星空浩淼
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再说赛跑悖论（原创）
人跟乌龟赛跑，起始时，乌龟在人的前面一段距离，但人的速度是乌龟的2倍，每当人跑到原来乌龟所在地时，乌龟又向前跑了一段路...于是人追不上乌龟。
此悖论的一个变种是：炸弹在两秒钟时爆炸，甲在一秒时间把炸弹给了乙，乙又在二分之一秒时间把炸弹还给甲；甲再在四分之一秒时间把炸弹给了乙，乙再在八分之一秒时间还给甲...炸弹在两人之间的这种传递时间准确地收敛于两秒钟，即炸弹爆炸之时。问炸弹爆炸时会在谁手上？
我们知道，一个含有N个元素的集合，它的幂集元素个数有2^N个。自然数集合的元素对应N趋于无穷大的情形，因此实数集合的元素含有2^N（N→＋∞）.
有理数的个数跟自然数一样多，二者之间可以建立一一对应的关系。任意一个实数的任意邻域之中都含有无穷多个有理数，即有理数集合属于实数集合的稠密子集。有理数是可数的，一个含有可数的稠密子集的集合，称为可分的。时空空间对应实数集合（连续统），因此时空空间属于可分的空间。
现在回到原来的问题上。由N个元素的集合，求幂集得到含2^N个元素的集合。上面关于时空空间的悖论，其悖论的构造过程，相当于“求幂集”的逆过程：由含有2^N（N→＋∞）个元素的时空坐标点集合，求出其中的一个含有N个元素的自然数集合。
上面第二个悖论可以用昌海兄的观点来解释：抛炸弹的次数N→＋∞，＋∞不是一个确切的数，因此无法定义“最后一次”，所以问炸弹最后在谁手上，这个问题没有意义。
关于第一个悖论，不少人认为问题出在把连续的不可数时空点，与可数的等价起来，因此行不通。通过以上分析，这种看法是不对的！因为这种对应没有问题，由2^N到N，是求幂集的逆过程，这与时空空间的可分性一致。问题出在：我们在心理上把N个不等分的间距实行了等分，同等看待。同时由于没有“最后一次”，我们无法定义到底多少次到当人到了乌龟原来的地方，乌龟又向前跑了一段路。所以人最后超过乌龟，只能从一种整体论的观点看，反正到了某个时候，人走的距离大大超过乌龟走过的距离，就超过了，我们无法使用分析论的方法来思考这个问题。
One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
| 发表时间：2006-06-22, 00:38:44 |
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gage
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Re: 再说赛跑悖论（原创）
我只能说用集合论来讨论这个问题是不合适的，微积分足以弄清楚所有这一类悖论。
繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。
一只小小的温度计，却透露了宇宙那无比的寒冷和荒凉。
| 发表时间：2006-06-22, 00:52:21 |
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星空浩淼
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Re: 再说赛跑悖论（原创）
微积分足以弄清楚所有这一类悖论
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如果这样，世上就不存在悖论这回事了。悖论之所以是悖论，是因为它引起理解图象上的混乱。微积分只是可以让你逃避这类悖论。
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| 发表时间：2006-06-22, 00:58:06 |
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gage
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Re: 再说赛跑悖论（原创）
我们知道，一个含有N个元素的集合，它的幂集元素个数有2^N个。自然数集合的元素对应N趋于无穷大的情形，因此实数集合的元素含有2^N（N→＋∞）.
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对于集合的元素个数而言，这个极限的收敛性的意义是什么呢？ 2^N 的极限仍然是可数，可数取极限仍然可数。集合论中用 2^N 来表示所有映射 f:N-->{0,1} 的集合。此处N表示自然数。并不表示什么极限。
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| 发表时间：2006-06-22, 01:20:49 |
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gage
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Re: 再说赛跑悖论（原创）
悖论之所以是悖论，是因为它引起理解图象上的混乱
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什么图像？
繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。
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| 发表时间：2006-06-22, 01:22:16 |
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trustno1
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Re: 再说赛跑悖论（原创）
关于芝诺悖论，我的看法是，用无穷级数的方法仍然不能解决。因为这个问题其实是说，能否用用有穷的步骤地去完成一个操作。对于无穷级数来说，他的极限是在无穷远处，对于有穷项来说这个极限不成立，y=1/x极限为0,但是对于一个具体的x值，y永远不会为0.因此微积分不能说明芝诺悖论.
方励之的<力学>里面讲过这个问题.芝诺悖论，关键问题在于时钟。我们人类的计时，通常是根据一种不断重复的事件，比如说每天的日升日落，我们的心脏跳动等等。在芝诺悖论里面，s=vt.他这个t并不是我们的时间，而是以乌龟每前进一步作为一个interval,而这个时钟的取值是(0,+∞).所以以芝诺的时钟进行比赛人肯定是无法追上乌龟.芝诺将这个时钟与我们普通意义上的时钟混淆，偷换了概念。方励之称这个时钟为芝诺钟.
| 发表时间：2006-06-22, 01:28:51 |
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gage
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Re: 再说赛跑悖论（原创）
方励之的<力学>里面讲过这个问题.芝诺悖论，关键问题在于时钟。
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和卢站长的话一个意思。这是对这个问题的完整的回答，即芝诺偷换了概念，将一个步骤和一段时间等同起来。
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| 发表时间：2006-06-22, 01:34:18 |
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星空浩淼
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Re: 再说赛跑悖论（原创）
我这个帖子的一个主要目的，在于反驳许多人所持的这样一种解释：认为芝诺悖论的根源在于试图用可数无穷集合来衡量不可数无穷集合，结果当然造成悖论。我想说的是：这个悖论的设计中，其操作步骤相当于对一个不可数无穷集合进行一种可数无穷的划分，即相当于求幂集的逆过程，因此这里不存在用可数无穷来度量不可数无穷的问题。
我在楼顶帖子里面提到：“我们在心理上把N→＋∞ 个不等分的间距实行了等分，同等看待。”
这句话就是方励之所说的那个意思，即把无穷多个操作步骤在心理上等同于无穷多段相等的时间。
对于自然数集合的势N→＋∞，其幂集即实数的势是2^N=2^＋∞，我前面的2^N就是2^＋∞。
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| 发表时间：2006-06-22, 04:17:27 |
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无巧
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Re: 再说赛跑悖论（原创）
老实说，关于第二个例子，我仍没明白是什么意思。
炸弹在谁的手中爆炸这个问题是何以用数学解决的？
到底什么概念被偷换了？
在我们的“真实”生活中，规定2秒钟爆炸的的炸弹，是肯定会如期实现的
但是谁来告诉我们从1到2究竟是什么样的一个过程？
一条真理是真理当且仅当你相信它是真理
| 发表时间：2006-06-22, 05:11:12 |
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