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质量的起源 (一)

- 卢昌海 -

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一. 引言

物理学是一门试图在最基本的层次上理解自然的古老科学， 她的早期曾经是哲学的一部分。 在那个时期， 物理学所关心的是一些有关世界本原的问题。 那些问题看似朴素， 却极为困难。 在后来的漫长岁月里， 物理学曾经一次次地回到那些问题上来， 就像远行的水手一次次地回望灯塔。

“质量的起源” 便是一个有关世界本原的问题。

二. 宇宙物质的组成

我们首先来界定一下所要讨论的质量究竟是什么东西的质量。 这在以前是不言而喻的， 现在的情况却有了变化， 因此有必要加以界定。 众所周知， 过去十年里观测宇宙学所取得的一个令人瞩目的成就， 就是以较高的精度测定了宇宙物质的组成， 从而使我们在宇宙学的历史上第一次可以谈论所谓的 “精密宇宙学” (precision cosmology)。

按照这种 “精密宇宙学” 为我们绘出的图景， 在宇宙目前的能量密度中暗能量 (dark energy) 约占 68%， 暗物质 (dark matter) 约占 27%， 而我们熟悉的所谓 “可见物质” (visible matter) 或 “普通物质” (ordinary matter) 只占可怜兮兮的 5% (参阅拙作 宇宙学常数、超对称及膜宇宙论)。 在这些组成部分中， 对暗能量与暗物质的研究目前还处于很初级的阶段， 尚未建立起足够具体且有实验基础的理论。 因此本文对之不做讨论。

除去了暗能量与暗物质， 剩下的就是可见物质了。 可见物质在宇宙能量密度中所占的比例虽小， 却是我们所熟知的物质世界的主体。 可观测宇宙中数以千亿计的星系， 每个星系中数以千亿计的恒星， 以及某个不起眼的恒星附近第三颗行星上数十亿的灵长类生物， 全都包含在了这小小的 5% 的可见物质之中^[注一]。

本文要讨论的便是这可见物质。

与 “暗” 字打头的其余 95% 的能量密度相比， 我们对可见物质的研究与了解无疑要深入得多。 今天几乎每一位中学生都知道， 这部分物质主要是由质子、 中子、 电子等粒子组成的。 因此很明显， 要讨论质量的起源， 归根到底是要讨论这些粒子的质量起源。

三. 从机械观到电磁观

对几乎所有受过现代教育的人来说， 最早接触质量这一物理概念都是在牛顿力学中。 在牛顿力学中， 质量是决定物体惯性和引力的基本物理量， 是一个不可约 (irreducible) 的概念。 我们知道， 在大约两百年的时间里， 牛顿力学被认为是描述物理世界的基本框架， 这就是所谓的机械观 (mechanical worldview)。 在那段时间里， 物理学家们曾经试图把物理学的各个分支尽可能地约化为力学。 很显然， 在那样一个以机械观为主导的时期里， 质量既然是力学中的不可约概念， 自然也就成为了整个物理学中的不可约概念。 不可约概念顾名思义， 就是不需要也不能够约化为更基本的概念的， 因此有关质量起源的研究在那个时期是基本不存在的^[注二]。

但是到了 19 世纪末的时候， 试图把物理学的各个分支约化为力学的努力遭到了很大的挫折。 这种挫折首先来自于电磁理论。 大家知道， 电磁理论预言了电磁波。 按照机械观， 波的传播必然有相应的介质。 但电磁波是在什么介质中传播的呢？ 却是谁也不知道。 尽管如此， 物理学家们还是按照机械观的思路假设了这种介质的存在， 并称之为 “以太” (aether)。 但不幸的是， 所有试图为以太构筑机械模型的努力全都在实验面前遭遇了滑铁卢。 在那段最终催生了狭义相对论的物理学阵痛期里， 许多物理学家艰难地试图调和着实验与机械以太模型之间的矛盾。 但与那些挽救机械观的努力同时， 一种与机械观截然相反的思路也萌发了起来， 那便是电磁观 (electromagnetic worldview)。 电磁观的思路是： 物理学上并没有什么先验的理由要求我们用力学的框架来描述自然， 机械观的产生只不过是因为力学在很长一个时期里是发展最为成熟的物理学分支而已， 现在电磁理论也发展到了不亚于力学的成熟程度， 既然无法把电磁理论约化为力学， 那何不反过来把力学约化为电磁理论呢？

要想把力学约化为电磁理论， 一个很关键的步骤就是把力学中的不可约概念——质量——约化为电磁概念， 这是物理学家们研究质量起源的第一种定量尝试。 由于当时对物质的微观结构还知之甚少， 1897 年由 Joseph John Thomson (1856-1940) 所发现的电子是当时所知的唯一的基本粒子， 因此将质量约化为电磁概念的努力就集中体现在了对电子的研究上， 由此产生了物理史上昙花一现的经典电子论 (classical electron theory)。

四. 经典电子论

经典电子论最著名的人物是荷兰物理学家 Hendrik Lorentz (1853-1928)， 他是一位经典物理学的大师。 在相对论诞生之前的那几年里， Lorentz 虽已年届半百， 却依然才思敏捷。 1904 年， Lorentz 发表了一篇题为 “任意亚光速运动系统中的电磁现象” (Electromagnetic Phenomena in a System Moving with Any Velocity Less than that of Light) 的文章。 在这篇文章中他运用自己此前几年在研究运动系统的电磁理论时所提出的包括长度收缩 (length contraction)、 局域时间 (local time) 在内的一系列假设， 计算了具有均匀面电荷分布的运动电子的电磁动量， 由此得到电子的横质量 m_T 与纵质量 m_L 分别为 (这里用的是 Gauss 单位制)^[注三]：

m_T = (2/3)(e²/Rc²)γ；    m_L = (2/3)(e²/Rc²)γ³

其中 e 为电子的电荷， R 为电子在静止参照系中的半径， c 为光速， γ=(1-v²/c²)^-1/2。 撇开系数不论， Lorentz 这两个结果所包含的质量与速度的关系与后来的狭义相对论完全相同。

但 Lorentz 的文章刚一发表就遭到了经典电子论的另一位主要人物 Max Abraham (1875-1922) 的批评。 Abraham 指出， 质量除了象 Lorentz 那样通过动量来定义， 还应该可以通过能量来定义。 比方说纵质量可以定义为 m_L=(1/v)(dE/dv)^[注四]。 但简单的计算表明， 用这种方法得到的质量与 Lorentz 的结果完全不同。

这说明 Lorentz 的电子论是有缺陷的。 那么缺陷在哪里呢？ Abraham 认为是 Lorentz 的计算忽略了为平衡电子内部各电荷元之间的相互排斥所必需的张力。 没有那样的张力， Lorentz 的电子会在各电荷元的相互排斥下土崩瓦解^[注五]。 除 Abraham 外， 另一位经典物理学大师 Henri Poincaré (1854-1912) 也注意到了 Lorentz 电子论的这一问题。 Poincaré 与 Lorentz 是 Einstein 之前在定量结果上最接近狭义相对论的物理学家。 不过比较而言， Lorentz 的工作更为直接， 为了调和以太理论与实验的矛盾， 他提出了许多具体的假设， 而 Poincaré 往往是在从美学与哲学角度审视 Lorentz 及其他人的工作时对那些工作进行修饰及完善。 这也很符合这两人的特点， Lorentz 是一位第一流的工作型物理学家 (working physicist)， 而 Poincaré 既是第一流的数学及物理学家， 又是第一流的科学哲学家。 在 1904 至 1906 年间， Poincaré 亲自对 Lorentz 电子论进行了研究， 并定量地引进了为维持电荷平衡所需的张力， 这种张力因此而被称为了 Poincaré 张力 (Poincaré stress)。 在 Poincaré 工作的基础上， 1911 年 (即在 Einstein 与 Minkowski 建立了狭义相对论的数学框架之后)， 德国物理学家 Max von Laue (1879-1960) 证明了带有 Poincaré 张力的电子的能量动量具有正确的 Lorentz 变换规律。

下面我们用现代语言来简单叙述一下经典电子论有关电子结构的这些主要结果。 按照狭义相对论中最常用的约定， 我们引进两个惯性参照系： S 与 S'， S' 相对于 S 沿 x 轴以速度 v 运动。 假定电子在 S 系中静止， 则在 S' 系中电子的动量为：

p'^μ = ∫_t'=0T'^0μ(x'^ξ)d³x' = L⁰_αL^μ_β∫T^αβ(x^ξ)d³x'

其中 T 为电子的总能量动量张量， L 为 Lorentz 变换矩阵。 由于 S 系中 T^αβ 与 t 无关， 考虑到：

∫T^αβ(x^ξ)d³x' = ∫T^αβ(γx', y', z')d³x' = γ^-1∫T^αβ(x^ξ)d³x

上式可改写为：

p'^μ = γ^-1L⁰_αL^μ_β∫T^αβ(x^ξ)d³x

由此得到电子的能量与动量分别为 (有兴趣的读者可试着自行证明一下)：

E = p'⁰ = γm + γ^-1L⁰_iL⁰_j∫T^ij(x^ξ)d³x

p = p'¹ = γvm + γ^-1L⁰_iL¹_j∫T^ij(x^ξ)d³x

这里 i, j 的取值范围为空间指标 1, 2, 3， m=∫T⁰⁰(x^ξ)d³x， 为了简化结果， 我们取 c=1。 显然， 由这两个式子的第一项所给出的能量动量是狭义相对论所需要的， 而 Lorentz 电子论的问题就在于当 T^μν 只包含纯电磁能量动量张量 T_EM^μν 时这两个式子的第二项非零^[注六]。

那么 Poincaré 张力为什么能避免 Lorentz 电子论的这一问题呢？ 关键在于引进 Poincaré 张力后电子才成为一个满足力密度 f^μ=∂_νT^μν=0 的孤立平衡体系。 在电子静止系 S 中 T^μν 不含时间， 因此 ∂_jT^ij=0。 由此可以得到一个很有用的关系式 (请读者自行证明)： ∂_k(T^ikx^j)=T^ij。 对这个式子做体积分， 注意到左边的积分为零， 便可得到：

∫T^ij(x^ξ)d³x =0

这个结果被称为 von Laue 定理 (von Laue's theorem)， 它表明我们上面给出的电子能量动量表达式中的第二项为零。 因此 Poincaré 张力的引进非常漂亮地保证了电子能量动量的协变性。

至此， 经过 Lorentz， Poincaré， Laue 等人的工作， 经典电子论似乎达到了一个颇为优美的境界， 既维持了电子的稳定性， 又满足了能量动量的协变性。 但事实上， 在这一系列工作完成时经典电子论对电子结构的描述已经处在了一个看似完善， 实则没落的境地。 这其中的一个原因便是那个 “非常漂亮地” 保证了电子能量动量协变性的 Poincaré 张力。 这个张力究竟是什么？ 我们几乎一无所知。 更糟糕的是， 若真的完全一无所知倒也罢了， 我们却偏偏还知道一点， 那就是 Poincaré 张力必须是非电磁起源的 (因为它的作用是抗衡电磁相互作用)， 而这恰恰是对电磁观的一个沉重打击。

就这样， 试图把质量约化为纯电磁概念的努力由于必须引进非电磁起源的 Poincaré 张力而化为了泡影。 但这对于很快到来的经典电子论及电磁观的整体没落来说还只是一个很次要的原因。

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注释

1. 当然， 这一说法并不严格， 在星系所占据的空间范围内也有数量可观的暗物质及暗能量， 我们这里指的只是光学观测意义上的星系。
2. 这里有一个著名的例外是 Ernst Mach (1838-1916)， 他对 Newton 绝对时空观的批判性思考启示了这样一种观念， 那就是一个物体的质量 (惯性) 起源于宇宙中其它星体的作用。 Mach 的想法曾对 Einstein 产生过影响， 并且直到现在还有一些物理学家在研究， 但它与广义相对论的定量结果及对惯性各向异性的测量结果并不相符。 因此我们不把它列为有关质量起源的具体理论。
3. Lorentz 所用的质量定义是 m(dv/dt)=dp/dt， “横质量” 与 “纵质量” 分别对应于 v 与 dv/dt 垂直及平行这两种特殊情况。
4. 当时还没有 Einstein 的质能关系式， Abraham 的这一关系式是一个简单的力学关系式， 读者不妨自行推导一下。
5. 如上所述， Abraham 也是经典电子论的代表人物， 有读者可能会问， 他自己的电子模型又如何呢？ 与 Lorentz 不同， Abraham 所用的是一个绝对刚性的电子模型， 因此在他的模型中不需要引进对能量有贡献的张力。 他的模型一度曾被认为比 Lorentz 的模型更符合实验， 但那实验——即德国物理学家 Walter Kaufmann (1871-1947) 的实验——后来被证实是有缺陷的。
6. 有兴趣的读者可以进一步证明这样一些结果： 1. 对于球对称均匀面电荷分布， ∫T_EM⁰⁰(x^ξ)d³x = (1/2)e²/R； 2. 对于任意球对称电荷分布， ∫T_EMⁱⁱ(x^ξ)d³x = (1/3)∫T_EM⁰⁰(x^ξ)d³x； 3. 由 1 和 2 证明 Lorentz 有关 m_T 与 m_L 的公式； 4. 证实 Abraham 对 Lorentz 的批评， 即用 m_L=(1/v)(dE/dv) 定义的质量与 Lorentz 的结果不同。

二零零五年三月二十六日写于纽约
二零零五年三月二十六日发表于本站
二零一四年十一月十一日最新修订
https://www.changhai.org/

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