（给出这个帖子，首先是想让大家看看我写得好不好，准不准确；其次才是传授科普知识。）

1）预备说明（可以先跳过这一段）：从矢量到高阶张量的推广，如同从线→二维面→三维面→…→体的推广一样，通常“线矢量”可以用一维的基矢展开，“二维面矢量”用二维基矢展开（即用二阶张量基展开）…如此类推。——由于二阶反对称张量可以表达成一阶赝张量（即赝矢量），所以我们通常看到的“二维面矢量” 还是用一维基矢展开的。张量可以表达成旋量，但反之就不一定，例如半整数自旋的旋量就无法表达成张量，这说明旋量更为基本。在张量的现代表述中，都是表达成用张量基展开的形式。另外，事实上，N次微分形式，不过是N阶反对称协变张量的表达式而已。描述旋量的分量指标，常常是某种角动量及其组合，角动量跟旋转有关，所以旋量这一称呼有些顾名思义。

2）群与群表示：群其实就是一堆“操作、变换作用”的集合，集合中的每个元代表一种操作，群元之间定义的乘积表示执行了一个操作再接着另外一个操作，对乘积和群元的要求要满足群的定义。有了操作，还需要被操作的对象，这些被操作的对象集合，就是群作用的空间，也是群的表示空间——有时候，也直接把表示空间中的元素称为群的什么什么表示，但实际上群的表示不是指这个。群元代表的“操作”，要通过它对被操作的对象所产生的变换作用来体现，这样，群好比是灵魂，被操作的对象好比是肉体，灵魂投胎到不同的肉体上，就有了不同的具体的人，这个人就是灵魂的表示，肉体就是灵魂的表示空间。同一个群，在不同的表示空间，就有了不同的表示。也即同一个群元，在不同的操作对象上，所体现出来的变换作用也不同，这种不同的变换作用，就是群元的不同的具体表示。常常说，某某空间负载群的一个什么什么表示，这句话是顾名思义的。

例如Lorentz群，如果对Dirac场进行Lorentz变换，Dirac场是表示空间，相应的变换矩阵集合，对应Lorentz群的Dirac旋量表示。对时空四矢进行变换，变换矩阵集合就是通常所讲的SO(3,1)表示，此时时空四矢集合就是表示空间。但要注意的是，如果把时空坐标四矢中的X,Y 改为W(±)＝X±iY（i是虚数单位），其他不变，那么在Lorentz变换下的变换矩阵就不同于原来的，而是对应矢量的旋量表示下的变换矩阵——例如对光极化方向的描述，既可以看它沿X,Y轴的偏振分量大小（此时是矢量描述），也可以看它的左圆极化和右圆极化分量大小（此时是旋量描述）。其他的如此类推。再例如，对于单粒子体系，把三维动量矢量和三维空间坐标矢量直和在一起，构成6×1列矩阵（即相空间元素），在Lorentz变换下，变换矩阵集合对应Lorentz群的辛表示。另外，群的表示是群元到群表示的一个同态映射，而不仅仅是其中所包含的同构映射（后者称为忠实表示），即在有些表示空间，几个群元对被操作对象的操作作用是一样的，此时这几个群元在表示上不可分辨，于是群元和群表示之间是多对一的关系（双值表示则非常特殊，是一对二的关系，严格说来此时已经不叫做表示了）。所有群元都对应一个单位矩阵表示，则是平凡表示。所以说，平凡的，好像也是没有什么意思的。

李群作用于某表示空间中各元素时的变换矩阵，通常可以表达成指数形式，例如exp(itA)，其中t是群参数，A是所谓的生成元，生成元矩阵满足的一些对易关系，给出了原李群的李代数。人们还可以通过生成元，来对群表示以及相应的表示空间进行分类，例如通常研究的表示空间是由某波场支撑成的Hilbert 空间（相应的波场也常常称为群的什么什么表示，其实它是负载群的某个表示的表示空间），因此要研究我们这个世界存在那些物质，可以通过研究Lorentz 群的所有可能的表示来完成。但要注意，相同的李代数可以对应不同的群（即群的几何流形不拓扑同胚）。

3）举个例子粗糙说明。Lorentz群的无穷小生成元对应张成表示空间的波场的四维自旋张量S，它满足李代数。为了标记Lorentz群的不同旋量表示，可以把无穷小生成元的纯空间分量（即自旋矩阵）和时空分量（即Lorentz boost生成元）分别记成L和K，再记J(±)＝L±iK （i是虚数单位），用（J（+），J（－））来标记Lorentz群的不同旋量表示。这时候，电磁场的规范四势，作为时空四矢，可以负载Lorentz群的SO(3,1)表示；而作为旋量，用（J（+），J（－））来标记Lorentz群的表示时，对应(1/2/,1/2)表示。同样电磁场张量负载 Lorentz群的张量表示，而用（J（+），J（－））来标志Lorentz群的旋量表示时，电场和磁场分别负载Lorentz群的（1，0）和（0， 1）表示。顺便一提的是，用电场的三个分量和磁场的三个分量(后三个分量乘以一个虚数单位)构成6×1列矩阵，此时Lorentz群在这种六分量的旋量空间上，有了一个直和表示(1,0)＋(0,1)。对于自旋为1的矢量场，在Lorentz群下的无穷小生成元矩阵，不是可逆矩阵，因此它们虽然可构成李代数，但不够成通常意义下的代数，而是构成环。

二零零五年三月十日