同调论的发展主要受Algebraic Topology 的动力，可以用同调群来判断两个空间是否同 胚（具体说应该是有限维的可剖分空间），因为同调群是拓扑不变的，结合几何的直 观，同调（HT）是很好理解的，就是一个闭链群模边缘链群的商群，闭链群对应“有可 能成为边”这一几何直观，而边缘链群对应“不是实在的边”。上同调虽然和同调大致 一样，但是上同调更复杂，更难看得见，（因为一个上链作为一个“泛函”是很难看得 到的）。同调是一个协变函子，而上同调是一个逆变函子，一个逆字仿佛就被蒙上了一 层难的阴影。一般地，我们有两种复形，即链复形和上链复形，正是由此，我们才有了 同调和上同调，于是，我们可以对复形进行分类了，即所谓的同调等价方法。如果我们 对同调引进right exact functor and left exact functor ，那么你就走到了 Homological Algebra （HA）的门前，在HA里，你可以看到许多让你头疼的函子，其实 这些函子只是为了量度对于正合性的偏离程度罢了，没有必要紧张。另外，正因为同调 群和上同调群是拓扑不变量，，那么计算他们就显得很重要了，一般的计算都是不容易 的。尽管同调论很有威力，但我们知道，所有的无限维Hilbert space都是同胚的，所 以，同调论对无限维流形的作用不是很大，这就促使发展局部同调论的技巧，在流形 中，通常用切除的概念把局部和整体的变量联系起来，从而，从局部得到一些整体的拓 扑信息，在流形的同调论中，最重要的就是Poincare 对偶性了，因为它把同调的几何性 和上同调的因为有乘积运算而更加容易计算的方便性集于一身，这个好处后来进一步的 发展成了所谓的intersection theory 。我想对此，还是就此打住为好。 回忆一下范畴论里的对偶原则，就容易理解同调和上同调有很多相同的性质 了，特别是复形K的上同调群完全由它的同调群决定（反之也成立），下面这个定理很好 的反映了它们之间的关系。复形K的同调群与上同调群之间有这样的关系：1）Hk（K）和 H^(k)(K)具有相同的自由群部分；2）Hk（K）和H^(k+1)(K)具有相同的有限子群部分。 尽管如此，同调和上同调无论在定义还是在作用上，都有不同之处。首先，同调群只利 用了“甲的边界包含乙”这一半，而另一半“乙出现在甲的边界中”，也即由低维图 形，按边界关系，去找那些使它出现在其边界中的高一维图形这一半还没有利用，上同 调群正是这一半开发的结果。简单的说，同调是从高维走向低维，而上同调却是由边界 出发，找它的大家族，由低维上溯到高维，有一点像流形中的嵌入吧。在一般的高级课 题论述中，都尽量的用上同调的语言，因为这样更自然，更有概括力，像流形上对偶理 定理，同伦论中的障碍理论，微分流形上的De Rham 定理，分析学中的以层为系数的上 同调等，特别是在SGA和EGA 中，Grothendieck很喜欢用上同调语言来总结他的抽象论述 和结果。最后，在同调论失效的地方，上同调却可以用的得心应手，因为上同调群由于 对角映射饿能引入上积和卡积运算，所以，它是一种更精密的拓扑不变量。在你计算出 两个空间的同调群（上同调群）相同时，用同调论显然不能判断两个拓扑空间是否同胚 了，这个时候你就应该考虑它们的上同调环（上同调环正是不同维数的上同调类构成的 一个集合）了，因为它们可能有相同的加法上同调，但是却有不同的乘法上同调，于是 立即可以判断这两个空间是否同胚了。当然，Homology 和Cohomology不是这一点点简单 的文字可以叙述一二的，这只能靠自己去硬着头皮钻了！Homology和Cohomology很重 要，值得花一些心思掌握它。

二零零五年五月九日