季候风：

有时候物理理论和数学理论研究类似的对象, 但是由于各自独立的发展, 所使用的术语有很大的差别; 有时候物理学家先发展了一些理论, 数学家从中找到一些有趣的结构加以进一步研究; 有时候物理学家发现他们的理论可以用来解释一些神秘的数学现象和令人困惑的数学理论......以下这个 "词典" 就试图部分总结一下以上提到的这几种 "物理/数学 对偶", 抛砖引玉, 欢迎补充.

经典力学 <----> 辛几何

位形空间 / 微分流形

相空间 / 余切丛

Hamilton 正则方程 / 辛梯度场

运动方程的解 / Hamilton 流动

正则变换 / 辛同胚, Lagrange 子流形

Hamilton-Jacobi 方法 / 等值面极化

狭义相对论 <----> 群表示论

标量 / SO(3,1) 的平凡表示空间中的元素

矢量 / SO(3,1) 的定义表示空间中的元素

张量 / SO(3,1) 的定义表示空间及其对偶的张量积中的元素

旋量 / SL(2,C) 的二维不可约表示空间及其对偶的张量积中的元素

量子论 <----> 泛函分析

右矢 / Hilbert 空间的元素

左矢 / 对偶空间的元素

算符 / 算子

共轭算符 / 伴随算子

算符作用于左矢 / 对偶算子

Hermite 算符 / 自伴算子

本征值 / 谱点

离散本征值 / 点谱

连续本征值 / 连续谱

算子微积 / Gelfand 表示

delta 函数 / delta 泛函

位移算符 / 空间平移群的酉表示的无穷小生成元

时间演化 / 酉算子群

Schrodinger 方程 / Stone 定理

表象 / Hilbert 空间的形式及正交基的选取

表象变换 / Hilbert 空间同构

Schrodinger 表象 / Stone-von Neumann 定理

路径积分 / Wiener 测度

规范场论 <----> 纤维丛的几何

场 / 丛的截面

整体对称性(规范群) / 纤维空间的自同构群

规范对称性 / 丛的自同构群

规范势 / 主丛上的联络

规范力 / 联络的曲率

规范荷 / 规范群的表示

带荷的物质场 / 规范群表示从主丛诱导的向量丛的截面

协变导数 / 主丛上的联络诱导的向量丛上的联络

规范 / 局部平凡化

规范不变的 / 丛上整体定义的, 或者在丛的自同构下不变的

Maxwell 方程组 / Hodge 理论

弦论 <----> 拓扑学? 几何学? 新拓扑学? 新数学?

非线性 sigma 模型 / Morse理论, Floer理论, Gromov-Witten 理论

拓扑弦 / 低维流形不变量 ( Khovanov-Rozansky, Jones-Witten, ...), Langlands 猜想(?)

B-场 / 扭曲 K-理论

共形场论 / 魔群, 月光模

拓扑共形场论 / 弦拓扑(?)

???

量子场论 <----> 低维拓扑

Abel群 Chern-Simons 场论 / 链接数, 挠数

超对称量子场论 / Donaldson 不变量

紧群 Chern-Simons 场论 / Jones-Drinfeld 不变量

微扰 Chern-Simons 场论 / Vassiliev 不变量

3维引力 / 双曲几何

Liouville 共形场论 / Teichmuller 理论

N=2 超对称量子场论 / Seiberg-Witten 不变量

N=4 超对称量子场论 / 几何 Langlands 计划

星空浩淼 ：

呵呵，很不错的好帖子！

不过我有几个疑问（有些地方许久没有摸过，生疏了，那问题就不提了）：

1）“矢量 / SO(3,1) 的定义表示空间中的元素；张量 / SO(3,1) 的定义表示空间及其对偶的张量积中的元素” 这个地方似乎应该一视同仁。这里的矢量作为一阶Lorentz张量，有逆变和协变之分时，才有“对偶”的定义。如果张量有对偶张量，则矢量也一样。

2）“时间演化 / 酉算子群”这里的对应不是一一的，酉算子群不仅仅有时间演化算子构成的群。

3）“规范荷 / 规范群的表示”，这个对应，好像杨振宁和陈省身他们都没有找到，即他们不知道源在纤维几何中对应什么，在他们的对应中，源→？

4）“本征值 / 谱点；离散本征值 / 点谱；连续本征值 / 连续谱”

这个地方令我糊涂了。我们知道，有限维空间上线性算子的谱即其特征值全体；而无限维空间上线性算子的谱由三个部分组成：用A表示算子，I表示单位矩阵，λ表示一个复数，则令（λI-A）不可逆的λ集合，构成A的谱集。其中特征值全体构成点谱（不是谱点）；另外两个部分是“剩余谱”和“连续谱”（文字说明比较麻烦我就不说了，反正对季候风兄而言，点到就行）。

物理学家为了研究量子力学的基础，不得不从严格的泛函分析角度来熟悉量子力学的数学结构，此时物理术语和数学术语是统一的。国内的量子力学教材多如牛毛，可惜都是大同小异。国外有些量子力学书籍，可能从第一页开始就感觉从未见过，内容和研究角度是全新的。国内到现在还没有人编写过“量子力学基础”的书籍（是foundation，不是basic或者fundamental ），从"鱼"的角度，国内似乎只落后于国外二三十年，但从“渔”的角度，可能落后一百年（有俗语说：给人以鱼不如授人以渔）。

再补充一点：

“表象 / Hilbert 空间的形式及正交基的选取；表象变换 / Hilbert 空间同构”

量子力学中有两种意义上的“表象”，上面只谈到一种：

1）例如坐标表象，动量表象，能量表象等等，此时的含义就是上面说的“Hilbert 空间的形式及正交基的选取”，选择不同算子的本征矢集合中的一组正交归一完备基矢张成Hilbert空间。

2）以Schrodinger表象与Heisenberg表象为例，此时对应如何看待Hilbert 空间坐标架的转动（酉变换）：认为坐标架转动，矢量（即算子）不动，这是被动观点，是Schrodinger表象描述；认为坐标架不动，矢量（即算子）在转动，这是主动观点，是Heisenberg表象描述。

“Hermite 算符 / 自伴算子”

以我个人经验，不区分Hermitian、symmetric和self-adjoint三种概念，实在害人不浅！国外的量子力学教材从50年代以后，大多就开始小心翼翼地作了区分。如果一开始形成印象，感觉Hermitian operator就是self-adjoint operator，结果无法进行正常的学术交流和消化参考文献，给科研工作带来误导。

如果季候风兄有兴趣钻研量子力学，推荐两本书（在此也向其他人学物理的人推荐）：

1）G. Ludwig, Foundations of Quantum Mechanics, Springer-Verlag,1983

2) V. S. Varadarajan, Geometry of Quantum Theory (Second Edition),Springer-Verlag,1985.

当然，如果事先学过一般的量子力学教材（量子力学和高等量子力学），再学上面这两本书，效果就好多了。

Omni：

“规范场论 <----> 纤维丛的几何”

Your post is very inspiring! I remember that this "glossary mapping approach" was first used by Wu & Yang in their 1975 paper:

http://prola.aps.org/abstract/PRD/v12/i12/p3845_1

Phys. Rev. D 12, 3845–3857 (1975)

Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields

Tai Tsun Wu*（Gordon McKay Laboratory, Harvard University, Cambridge, Massachusetts 02138 ）

Chen Ning Yang§（Institute for Theoretical Physics, State University of New York, Stony Brook, New York 11794 ）

Received 8 September 1975

Through an examination of the Bohm-Aharonov experiment an intrinsic and complete description of electromagnetism in a space-time region is formulated in terms of a nonintegrable phase factor. This concept, in its global ramifications, is studied through an examination of Dirac's magnetic monopole field. Generalizations to non-Abelian groups are carried out, and result in identification with the mathematical concept of connections on principal fiber bundles.

Omni：

I don't have access to the fulltext of this paper, but I know there is an interesting list of glossary mapping at the end of it. I like your extension of this approach to other correspondences between mathematics and physics, those connections are pretty amazing and inspired Yang's famous poem:

赞陈氏级(杨振宁, １９７５年)

天衣岂无缝，匠心剪接成。

浑然归一体，广邃妙绝伦。

造化爱几何，四力纤维能。

千古寸心事，欧高黎嘉陈。

星空浩淼 ：

“还请星空兄解释Hermitian operator和self-adjoint operator的区别（kanex）”

Let A be a linear operator mapping the Hilbert space H into itself, D(A) stands for the domain of A, D'(A) the closed set of D(A), D(A) is dense in H.

A^+ is the Hermitian adjoint of A.

we have:

1) A is Hermitian if =, for any |x>, |y>∈D(A), D'(A) belongs to H;

2)A is symmetric if =, for any |x>, |y>∈D(A), D'(A) =H;

3)A is self-adjoint if it is symmetric and A=A^+, D(A)=D(A^+) so that <x|Ay>=<A^+x|y>.

For Example, there exists a Hermitian time operator, but a self-adjoint time operator cannot exist.

季候风 ：

“这个地方似乎应该一视同仁。这里的矢量作为一阶Lorentz张量，有逆变和协变之分时，才有“对偶”的定义。如果张量有对偶张量，则矢量也一样。”

2）“时间演化 / 酉算子群”这里的对应不是一一的，酉算子群不仅仅有时间演化算子构成的群。”

3）“规范荷 / 规范群的表示”，这个对应，好像杨振宁和陈省身他们都没有找到，即他们不知道源在纤维几何中对应什么，在他们的对应中，源→？”

星空兄补充得好. 矢量和张量在这里可以统一起来说; 空间平移也应该是酉算子群, 不过要注意空间坐标在量子力学中并非参数而是算子的特征值, 而在场论中, 空间平移和时间平移才是平等的四个单参数酉算子群; 荷同表示的对应在电磁理论里也许并不明显, 不过在色动力学里, Wilson 算子的构造中, 需要对规范场沿回路的积分取迹 --- 既然规范理论可以对抽象群定义, 这个取迹实际上就要求先指定一个表示, 而色荷就对应于SO(3) 群的三维不可约表示(定义表示). 至于在色动力学中有没有其它的 "荷" ( SO(3) 的其它表示 ), 我就不知道了.

“其中特征值全体构成点谱（不是谱点）；另外两个部分是‘剩余谱’和‘连续谱’”

正常算子都没有剩余谱 --- 几乎所有在物理理论中重要的算子, 自伴, 酉, 都是正常算子. 还有一种对谱集的划分, 也许跟量子力学有更紧密的联系, 即 {谱点} = {离散谱点} U {本质谱点}.

“认为坐标架转动，矢量（即算子）不动，这是被动观点，是Schrodinger表象描述；认为坐标架不动，矢量（即算子）在转动，这是主动观点，是Heisenberg表象描述。”

跟时间演化有关的这种选择方式, 按照我的理解, 一般叫做 "图像", 或者 "绘景". 坐标系随时间变化的情况乃是在 Heisenberg 绘景中取运动算符的共同本征右矢作为基. 在 Dirac 推倒传播子的过程中, 使用的实际上是Heisenberg 绘景和Schrodinger表象(坐标对角).

“Hermite 算符 / 自伴算子”

在我读过的泛函分析教材中没有 "Hermite" 算子这个说法. 在有限维, 有 Hermite 矩阵的说法. Dirac 当初写书的时候, 并不太在意有限维同无穷维的分别, 所以用了 Hermite 算符这个说法. 实际上也许 Hermite 并没有对泛函分析作出什么贡献. 在数学中 Hermite 在相关领域只限于指代 "共轭转置" 这个矩阵操作.

“1) A is Hermitian if =, for any |x>, |y>∈D(A), D'(A) belongs to H;”

“2)A is symmetric if =, for any |x>, |y>∈D(A), D'(A) =H;”

对数学家而言, 无界算子还只能单个进行研究 ( 全体有界算子组成 Banach 代数, 已经有成熟的数学理论 ). 所以如果一个算子的定义域不稠密, 我们总是将全空间缩小到定义域的闭包上, 从而假定所有的算子都是稠定的. 也许物理上有必要研究成群的无界算子, 做这种区分是有必要的, 不过这并非是 Hermite 算符的本义. Dirac 的所谓 Hermite 算子就是数学家所说的自伴算子.

windowsxp ：

我对变形体理论很感兴趣。想知道旋量分析的一些东西，只不过没有相关的资料。谁可以给出旋量的严格数学定义，并给出旋量分析的一般的数学框架。对物理中旋量的应用我不熟。记得曾看过星空大哥还是萍踪大哥写过的一片介绍旋量的文章很好，只是没有给出旋量的数学定义。谢了 。

星空浩淼

季候风兄解释得很清楚。我上面有不少地方表达有欠缺，例如算符并不是Hilbert空间中的“矢量”，我为了通过类比说明Schrodinger绘景和Heisenberg绘景之间的分别与关系，就把它当作矢量。"绘景"一词，英文有picture和representation两种单词，所以中文里面也把“绘景”翻译成“表象”，这是我上面补充说明的原因。

等你把这个词典内容想得更多更完善了，不妨重新发一个更完整的，呵呵！

我记得量子场论的泛函积分表述，与量子统计力学之间，也有一个很有趣的对应，前者的虚时间对应后者的温度。

to windowsxp：要在这上面清晰而完整地解释什么是旋量，是很费劲的（至少对我是这样）。如果你想弄清楚它的含义，先把群的表示理论弄熟。另外，事先熟悉一下角动量的量子力学理论，也有助于理解它。

季候风：

解释旋量正如星空兄所说不太容易...你似乎是数学背景, 这样也许会让事情变得容易些

纯粹从数学角度来说, 一个李群的有限维表示跟其李代数的有限维表示不一定是一一对应 ---- 只有单连通李群具有这个性质. Lorentz 群 SO(3,1), 更一般的, 任何正交群和伪正交群 SO(m,n) , 基本群都是 Z/2Z. 所以它们都有一个二次复叠是单连通李群, 这些群就叫 Spin(m,n).

伪黎曼流形的切丛具有相应的 SO(3,1) 主丛, 如果这个主丛可以 "提升" 为一个 Spin(m,n) 主丛, 那么这个流形就叫做 Spin 流形, 没一个提升叫做流形上的一个 Spin 结构.

当然, 这些都是数学家的马后炮. Spin 结构来源于 Dirac 对相对论量子力学的研究 ---- d'Alembert 微分算子是协变的, 但是对时间二次导数, 不符合 Dirac 对于量子力学的信仰 ---- 系统当前的状态独自就能决定之后的演化, 即运动方程必须只含对时间的一次导数. 要得到一个既协变又线性的微分算子, 必须引入所谓 gamma 矩阵, 满足某些类似反交换的性质. 这些 gamma 矩阵按现在的数学语言, 就是Minkowski 空间的切空间作为内积空间的 Clifford 代数的表示.

在平坦的4维 Minkowski 空间, 指定四个4阶 gamma 矩阵就足够了, 波函数必须能被这些 gamma 矩阵作用, 所以必须具有4个分量, 这样波函数是空间上的向量值函数, 但是这些 "向量" 属于 Clifford 代数的表示空间. 这些 gamma 矩阵实际上可以由跟电子自旋有关的Pauli 矩阵构造出来, 所以被这些 gamma 矩阵作用的向量被叫做 "旋量". Gamma 矩阵能够由 Pauli 矩阵构造这个事实意味着Minkowski空间的 Clifford 代数的表示同 Spin(3,1) 群的表示是相容的.

在一般(伪) 黎曼流形上, 必须在每一点做一个该点切丛的 Clifford 代数的表示, 而且这些表示必须要能够光滑地放在一起形成一个丛. 如果我们确实能够做到这一点, 那么这个流形的切丛对应的 SO(m,n) 主丛就能提升为一个 Spin(m,n) 主丛.

在一般(伪) 黎曼流形上, 必须在每一点做一个该点切丛的 Clifford 代数的表示, 而且这些表示必须要能够光滑地放在一起形成一个丛. 如果我们确实能够做到这一点, 那么这个流形的切丛对应的 SO(m,n) 主丛就能提升为一个 Spin(m,n) 主丛.

http://www.cgtp.duke.edu/ITP99/segal/

这是我看到的最为简捷易懂的定义, 在其中的 TFT(2) 笔记中.

windowsxp :

多谢两位两位的指点，特别季候风老兄的解释让我似乎通了点

"伪黎曼流形的切丛具有相应的 SO(3,1) 主丛, 如果这个主丛可以 "提升" 为一个 Spin(m,n) 主丛, 那么这个流形就叫做 Spin 流形, 没一个提升叫做流形上的一个 Spin 结构. "

"在一般(伪) 黎曼流形上, 必须在每一点做一个该点切丛的 Clifford 代数的表示, 而且这些表示必须要能够光滑地放在一起形成一个丛. 如果我们确实能够做到这一点, 那么这个流形的切丛对应的 SO(m,n) 主丛就能提升为一个 Spin(m,n) 主丛. "

这些都理解了。非常精辟。只是对于Clifford 代数还不熟，看来我还有很多东西要补充学习才行。

对于表示论我略微了解一点其基本思想，但我对物理学家的那一套缺乏理解。我想学数学和学物理的人在思维方法上最大的差异就是 数学家喜欢思考一般的东西，物理学家则擅长处理具体的东西。

对于一个学数学的人，最重要的就是要把问题的提法和概念定义清楚。否则的话，你想向他介绍点东西那是很困难的。就像我一样，在把问题和概念搞明白之前，任何东西都不会对我的理解有帮助。

我比较容易接受直截了当的定义，直接把问题的本质找出来，我喜欢形式化和公理化。

对于群的表示论，或者说所谓的表示论的思想，我只把他们看作一种研究抽象结构的一种方法和工具。但是，似乎物理学家则喜欢用他们定义一些对象。他们似乎不区分一个对象和该对象的表示。对于张量，我了解一点。我将比较物理教材和数学教材中对张量的定义和处理。

比如季候风老兄的："标量 / SO(3,1) 的平凡表示空间中的元素;矢量 / SO(3,1) 的定义表示空间中的元素;张量 / SO(3,1) 的定义表示空间及其对偶的张量积中的元素;旋量 / SL(2,C) 的二维不可约表示空间及其对偶的张量积中的元素;"

老兄的上述话，应该认为只是给出了一种联系或启示。我想老兄本人也不认为这些是定义吧。 呵呵，不知老兄是那个部分的，搞数学的还是搞物理的？

从数学的角度来讲，张量就是流形上切向量场和余切向量场空间上的多线性泛函。张量场全体构成一个线性空间，也是一个非交换的结合代数。标量场补充定义为零阶张量场。关于标量场，张量场全体构成一个分次模。 这些定义应该说明了张量场的全部内涵，我认为这种不变形式的定义更能说明问题，要比古典的用坐标变换下的变换规则的方式定义要好。。从定义可以看到，张量的定义在所有的微分流形上都有意义。 这些东西，我觉得很多网友都熟息，只是他们喜欢自己习惯的那一套。对于学物理的，他们则可能更容易接受用多指标元素集合来定义张量，或者用并矢空间来定义。

另外，从物理教材上看到，物理学中用到的张量，外延要小一些。他们考虑的问题总是和空间的度量有关，定义了度量的空间，其上的几何就丰富多了，至少有了一个自然的对偶，也就是协变和逆变对象的差异消失了。并且进一步的他们通常还要考虑切空间的一些变换，这样他们就重点考虑那些在作对称性分析中有特殊意义的张量，有时候他们甚至制定义这样的张量，从而导致了张量的定义更加多样化。

为了进一步的理解，我在提出几个问题，网友们可以力所能及的选答:

为什么要定义旋量？旋量在数学和物理中的重要性如何？或者说，旋量有利于刻画那些重要的数学和物理现象？

旋量全体是否能够成为一种代数结构？若是的话，这种代数结构包括了那些运算，这些运算的性质有哪些？

旋量是依赖于度规的？能否在一般的微分流形上定义旋量？

旋量分析是如何可能的？或者说，流形上的联络结构是如何使得旋量分析成为可行的？

季候风 :

"老兄的上述话，应该认为只是给出了一种联系或启示。我想老兄本人也不认为这些是定义吧。 呵呵，不知老兄是那个部分的，搞数学的还是搞物理的？"

这里我可能弄巧成拙了. 我的本意是把张量旋量放在一个框架里, 现在看来的确有点别扭, 甚至是错误的. 物理里的张量跟数学上定义的张量并无不同. 在物理学中, 当然没有充分的理由 "内在地" 定义概念, 所有的量都是被测量出来的, 在做测量的时候就已经选定了一个 Lorentz 参照系. 用变换性质来定义物理量是最自然的. 不过你这个评述也突然让我迷惑了: 有没有 Lorentz 协变但是不对一般线性坐标变换协变的量呢? 在物理这个问题似乎没有意义, 所有惯性系之间的变换都是等距的. 今天没时间想这个问题了.

"为什么要定义旋量？旋量在数学和物理中的重要性如何？或者说，旋量有利于刻画那些重要的数学和物理现象？"

"旋量全体是否能够成为一种代数结构？若是的话，这种代数结构包括了那些运算，这些运算的性质有哪些？"

"旋量是依赖于度规的？能否在一般的微分流形上定义旋量？"

"旋量分析是如何可能的？或者说，流形上的联络结构是如何使得旋量分析成为可行的？"

大家要研究 Dirac 方程就自然要研究旋量了. 旋量对于四维流形的研究尤其重要. Dirac 算子也是流形上重要的微分算子之一, 它的分析性质提供了大量拓扑信息. 物理上的重要性就不用说了. 所有的场都是Spin(3,1) = SL(2,C) = SU(2) + i SU(2) 的不可约表示. SU(2) 的任一不可约表示都包含在二维不可约表示 (旋量表示) 的某个自张量积之中. 也就是说, 旋量可以用来构造所有的场.

旋量是Spin bundle 的截面, 它的全体自然是一个无穷维线性空间, 就像全体切向量场的空间一样.

旋量自然是依赖于度量的, 但是 Spin structure 至少在三维有纯拓扑的解释, 三维流形上的一个 Spin^c structure 是一个非零切向量场在某个关系下的等价类. Spin^c 是跟 Spin 类似的东西.

黎曼流形的 Levi-Civita 联络通过一个自然的相容条件诱导 Spin bundle 上的联络.

还是读书吧~~~~在这里也就是听个新鲜.

不好意思, 太马虎, 没有区别好旋量和旋量场............大多数教材里也不太区分倒是, 根据上下文意义自明.

旋量是指旋量表示的表示空间里的元素, 全体旋量自然就是那个表示空间了. 旋量场就是在时空每一点指定一个旋量了.

之前有时候说旋量是 Clifford 代数表示空间的元素, 有时候又说是 Spin(m,n) 表示空间的元素. 这两个定义的等价性有 "内在" 解释, 就是 Spin(m,n) 包含于 Clifford( V(m,n) ) 之中.

kanex :

"不过你这个评述也突然让我迷惑了: 有没有 Lorentz 协变但是不对一般线性坐标变换协变的量呢? 在物理这个问题似乎没有意义, 所有惯性系之间的变换都是等距的. 今天没时间想这个问题了."

i think we can't glue fermions together to form a field if they are not invariant under translations.

卢昌海 :

"有没有 Lorentz 协变但是不对一般线性坐标变换协变的量呢?"

有，比如η≡diag(1,-1,-1,-1)就是Lorentz变换下的二阶张量，但不是一般线性变换下的张量。不过，这种量可以通过用线性变换本身来定义分量使之成为一般线性变换下的张量（但这样定义后η≡diag(1,-1,-1,-1)不再普遍成立）。

如果允许这种改变定义的做法，那么Lorentz协变但不对一般线性坐标变换协变的量应该属于那些对Lorentz群存在、但对一般线性群GL(4,R) 不存在的表示，旋量就是那样的量（kanex想表示的或许是类似的意思，不过这与是否 invariant under translations 没什么关系，与是否能够 form a field 也没什么关系，因为这个问题完全可以是一个 local 的问题）。

二零零六年六月一日