标题: 三言两语话概念
作者: 星空浩淼
所有由自共轭算符推动演化的双态量子系统，都存在一种数学上同构的抽象描述。双态量子体系可以张成一个二维Hilbert空间，而推动这个量子体系演化的自共轭算符，在这个空间中对应一个2×2的自共轭矩阵表示。2×2的复数矩阵有8个参量，但自共轭条件对应四个约束条件，再加上一个概率守恒的约束件，于是这8个参数中只有三个是独立的。因此，对于这个空间中的所有力学量矩阵，只需要用任意选定的三个线性独立的2×2自共轭矩阵（作为张量基）就可以完备地展开。三个Pauli矩阵正好是线性无关的2×2自共轭矩阵，因此可以选它们来做这种矩阵基。由于Pauli矩阵常用来描述自旋1/2场的自旋矩阵，因此就把双态量子系统称之为“赝自旋系统”。由数学描述上的同构到物理概念的类比，是物理学家们屡试不爽的招数。同位旋概念也是来自于这种概念类比。
- 相空间 -
在物理学中，由广义坐标和与之相应的广义动量构成的正则共轭对，它们的直和空间即是相空间，这个相空间构成Lorentz群的辛表示空间，在其上可构造辛几何，是分析力学的微分几何描述基础，也是几何量子化的出发点。相空间中的测度，具有作用量的量纲（最小作用量原理是经典力学的最基本原理，所以相空间比较特殊）。
如果说狭义相对论通过Lorentz变换公式让时间和空间统一成四维时空，那么量子力学似乎通过傅立叶变换让坐标空间与动量空间统一成相空间（这一点，分数傅立叶变换最明显，分数傅立叶变换相当于相空间坐标系中由坐标轴与动量轴之间的任意角度旋转，而通常的傅立叶变换是90度的旋转），在物理效应上进一步由不确定性原理体现出来。人们总是试图用经典力学来回归量子力学，其中最成功的就是把量子力学看作相空间中的经典统计力学。事实上，路径积分量子化的相空间表达进一步体现相空间与量子力学之间的渊源。当然，最小作用量原理在路径积分量子化那里不再属于第一性的原理，而是一个推论和经典近似的结果。
- 测度 -
通常的函数是以某个变量为自变量的函数。而测度可以看作是一种以集合为自变量的“函数”（映射，映射是比函数更一般的概念）。即给定一个集合，就让某个量与之对应，这个量就是集合的测度。当然测度的定义域——由集合构成的集合，必须满足某种代数性质(σ代数),这种代数常常作为测度的一种定义方法.
例如,由所有事件集合构成一个集合(因而是集合的集合),它可以作为概率事件的样本空间.此时定义在事件集合上的测度,可以是这个集合中所有互斥的基本事件发生的概率之和.因此概率就是一种测度.此时概率论要求σ代数自然满足.
再如,由一些平面空间区域(相当于点的集合)构成一个集合(要求满足σ代数哈),对于任一个区域上所有点构成的集合,可以定义该点集合的测度为该平面空间区域的面积. 物理学中,有时把一些积分的微分元直接称做积分测度.
一个点,一根线的面积为零,所以在二维面积测度的意义上,点和线的测度都是零.定义一维区间长度为该区间上点集合的测度.不难看出,此时可数无穷多个点的集合测度为零.那么,不可数无穷多个点的集合测度是不是一定大于零呢?不一定!例如康托分形集合就是测度为零的、包含不可数无穷多个点的集合。
测度理论,是现代公理化概率理论的基础.研究某些比较深入的量子力学问题,还非得用基于测度理论的概率理论才行.测度理论可以使得黎曼积分被推广。可以看到，上面的测度例子都是正定的，这也是概率可以作为测度来描述的一个重要原因。但是有时候，例如我们需要考虑负的积分结果，此时可以引入广义测度的定义。相对论量子力学产生负概率问题，人们选择的办法是避免它。由于负概率来源于正反粒子同时存在，也许可以直接引入负概率概念来描述。例如正电子出现的概率为正，同一情况下让负电子出现的概率为负。问题是，此时概率的归一性不好办（即总概率如何定义？通常为1）。也许还是有办法，但是也许不必了，因为量子场论很成功地替代了相对论量子力学。
- 超完备性 -
我们知道，相干态集合具有超完备性。所谓“超完备”，是完备过了头，存在冗余。超完备基集合中存在一个完备基集合的真子集。例如用笛卡尔平面坐标轴X和Y 张成二维空间，此时沿X和Y方向上的单位向量可以构成二维空间的完备正交基。如果再补充一个既不平行于X轴也不平行于Y轴的单位向量，加入到原来的完备正交基集合中来，新的集合就是超完备的，但它仍然可以当作是一组基——只要二维空间中的任意一个向量可以用这组基中的若干基向量展开即可（当然这种展开不是唯一的，但只要对所研究的问题不产生破坏性影响，就允许），只是这组新的基不够简洁，三个基向量构成一个线性相关的向量组，其中一个可以用另外两个线性展开，去掉一个之后仍然是一组基。
超完备性在许多其他场合下都有用，为此在数学上专门定义了“坐标框架”的概念，“坐标框架”相当于把通常的(完备)“坐标系”作进一步推广，超完备化，引入冗余的坐标轴。这些在小波分析那里，在信息理论中都有用。例如，为了防止信号在传输过程中，由于衰减、噪音干扰等原因而失真，就故意允许部分重复和冗余，这样在部分信息损失时，那多余的部分就起着补充的作用。日常生活中，在人声嘈杂的地方，你的情人跟你说一句悄悄话，你没有听清楚，就说“再说一遍”，你情人同一句话说两遍，就属于信息的“重复和冗余”，以弥补信息失真（第一遍你没有清楚，就是因为外界干扰引起信息失真)——所有这些，用数学理论进行描述时，正好对应“超完备性”的数学工具。