星空浩淼
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数学之于物理
下面这段话是我在其他论坛里回复人家的一段话，鉴于写得辛苦，就也放到这里来跟大家交流（可惜在那里有些人怎么也说服不了，老是拿爱迪生说事儿，以此证明数学对物理可要可不要。产品发明主要凭智巧，是利用已知的真理，而搞物理是探索未知的真理，二者是有区别的）
数学跟物理一样，反映的都是这个世界的真理，只是用了不同的语言和角度方式。搞物理也好，搞数学也好，都是探索自然界真理的过程。换句话说，数学对物理而言，不仅仅是一个工具，有时侯数学也是物理学本身（学过广义相对论的人应该很赞同爱因斯坦的那句话：几何学显然也是一门物理学！）。
数学跟物理二者之间存在相通之处，有时候二者是交叉的，是对同一真理进行的不同语言描述（例如Yang-Mills规范势之于纤维丛上的联络），我们可以从一个翻译成另外一个。数学不光能为物理提供描述推导和定量计算的工具，也是从多种角度为我们提供揭示物理规律的工具，有时候可以直接从数学那里解读出物理意义来，有时候我们只能用数学来理解物理；反之亦然。
其实老早以前，就有科学家和思想家说过，物理等自然真理可以归结为数学真理，而数学真理最终又能归结成逻辑真理。另外，鉴于数学真理给人的那种实在性，二元论者认为除了存在我们这个物质世界，还存在一个理性世界，而数学真理就存在于理性世界中，而我们只是发现了它，而不是创造了它，因为它一直就在那里！
我觉得，那些认为数学仅仅是一门工具的人，不能说是很懂数学，虽然他可能掌握了很多数学知识。数学之于物理，用一句哲学语言来讲，就是：它不光是一种方法论意义上的东西，而且也还是认识论和本体论意义上的东西！
将来如果有时间精力，想在这里谈一些逻辑方面的东西，中间贯穿一些数学和物理，很有趣的，呵呵！
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| 发表时间：2004-03-19, 01:05:34 |
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Tom
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Re: 数学之于物理
那你谈吧.
| 发表时间：2004-03-19, 08:09:57 |
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卢昌海
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Re: 数学之于物理
期待ing ...
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| 发表时间：2004-03-19, 12:58:19 |
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卢昌海
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Re: 数学之于物理
等待期间先来议论几句数学和物理的关系，抛砖引玉吧 (大家快把玉准备好!)。Einstein 曾经表达过这样的意思(这些都是十好几年前看过的东西，现在书留在了杭州老家，只能凭记忆说了)：数学当它不与物理实在相联系的时候，它是严格的，而当它与物理实在相联系的时候，它就不再严格了。
以几何为例，最初它来源于经验，但经过长时间的演化，到了 Hilbert 时代已经演化成了一个非常纯粹的形式体系。Hilbert 有句名言，大意是说把几何公理中的点、线、面换成啤酒、酒瓶和酒杯(或是别的三样东西，或是不同的顺序，记不清了) 也可以。这就是说几何体系中的那些基本概念，它们究竟是什么并不重要，重要的是它们满足几何公理。事实上那些概念本身正是用公理来定义的， 它们并不需要对应于现实或经验世界中的任何具体的东西。也正因为如此，对于这样的形式体系，我们可以谈论它的自洽性、完备性，可以谈论体系中任何具体命题的正确性，但对整个体系本身却不谈它的正确与错误（如果谈的话，正确指的往往就是自洽）。一个数学体系是否被数学界所认可，是否是一个数学意义上的有效体系，关键在于其是否自洽 (原本还可以加上完备性，但由于 Godel 同志把水大大地搅浑了，就先从略，以后再论)。
物理体系则不同，除了自洽之外，还有一个是否正确的问题，即是否构成对自然的一个可接受的描述的问题。一个体系，即便没有任何矛盾，但如果它与观测不符，就无法成为一个物理理论，在物理中立足。这是物理与数学的一个很大的差异。
但是在一种情况下数学也具有了是否正确的问题，那就是当我们把数学体系中的概念与物理现实中概念对应起来的时候。比方说如果我们把几何中的线对应于物理上真空中的短程线(当然也可以象Hilbert 那样把线对应于酒瓶，但对於普通酒瓶来说几何公理显然是不成立的)，那Euclid 几何立即就变成了对物理世界的一种描述，几何也就变成了一种物理(“几何学显然也是一门物理学”也是在这种意义上讲的)。在荣升为物理理论的同时，几何失去了数学意义上的真理性，它必须接受观测的检验，并且完全有可能被证伪 - 即Einstein 所说的“不再严格”。
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| 发表时间：2004-03-19, 15:54:18 |
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星空浩淼
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Re: 数学之于物理
卢兄讲得好。如果我有机会谈逻辑的话，包括歌德尔定理在内的东西都要讲到，以及它对于物理可能的含义。
卢兄说“物理体系则不同，除了自洽之外，还有一个是否正确的问题，即是否构成对自然的一个可接受的描述的问题。一个体系，即便没有任何矛盾，但如果它与观测不符，就无法成为一个物理理论，在物理中立足。这是物理与数学的一个很大的差异。”
关于这个问题，有些平行宇宙论者认为，凡是逻辑上可能的世界都是存在的，而我们只是刚好生活在其中的一个里面而已。
我们从小被灌输马克思的理论，说数学都是从物质世界抽象出来的。其实数学家们的创造活动有相当的独立性。有时候我们真不知道，是先有那些数学规律，然后才有物质世界按照那样的规律进行组装构建，还是先有物质规律，然后才有从中抽象出来的数学？我宁愿相信前者，那些数论中的一些奇妙规律，那跟有没有物质存在似乎关系不大；亦或真的有个伯拉图式的二元世界？数学世界是物质世界的“灵魂”？
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| 发表时间：2004-03-19, 20:35:18 |
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Tom
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Re: 数学之于物理
我以为,两者是统一的.
| 发表时间：2004-03-19, 22:22:46 |
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轩轩
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你们有没有想过数论与物理的交互？
那里有革命的可能
i love u
| 发表时间：2004-03-20, 10:07:49 |
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stefanzhang
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Re: 数学之于物理
数学之于物理不过是一种工具，数学是否必然反映物理本质乃是无法证明的事，不过这丝毫不妨碍我们是用数学。
在我看来，数学最大的作用是使物理直觉表现的更清晰，精确，并且具备逻辑力量。
| 发表时间：2004-03-20, 22:36:44 |
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星空浩淼
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Re: 数学之于物理
卢兄说“物理体系则不同，除了自洽之外，还有一个是否正确的问题，即是否构成对自然的一个可接受的描述的问题。一个体系，即便没有任何矛盾，但如果它与观测不符，就无法成为一个物理理论，在物理中立足。这是物理与数学的一个很大的差异。”
我对此还有一种理解(用比方说明):就好比我们面对的本来是一个方程组,但由于当时我们的认识水平原因,我们只知道这个方程组中的一两个方程,这时候,我们认为,我们要找的答案,就是要满足我们所知道的这两个方程的解.结果发现同时有几个都满足,但最终由实验来决定,发现其中只有一个与观察相符.因此,我们就得出结论说"物理体系，除了自洽之外，还有一个是否正确的问题，即是否构成对自然的一个可接受的描述的问题。一个体系，即便没有任何矛盾，但如果它与观测不符，就无法成为一个物理理论，在物理中立足". 之所以出现这种物理与数学的一个很大的差异,其实是因为我们用数学理论判断时,"只知其一,不知其二",没有将所有与之相关的约束条件了解清楚,即相当于前面所说的没有把整个方程组给出来,而只是凭方程组中的几个方程作为判断的依据,因而只是必要条件不是充分条件,如果利用整个方程组这个充分条件,来给出唯一的同时满足所有的约束条件的理论解,那么这个理论预言必然与观察结果一致.
惟有与时间赛跑，才能保持一息尚存
| 发表时间：2004-03-21, 00:37:08 |
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santiyago
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Re: 数学之于物理
数学是无，物理为有
天下万物生于有，有生于无
有之以为利，无之以为用。。。
灌水
发似三春雪，须如九月霜
| 发表时间：2004-03-21, 01:36:33 |
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