萍踪浪迹
发表文章数: 1983
武功等级: 深不可测
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和星空与道德谈数学的形式化
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我个人也认为法国的数学风气有把数学往死路上推的趋势，不严格的数学才有活力，才会更吸引人去看明白他的本质，在没有明白这些而直接去学抽象的数学并不是英勇的行为，而是没有明白数学的真正本意以及虚荣心的驱使，我就是他的牺牲品。
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不要过分武断得评价法国的数学风气，或许你说的是Bourbaki学派，但是，你更要知道Bourbaki学派为什么会有那么多数学大师涌现，Weil，H.Cartan，Serre，Grothendieck，Deligne等等，为什么二十世纪的数学成就有那么多出自这些人之手？法国还有著名的Leray，我们现在通行的许多数学工具很大部分归功于法国学派。
不严格的数学的泛滥是数学蜕变的象征。很多人甚至会认为Poincare甚至更早的Riemann是不严格的数学大师，但是他们的不严格上有着天才的直觉为后盾的。而一般人的不严格又有什么资本？
意大利学派的工作不严格，固然有特别贡献，但是只有经过Poincare、Zariski和Weil等人的不断改造和发展才有今天的代数几何基础
还有，形式化是在数学发展到一定程度的必然，Grothendieck的数学够形式化了吧？有谁敢否认他呢？没有他的形式化，Weil Conjucture如何解决？形式化并不是简单的形式化，儿时一种提升或者说是一种升华。
如果Riemann不严格，他就没有必要为了一个几何学演讲去苦苦计算，那就没有Riemannian Geometry，就没有现代数学甚至广义相对论的辉煌。如果Poincare不严格，就没有天体力学和动力系统（两者关系密切）的伟大里程碑。如果Chern不严格，就没有Chern Class的光华璀璨，就没有整体微分几何的巨大飞跃。
细节的讹误在所难免，但是思想和意向的严格是数学家和数学的生命所在。要不然Gauss为什么要把所有想法都深思熟虑后才发表？
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"所以我写这些是希望后来人可以以此为戒，注重实际问题，不要为形式化的动人外表所迷惑。历史上的那些大牛都是明白此道理的，把形式化的工作留给专家和老人。多做一些创造性的工作。"
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过度的形式化是有害的，即使对于数学也是如此，这一点在许多数学大家那里亦有共识
但是，从数学自身来看，公理化是一种很好的规范途径
如果没有公理集合论的建立，人们甚至无法解决Russel Paradox
如果没有Lebesgue积分的建立，我们无法进入现代分析的领地
这些都是当时被认为是无用的形式化的东西。
形式化是一个很模糊的概念，在这里既有好的形式化，也有很坏的“抽象”
因此，没有必要把形式化一棍打死，形式化很大程度上为了公理化而做
有坏的形式化工作就否定形式化，那么在应用数学中也经常出现一些（甚至很多）末流工作，那么，是不是要废了应用数学呢？
其实，不论形式化还是从直观出发研究问题，都在很大程度上决定于具体的操作者，像Riemann，他只要用通电导线一接，就得出了Riemann存在定理，后世的Weierstrass却硬要鸡蛋里挑骨头，到底谁对？Riemann那时应用的Dirichlet原理是不经严格证明的，但他是伟大的，因为他凭着天才的直觉和粗糙的实验加上不严格的论证得出这个著名定理。而Weierstrass同样是伟大的，因为他的严格，促使了Dirichlet原理最终得到真正的证明，当然，这归功于Hilbert早年的工作。Poincare探索三体运动时曾经出现巨大失误，如果他没有纠正这个错误，就无法瞥见确定性系统中的混沌，也就无法在更大程度上革新动力系统的研究。
而且为什么一定要老人和专家才能去做形式化工作？
如果形式化很坏，那么就算是老人和专家也不应该去做，老人就代表能力衰退吗？不见得。Gauss在曲面论中的内蕴几何学是在50岁时做出的，Cartan关于微分几何的著名工作一直延续到60岁之后，Poincare工作到58岁，临死前还提出一个限制性三体运动的最后猜想，这个工作很大程度上造就了Birkhoff。Weil直到60多岁还能提出模形式的重要定理，Yau也56了却仍然活跃在世界数学的最前沿。这样的老人太多了。
如果形式化是好的，为什么就不能让年轻人做？Bourbaki学派几乎是清一色年轻人，并且总是及时让老人退出，不是因为老人无能（上面说了很清楚了），而是因为年轻人更少束缚，更能勇往直前。Galois创立群论和域论时，那理论是那个时代极其形式化的东西，他是为了判断何种代数方程是可解方程而创立这个理论，不论他的动机中有多少是为了应用，但是至少他的工作非常形式化。但是今天，不懂群论就不懂数学和物理。
形式化是无罪的，有罪的是那些不入流的数学家。
漫漫长夜不知晓
日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑
梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2005-08-13, 23:53:16 |
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Re: 和星空与道德谈数学的形式化
即使是在物理学中，形式化也很重要
当年正是Minkovski的形式化（1908）使得Einstein的狭义相对论有了极其鲜明的集合背景，时空运动群即Poincare群（非齐次Lorentz群）也被赋予鲜明的几何意义。当时Einstein对于这种形式化是很不屑的，认为是对物理直觉的伤害。可是，很快Minkovski空间就成为广义相对论建立的几何参照。1939年，Wigner定出Poincare群（非齐次Lorentz群）的所有不可约表示则大大影响了数学（群表示论）和物理学。这些形式化对于建立一个严谨优美的理论起到不可替代的作用
1925年，Cartan建立联络理论，进一步促进了广义相对论的几何发展，再到后来，Ehresmann澄清了主丛联络概念，对于现代物理中的量子规范场论也起到了很有益的影响。
固然，我们不能脱离现实而乱来形式化，但是在已有的一些结果上面进行精细分析加以形式化，对于探明前进方向是有利的。不然，量子力学为什么要用Hilbert Space来表述？
Dirac酷爱自己方程中的对称性，所以坚决不放弃负能解，最终在形式化的结果中逼出个反电子（当然应该感谢Weyl的灼见）。形式化有时候揭示了现有知识尚未认识到的自然真相，不要因为一些无聊个形式化工作就简单否定形式化工作
诚然，没有纤维丛理论照样有规范场论，但是，正是因为二者的融合使得各自迅速发展。近几十年来关于这两个领域的出色工作层出不穷。
因此，形式化是必要的，但不是唯一的。抛弃物理事实盲目形式化会导致舍本逐末，但是只停留于物理事实甚至唯象解释（我并没有贬低唯象解释的重要性）而排斥形式化，那么深刻系统的物理理论是很难真正得到发展的。
我个人观点是：正确的做法是有效结合两者，让形式化发挥更加积极作用，无论数学还是物理。
漫漫长夜不知晓
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梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2005-08-14, 00:52:58 |
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zhangchi
