早在Gauss十五岁时，他就构想了一种几何，这种几何中Euclid几何中的第五公设不再成立，他把这个几何成为“星空几何”，或许他预计到这种几何在浩瀚星空中可能实现。

但是我们都知道，真正公开地、系统地提出这个几何的是Lobachevskii（有些英文文献是Lobachevsky，俄国人的名字再翻译成英文时可以有些小差别。）所以这种几何被称作“Lobachevskii几何（Lobachevskian Geometry），也称为双曲几何（Hyperbolic Geometry）。在双曲几何中，三角形内角和不再等于180度。但是我们需要的不仅是这个定性结果，而是要确定内角和与180度的偏差程度，即所 谓的“角盈”，角度的盈余，当然这个盈余时广义上的盈余，如果差别为负数，那么就是负的盈余了：）

描述这个差别的就是著名的（局部）Gauss-Bonnet定理，它将曲面的曲率与角盈直接联系在一起。曲面上多边形的Gauss曲率K在曲面上的积分加上多边形边界曲线的测地曲率k_g在边界上的积分再加上多边形外角和等于2π，如果这个多边形的 边界曲线是测地线，那么测地曲率就为0，这时候测地曲率的积分就为零，计算将大大简化。如果是测地三角形，那么我们马上可以得出三角形内角和公式的推广 。由于内角与外角的互补关系，所以公式将变为：三角形内角和减去π等于Gauss 曲率K在在三角形所围曲面上的积分。于是我们可以知道：

如果K等于零，那么这刚好就是平面三角形，角盈为零，三角形内角和等于π；

如果K大于零，那么这就是类似于球面上的三角形，角盈为正，三角形内角和大于π；

如果K小于零，那么这就是类似于伪球面上的三角形，角盈为负，三角形内角和小于π。

因此Gauss-Bonnet公式即使特殊化两次（第一次先让多边形边界曲线的测地曲率为零，第二次让多边形为三角形）后仍然得出这三个优美结果，直接推广了三角形内角和公式。

而整体的Gauss-Bonnet定理更加优美：紧致定向的二维Riemann流形M（可以粗略地看为是曲面的推广）的Gauss曲率的积分值等于2πχ（M），其中χ（M）是M的 Euler示性数，典型的整体的离散值，而Gauss曲率可以连续取值的局部值。这里，测地曲率的线积分被直接抵消，我们想想复变函数中证明多连通域的Cauchy积分定理时辅助线积分的互相抵消得出得优美结果（实际上我们在证明多连通域的 Grenn定理时就有这个方法了），就可以类推想象这个结果。只是在整体Gauss- Bonnet定理的证明中是用了著名的“三角剖分”把区域分称一个个三角形，抵消线积分（在单连通域的Cauchy积分定理的现代证明中也用到三角剖分），而多连通域的Cauchy积分定理中是将多连通区域划分成一个个单连通区域。我们从这里 也可以看出数学中很多领域的研究有着异曲同工之妙。这样一个公式就巧妙地将起两个迥异的重要概念完美结合。

后来，曲率经过Riemann的推广成为几何中的核心概念，Euler示性数经过Poincare的推广后成为拓扑学中的核心概念，这两个概念在整体微分几何中巧妙结合，而这种巧妙的结合就是由于Chern关于高维复流形（complex manifold）上的Gauss-Bonnet定理的直接的、内蕴的推广。果然应了“龙生龙，凤生凤，老鼠儿子会打洞”这句俗话。伟大的定理，经过伟大的推广，产生更加伟大的学科。

当年Weil和Allendorff用分块切割嵌入高维Euclidean空间中证明推广这个定理时，Nash嵌入定理还未出现，所以前提首先就不成立。在加上一个内蕴的优美结果 却用外蕴的方式来推广，实在很令人不满意。所以Chern一到美国，Weil就把这个 想法告诉Chern，并断定这个定理一定有内蕴的证明方法。Chern很快就完成这个证明了。当时数一数二的数学大师Weyl看了这个结果后惊未神来之笔，赞叹祝贺 。Weil则断定这是几何学里程碑式的伟大工作。

在这里，我们从双曲几何一直说到著名的Gauss-Bonnet-Chern定理，我们还要提 到一个人，那就是伟大的Riemann，正是他创立了狭义的Riemanan几何（Riemann Geometry），然后又把这个结果纳入他创立的极度深邃的“广义Riemanan几何 （Riemannian Geometry，分清楚与Riemann Geometry的区别，它们形式上差别是 “ian”，实质上的差别却是“常曲率”与“任意曲率”的差别），推广了Gauss 的曲面内蕴几何学，定义了抽象Riemann度量，仅仅在2维情形就直接摆脱了Euclidean空间的嵌入研究，使曲面的研究不再等价于3维Euclidean空间中的曲面 研究。著名的Poincare上半平面上定义了Poincare度量，它无法在3维Euclidean 空间中实现嵌入，Poincare度量就是Riemann度量的一种。

正如Milnor的所言，双曲几何在Riemann几何出现前只是没手没脚的躯干而已。Riemann让这个躯干成为正常人体。为什么他这么说？因为在赋予度量(meteic)之前,非欧几何的研究最多到三角学为止,因此Milnor那么说。

在Gauss的研究之后,我们就进入了一个新阶段.我们可以通过metric来研究Curvature,而且不仅是常数曲率,更可以是非常数曲率.但是在二维情形,曲率分量是唯一的,Riemann的另一个伟大的推广就是考虑到切空间中不同方向的切平面对这个切平面所在曲面的偏离,他考虑了截面曲率,现在我们先看三维平直空间,用坐标表示为O-xyz,平面就有三个,xy平面,yz片面,xz平面.现在我们就可以了解Riemann当时的思想,他要考虑这么多不同切平面所在曲面的截面曲率,就相当于让其他变元为零,回归到Gauss情形,由于有不同的切平面,就有不同的曲率.这些曲率如果都一样,那么就称为"迷向",这是考虑一个点的切空间时出现的深刻问题. 后来的Schur证明,如果Riemann流形的每一个点都是"迷向"的,那么这些还可以得出更深刻的结果:这个流形所有点的曲率都相同.就是常曲率流形. 因此,Riemann考虑的“任意曲率”就是这样的.而常数曲率是其特例,Riemann写出了常曲率情形下度量的表达式,涵括了三种常曲率情形(正,零,负),这也是他1854年演讲里的唯一公式.

Riemanan之后，Beltrami使伪球面上实现了局部的双曲几何，Klein在开单位圆（ 不包括圆周）上实现了整体的双曲几何，而Poincare在上半平面（不包括实数轴 ）上实现了整体双曲几何。容易证明，单位圆和上半平面存在共形映射，而单位 圆周和实数轴作为两个域的边界，也一一对应。在单位圆上赋予Poincare度量（Poincare metric），就可以计算出它的截面曲率为-1，证明双曲几何的空间曲 率小于零。正如我们所知道的，双曲几何从Poincare去世后发展至今，最牛的人 物是Thurston，Fields奖获得者。此外，这个学科的发展很缓慢，足见其艰难，也足见Poincare之伟大。

另外，当年Poincare 证明任何亏格g>1的曲面可以共形映射为曲率为-1的曲面。而我们知道，所有曲率为-1的曲面可以由 6g - 6 实数维的空间来描述，即 Teichmuller空间。这个直接和Riemann参模理论相联系。

另一方面，Poincare对双曲几何的研究是直接与他对自守函数论的研究相关连的，事实上他也是拼命思索亏格g>1的Riemann面的单值化，才大力研究这些东西。著名的单值化定理显示了单位圆盘的基本重要性，即它可作为g>1的Riemann面的泛覆盖空间。

大名鼎鼎的Schwarzschild早在26岁时就考虑过宇宙如果为弯曲的话，曲率半径应 该为多少，他在19世纪末时就说：“本世纪有人在Euclid几何之外提出non- Euclid几何，其主要实例就是球面空间和伪球面空间。我们如果知道可能具有有限曲率半径的球面和伪球面几何中世界是什么样子，我们会感到惊讶。如果有这种可能，你会感到自己处在几何学的仙境里；而且如此美妙的仙境会不会变为现实，我们也无法知道。”（摘录自Chandrasekhar于1986年的Schwarzschild讲座中所引用文字，杨建邺、王晓明等译）

他还应用当时的天文学数据估算了3维空间曲率半径的极限，认为双曲空间与球形空间的曲率半径的下限分别为64光年和1600光年。 我们当然知道，在1900年的时候，天文测距技术还是不完善的，实际上Einstein 提出静态宇宙学模型时（1917年）对宇宙大小的认识还是很模糊的，甚至于Hubble提出膨胀宇宙学说时，由于造父变星光度的分析有错误，使得宇宙的观测也相应出现严重失误。因此，在Schwarzschild那个时代，对宇宙有着如此的梦幻与计算，实在是非常了不起的。他的思想已经深入到双曲几何和椭圆几何中去了。

说个题外话，现代微分几何学家处理三维问题和四维问题时面对的困难相差时很大的，因为三维空间Ricci曲率如果为零，则Riemann截面曲率就为零，而四维空间没有这个性质。但是在Schwarzschild那时，他肯定无法考虑到这个，所以如果 他牛到直接考虑四维时空，也照样提刀上阵：）

我们也知道，Lobachevskii在提出双曲几何时就已经想象到它或许会在宇宙中实现，他说：“同时，不能不重视Laplace的见解：我们所见到的星星饿银河只属于天体的一部分，就像微弱的、若隐若现的斑点，类似于我们在猎户星座、摩羯星座及其他星座中所看到的一样。于是，且不说在想象中空间可以无限地延伸，自然界本身向我们显示的距离，甚至同我们的地球到恒星的距离相比，后者也因微小而可以忽略。此外，不能进而断言，假定直线的度量不依赖于角——这一假设，许多几何学家想采纳它作为毋需证明的严格的真理——可能在我们过渡到可见世界的极限之前，就会发现它有可以觉察到的错误。”

英国的Clifford实际上也设想过这个问题，但是到了Schwarzschild时，这个梦想被继续深化了。这样我们就可以理解为什么Einstein一搞出广义相对论，Schwarzschild就给出第一个精确解，人家早就是老手了，学起这些新的几何学也 时易如反掌，再加上解偏微分方程的特殊能力，使得Einstein对这个结果赞赏不已，比起6年后对待的Friedman，可谓无比真诚了。

我们理当也多说几句关于椭圆几何的问题，因为它和双曲几何（Hyperbolic Geometry）一样是non-Euclidean Geometry，但是考虑到从Euclidean Geometry 到Hyperbolic Geometry的实质性跨越，双曲几何到椭圆几何的跨越几乎为零，只是平行发展而已，我并没有贬低Riemann的意思，椭圆几何只是上面说的“狭义的Riemanan几何”，仅仅凭借广义的Riemann几何学，Riemann的伟大已经不再需要这个安慰奖了，何况他还是其他多项无上的光荣：Riemann面，Riemann假设等等。

写到篇末，想起了一个巧合，那就是Gauss和Schwarzschild都担任过Gotinggen天 文台台长。一个因为数学而天文，一个因为天文而数学，妙。

致谢及补充：

这篇文章的初稿引起了Omni博士、季候风博士，卢昌海博士的热烈讨论，对此一并予以感谢。针对个别问题，我进行了部分增补。

关于Bltrami模型，季候风博士说：“根据 Milnor 的考证，Beltrami 实际上发现了我们现在使用的所有双曲平面模型：Minkowski 空间的伪球面，Klein 投影模型，和单位圆模型。至于上半平面模型，我记不清是谁先发现的了。Klein 和 Poincare 用其中的两个模型做了很多事情，所以后人把这两个模型冠上他们的名字。遗憾的是，Beltrami 反而没能得到其中任何一个模型的冠名权。在二维，曲率标量就是高斯曲率，所以Gauss-Bonnet 实际上告诉我们二维引力的 Hilbert-Einstein 作用量是常数（曲面的欧拉示性数，不依赖黎曼度量）。所以二维的真空引力是平凡的，即，所有度量都是 Einstein 方程的解。 对于亏格 g>1 的定向闭曲面，总存在双曲度量。在双曲度量下高斯曲率恒为 -1. 把这个 -1从 Gauss-Bonnet 里拿出来，剩下的是对体积形式的积分，即这个曲面在这个双曲度量下的体积。所以曲面上任意一个双曲度量的体积是负的欧拉示性数乘以2pi，是拓扑不变量。这个在二维看来相对平凡的性质， 高维的双曲流形也具有。“双曲体积是拓扑不变量” 这个性质就很能说明为什么双曲几何是研究拓扑分类（至少在三维中）的有力工具了。”

这段话深化了笔者对双曲几何的认识，对此予以深切感谢。在双曲几何中，双曲体积和测地长度都是重要的不变量之一。另外，关于Einstein真空解导致的关于Einstein流形的课题，一直非常活跃，我再简短补充几句：“在二维或三维空間中， Einstein 流形必是常曲率空间。即Ricci曲率为常数必定导致Riemann截面曲率为常数。作为特例，如果假定宇宙学常数为零，真空引力场（Ricci曲率为零）必定导致真空引力是平凡。所以在三维情形，同样有以下性质：Ricci平坦等价于Riemann平坦。”

感谢昌海兄对Omni兄以下问题的回答：

:: can you give some details to explain the meaning of "scale things"?

:: Do you scale the area or the angles of the hyperbolic triangle?

You scale the area by setting the unit of length to be the curvature radius |K|^{-1/2} (assume the surface has a constant curvature), which converts \int KdS to \int dS (=S).

:: Is "elliptic geometry" the same concept" as "spherical geometry"

No, spherical geometry is a special case of elliptic geometry, which is the geometry of a space with positive curvature (but doesn't have to be a constant positive curvature). Elliptic geometry is the geometry in which Euclid's parallel postulate is violated in a particular way (there is NO parallel line). The opposite violation is hyperbolic geometry.

:: Are there any applications for elliptic geometry at all?

Spherical geometry is a special case of elliptic geometry, so whatever application it has (for instance navigation on the surface of earth) also counted as the application of elliptic geometry.

:: Is hyperbolic geometry the only useful Non-Euclidean Geometry to physicists?

No (according to the previous answer).

:: could you clarify Penrose's following statement in more details? :: Riemannian geometries generalize hyperbolic geometry in an irregularly curved way

Riemannian geometry is the geometry in which curvature can change from point to point, can vary from positive to negative. It basically is the geometry with arbitrary curvature.

感谢Omni兄提供Riemann几何学演讲的英文翻译的PDF地址：http://www.emis.de/classics/Riemann/WKCGeom.pdf

On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry (Bernhard Riemann, translated by William Kingdon Clifford, Nature, 8 (1873), 14-17, 36-37)

二零零六年三月二十三日