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星空浩淼

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为什么要余切空间（顺便to Omni兄）

这里我是以自己理解的方式凭借记忆写出来的，好在这里有数学嘉宾和其它数学高手做纠正与补充。我写的优点是通俗易懂，深奥的我也写不出来:-)。萍踪回复Omni过于简略，所以我就罗唆一回。

以三维空间为例。对于平直空间，可以用一个坐标系（X,Y,Z）描述，X,Y,Z代表三根坐标轴。对于一般流形（一句话描述之：在每一点只存在一个唯一的切线或者切平面的玩意儿。因此折线之类的东东，即使连续，也不是流形），只能采用局域坐标系来描述，此时通常在平直空间中讨论的量A，需要换成它的微分dA来代替。

我们既要跟矢量打交道，还要跟数量或者更一般地，跟标量函数打交道。此时我们要考虑一个从矢量到函数的一个映射，这就是对矢量取内积。一般情形下，是两个相互对偶的矢量之间才能定义内积（除非对偶矢量等同于矢量自身）。由一组正交完备的矢量张成一个空间，则与之对偶的一组正交完备的对偶矢量张成的空间，称为对偶空间。

（矢量概念可以推广到一般的抽象空间，比如平方可积的函数空间，此时矢量x,y之间的内积如果记做y(x)=<y,x>，此时y(x)又称为关于x的泛函，因此量子力学中通常所说的波函数ψ(p)=<p|ψ>，其实是Hilbert空间spaned by {|ψ>}中的泛函，也可以看作|ψ>在p表象中的具体表示。）

因此，你不难理解，为什么四维时空矢量有协变和逆变之分，二者是对偶的，它们之间的指标收缩（协变指标和逆变指标之间的收缩）对应时空矢量之间的内积。

下面用d/dx表示对x的偏微分（如此类推），而dx是x的微分（and so on）。我们知道，对于三维空间中的坐标函数A(x,y,z)，我们有：
dA=(dA/dx)dx+(dA/dy)dy+(dA/dz)dz
=矢量（dA/dx，dA/dy，dA/dz）和矢量（dx，dy，dz）之间的内积。
其中（dA/dx，dA/dy，dA/dz）是A的梯度矢量，抽掉A，是梯度矢量（算子）:
（d/dx，d/dy，d/dz）
它与矢量
（dx，dy，dz）
构成一对对偶矢量。

由于在微分几何中，在局域坐标系中讨论问题，总是跟某个量的微分打交道，因此在现代微分几何中，干脆直接用坐标的偏微分（d/dx，d/dy，d/dz）或微分（dx，dy，dz）作为基矢量，来对某个矢量进行展开。如果流形上的切空间，是指用坐标基（d/dx，d/dy，d/dz）张成的空间，那么流形上与之对应的余切空间，是指用坐标基（dx，dy，dz）张成的空间。二者是相互对偶的空间。两个空间中的矢量之间可以定义内积（或者定义张量之间的指标收缩）。

利用基矢（d/dx，d/dy，d/dz）和（dx，dy，dz），以及它们之间的张量积，构成张量基，可以对张量进行展开（如同展开一个矢量一样）——我们通常所谈到的张量，是张量的分量表示，只是张量的一个分量，将各个分量与对应的张量基相乘，再相加，才是一个张量整体，才是张量按照张量基展开的表达式。

用协变基矢（d/dx，d/dy，d/dz）及其张量积（如d/dx×d/dy）展开的张量，是逆变张量；用逆变基矢（dx，dy，dz），及其张量积（如dx×dz）展开的张量，是协变变张量；两种张量是对偶的。一般情形下，是同时用两种张量基展开的混合张量。

（以上也许有些细节没有说对，甚至刚好说反了，但大体上有那么个意思就行吧）

One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy

发表时间：2006-08-01, 09:02:40