)

简单得令人倾倒, 并显示出一种强有力的对称性:定域规范不变性。 当然, 它 (看起来) 不能用于描述现实世界, 因为它要求存在不同于普通光子的无质量、 彼此有相互作用的矢量粒子, 这样的粒子看来并不存在。 在现实世界里最接近于这种粒子的是 ρ 介子 - 但 ρ 介子更可能只是碰巧具有自旋 1 的强相互作用物质的激发态 - 以及假想中很有可能是矢量粒子的弱相互作用媒介粒子 W±。 然而所有这些粒子都具有质量, 而没有任何规范不变的项可以产生这种质量。

但即使这样, 这一模型仍然持续地启发着研究者。 首先是 R. Feynman 与 Gell-Mann, 在他们为弱相互作用的基本 Fermi 拉氏量提出一种特殊形式 (以纪录的角度讲, 这一表达式此前曾被 R. E. Marshak 与 E. C. G. Sudarshan 给出过):

Lweak = GWψγμ(1+γ5ψγμ(1+γ5

(2.2)

(其中 GW 为相互作用常数) 时。 不难看到, 这种相互作用可以由产生及湮灭重矢量玻色子 W± 而得到。

Richard Feynman 在研究引力量子化之谜时又一次从 Yang-Mills 理论中得到了启发。 在引力中, 相应的不变群是微分同胚:

φ(x) → φ'(x) = φ(x+u(x))

(2.3)

这是定域并且 non-Abelian 的, 因此可以与 Yang-Mills 理论中的定域规范不变性:

ψ(x) → ψ'(x) = Ω(x)φ(x)

(2.4)

相比拟。 Gell-Mann 曾建议 Feynman 研究 Yang-Mills 理论而非引力, 因为困扰 Feynman 的是对称性的 non-Abelian 性质, 这是所有 Yang-Mills 体系共有的性质, 而 Yang-Mills 理论比引力简单。 Feynman 发现为了在这一理论中恢复幺正性 (unitarity), 必须在 Feynman 规则中增加一些虚拟的东西。 他把这些东西称为 “鬼” (ghosts)。 他的研究没能超出单圈图的范围。 几年后, B. DeWitt 给出了多圈图的 Feynman 规则。

在 Feynman 与 DeWitt 研究无质量 Yang-Mills 理论的时候, S. Glashow 为了得到一个看上去不错的弱相互作用拉氏量于 1961 年添加了一个质量项:

L = LYM - (1/2)M2Aμ2

(2.5)

这一理论看来可以很好地描述弱相互作用, 可以解释其矢量性质, 以及明显的普适性 - 即所有参与弱相互作用的粒子与矢量玻色子之间都有普适的耦合常数, 仿佛存在一个守恒的 Yang-Mills 荷。

1964 年, P. Higgs 证明了 J. Goldstone 早先证明的一个定理不适用于定域规范理论。 Goldstone 曾经证明, 只要一个连续对称性被模型中的真空态所自发破缺, 就必定存在一个质量为零的无自旋粒子。 Higgs 证明了, 如果该对称性是定域对称性, 则 Goldstone 的粒子将会被一个有质量的粒子所取代。 这一粒子现在被称为 Higgs 粒子。 但是尽管 Higgs 避免了使用 “场论” 这一术语, 他的文章仍未引起任何注意。

此后不久, F. Englert 与 R. Brout 证明了, 如果一个定域对称性自发破缺, 那么不仅 Goldstone 粒子, 连矢量规范粒子也将获得质量。 这就是如今所说的 Higgs 机制。 所有这些都是在重整化场论遭到冷遇的时侯出现的, 因此那些作者都使用了抽象的数学论证, 而刻意回避了象 Yang-Mills 理论那样的具体模型。

Abdus Salam 用 Yang-Mills 模型及 Higgs 机制构筑了一个可以用于弱相互作用的模型, 这为 Yang-Mills 模型提供了一个很强的范例。 与之独立地, S. Weinberg 于 1967 用被 Higgs 机制破缺的定域 SU(2)×U(1) 对称性给出了第一个将电磁与弱相互作用合而为一的具体模型。

但是这些理论有两个问题。 一个是可重整性。 尽管这些理论看起来是可重整的, 但还无法建立真正的计算法则。 另一个是尽管 Weinberg 的理论对于轻子来说看起来不错, 但与强子的弱相互作用实验不符, 它所预言的 “奇异数改变中性流相互作用” (strangeness-changing neutral current interactions) 被实验否决了。

Veltman 研究了第一个问题。 由于对 Higgs、 Englert 及 Brout 的工作印象不深, 他以 Glashow 的拉氏量 (2.5) 为出发点。 他发现在单圈图层次上, 精巧地运用 Feynman 的鬼场可以消去所有的无穷大。 受此鼓舞他试图证明在所有层次上的可重整性。 但他 1968 年的算法没能为这种证明提供线索。 他几乎证明了这些理论没有一个能在单圈图以上被重整。

1960 年, Gell-Mann 与 M. Lévy 提出了后来被用于强子的另一个可重整模型。 他们所用的基本场量是一个同位旋 1/2 的核子场 N=(p, n)T, 一个同位旋 1 的 π 介子赝标量场 π=(π+, π0, π-)T, 及一个新的标量场 σ。 这个模型 - 被称为 σ 模型 - 的拉氏量为:

L = -(1/2)(∂σ2+∂π2) - V(σ22) - Nγ∂N - gN(σ+iπ·τγ5)N + cσ

(2.6)

这里 τ 的分量为同位旋 Pauli 矩阵, V 为自变量 σ22 的平方多项式。 运用手征投影算符 P±=(1/2)(1±γ5) 可以证明这一模型具有只被最后那个 σ 的线性项所破缺的 (整体) 手征 SU(2)×SU(2)×U(1)重子 对称性。 在这一模型中, 如果势能 V 在自变量非零处有极小值, 则对称性可以自发破缺为 SU(2)×U(1)。 π 介子为 Goldstone 玻色子, 其质量正比于 (2.6) 式中的系数 c。 这一模型很好地反映了在自然界中观测到的对称性。 即使在那个时候, 人们就已经知道所有这些都可以用夸克理论来解释。 引进

π = iqτγ5q;    σ = qq

(2.7)

cσ 项对应于夸克质量项, 它破坏夸克的手征对称性。 [译者注: 夸克模型是 1964 年由 Gell-Mann 与 Zweig 提出的, 晚于 1960 年的 σ 模型, 因此对 't Hooft 所说的 “那个时候” 须作广义理解]

σ 模型现在仍常常有人在研究, 但其起源于 Gell-Mann 与 M. Lévy 的 σ 模型这一点常被人遗忘。 这一模型的物理特性与真空态的对称性密切相关。 倘若赝标量场的自作用 V 的极小值在原点, 则手征对称性为明显对称性, 核子将是无质量的。 核子的激发态将以 “宇称双重态” - 即宇称相反的费米子对 - 的形式出现。 π 介子与 σ 将有相同的非零质量。 这被称为 Wigner 模式。

倘若 V 的极小值不在原点, 则对称性自发破缺, π 介子变成无质量的, 而核子获得质量。 宇称双重态的质量不再简并。 σ 也具有质量。 π 介子只有在对称性明显破缺, 即 c≠0 时才能获得质量。 这被称为 Nambu-Goldstone 模式。

由此产生的一个问题是: 这种区分是否会被重整化所破坏? 这一问题由 B. W. Lee、 J. -L. Gervais 及 K. Symanzik 做了研究。 1970 年以此为主题在 Cargèse 曾举办过一次暑期研讨, 结果表明该模型是可重整的, 并且手征对称的性质不会被重整化所破坏。 但实验观测表明 π 介子与核子的耦合常数 g 很大, 因此微扰展开对于计算核子及 π 介子的物理性质并无太大用处。 σ 则极度不稳定, 完全无法被实验所检测。 人们曾尝试用 Padé 近似等方法来改进微扰手段。

今天我们会很容易地把 Yang-Mills 理论, Higgs、 Englert 及 Brout 的定理, 以及 σ 模型列为五六十年代最重要的进展。 然而当时的物理学家们并不这样看。 许多其它的发现被认为要重要得多。 就象在史前岁月里恐龙或许会被认为是比那些毫不起眼的, 尺度微小却长着毛发的小动物更为重要, 且更有希望。 而事实上却是那些远古的哺乳动物在后来的演化中成为了主宰。 与之非常类似地, Yang-Mills 理论、 量子引力研究及 σ 模型与当时引人注目得多的许多 “恐龙” - 比如形形色色的强相互作用模型, 流代数[注一], 公理化方法, 对偶性与解析性 - 相比是 “长着毛发的小动物”。 但那些 “恐龙” 如今大都已经绝迹了。

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注释

  1. 我的一些朋友觉得这一条使他们受到了冒犯, 因为流代数并没有真正绝迹。 不过它并没有如当时所预期的那样发展。

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