turingfish
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一个想法
最近在写本科毕业论文，想推广Gauss映射。设M是R^m+1中的一个m维子流形，那么很
自然的可以定义M到球面S^n的Gauss映射，方法是对于M上的任一点p，把垂直于该点切空间的单位法向量的始端平移到原点，其末端就得成为单位球面上的一点，把它定义为p的
Gauss像。但如果M所在的欧氏空间的维数大于m+1，设为n,那么广义Gauss映射就把M映到Grassmann流形G(n,m),其中M上每一点的像是该点切空间平移至原点后的n维子空间。现在如果M是嵌入在一个一般的黎曼流形N里，那就没有一个固定的平移方法。我想
在N的每一点有一个Grassmannian，通过N本身的转移函数族诱导的G(n,m)到自身的变
换把这些Grassmannian“粘合”起来，就得到N上的一个纤维丛E，其纤维型是G(m,n)
，从而得到M到E的Gauss映射。N上的黎曼度量自然诱导出E上的一个联络，应该还可以
诱导出E本身的一个黎曼度量。
后来想到，N上的一个m维光滑分布实际就是E上的一个截影，那么这个分布是否完全可
积能否由相应截影的性质来判断，或者说只由E的“内蕴”的几何或拓扑性质来表述。
Frobenius定理的表述要用到张成分布的局部标架场，感觉不大爽，怎么样能够抛开具体
标架场来表述完全可积的条件呢？
后面就不知该怎么做了，或许这个想法没可行性，还请各位高人指教。
多睡觉，多看书
| 发表时间：2006-04-19, 10:09:42 |
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流形
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Re: 一个想法
古典几何中的高斯映射好像是对曲面片作的，所以是局部的，当然对于嵌入在
欧式空间的子流形在每一点上都是可以做的。
好像你想做的是黎曼子流形的法丛这样一个东西。
它是黎曼子流形的一个向量丛，自然的具有黎曼度量和法联络。
可以参考一下子流形的几何学或许有帮助
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：：后来想到，N上的一个m维光滑分布实际就是E上的一个截影，那么这个分布是否完全可积能否由相应截影的性质来判断，或者说只由E的“内蕴”的几何或拓扑性质来表述。
Frobenius定理的表述要用到张成分布的局部标架场，感觉不大爽，怎么样能够抛开具体
标架场来表述完全可积的条件呢？
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可积性不是几何性质。也不是单纯的拓扑问题，
可以说是一种分析性质，是流形上的一种特殊结构。整体可积性与全空间拓扑有关。
他有好几种表述。局部可积性有矢量场表述和维份形式表述。
一个分布是完全可积的当且仅当是对合的。他的对偶表述用微分理想表示。
一个微分系统（外形式丛的一个理想）或余分布可积当且仅当该理想为微分理想
因为他们被那样的对待，所以他们也那样的对待你们
| 发表时间：2006-04-19, 20:48:44 |
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季候风
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Re: 一个想法
Grassmannian 有点太粗了，你相当于把原来的丛（分布）当作新丛的截面，把一个向量空间当成了一个点，损失了一些信息，比如向量场空间的李代数结构，在新的丛上就看不到。你可能要引进所有维数的 Grassmannian bundle, 然后定义序结构（包含）以及运算，比如交，直和。这样你的丛就捡回了一些丢失掉的信息。
可积性一般只在局部考虑，这跟解微分方程是一回事，大范围的解总是一件很麻烦的是，就是在欧氏空间，解的延拓也很复杂，何况是在流形上。实际上 Frobenius 定理的陈述并不依赖局部基底，它无非是说分布的所有光滑截面是一个李子代数，对偶的陈述就是说分布的湮灭理想是一个微分理想。在你的新丛上，这些截面（向量场和微分形式）都看不到，所以我很怀疑你能作些什么。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-04-21, 00:28:02 |
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季候风
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Re: 一个想法
哦，刚才太武断。截面是看不到。不过可积性质是所有截面组成空间的性质，因而应该是丛的性质，也就是你的新丛的截面的性质。也许这里面有些东西，但是话说回来，对于可积分布问题，这种构造并没有本质上引进新的结构。
你构造的这个丛也许可以看作主丛的某种扩展，也许可以考虑一下能不能定义什么新的 “示性类”。这个丛的新结构还是要从纤维空间开始发掘，这些子空间之间可能存在什么样的关系？跟别的纤维结构可能存在什么样的关系？可惜它们不形成群，不能做表示。但是也许有什么群作用在Grassmannian 上？
最后，别信我，我是门外汉，小心走火入魔。还有就是要查文献，也许很多年以前就有人研究过这些问题了，Whitney 啊， Milnor 啊， 陈省身啊什么的。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-04-21, 00:49:20 |
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turingfish
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Re: 一个想法
谢谢楼上的指点！我也觉得可积性是一个局部性质，做一个全局上的Grassmannian bundle 似乎没什么必要。而且我都不知道怎么吧可积性用丛和截影的语言翻译出来，但就是觉得既然讨论的是分布本身的性质，应该能够脱离具体的局部标架场来表述。至于查文献，小弟实在没有任何经验，不知道该如何入手。印象当中有本老外写的Handbook of Differential Geometry，厚得吓人，好像还分卷的。
多睡觉，多看书
| 发表时间：2006-04-21, 23:47:46 |
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那一剑的寂寞
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Re: 一个想法
个人认为，楼主的想法有点不太现实，而且宏观的吓人。如果做出来了，不妨在这里报告一下。我的本科论文里值得我一提的就是两个东西：1，推广了Frobenius的一个定理，2，用模论证明Fitting分解定理（真的干净），然后再用Fitting分解定理重建整个矩阵的Jordan分解理论。
| 发表时间：2006-05-03, 07:33:29 |
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季候风
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Re: 一个想法
至于查文献，小弟实在没有任何经验，不知道该如何入手。
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书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-05-10, 16:56:11 |
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