模形式起初是包括在poincare建立的自守函数里面，直至Hecke等人开创了模形式的算术 处理后，才形成一个较完整的理论体系。现定义模形式：设H为F（F为矩阵群SL2（Z）） 的有限阶子群，f是定义在Omega上的函数，如果f满足： 1；f在Omega上全纯，2；（f|kR）（Z）=f（Z）R属于H，3；f在H上的所有尖点上全纯， 则称f为H上的一个权为k 的模形式。 其实，模形式就是一个在其上附加了许多结构和限制的全纯函数。所谓尖点就是给 Omega一个双曲度量y^(-2)dxdy，当y趋于+无穷大时，点（-1\2）+iy与（1\2）+iy之间 的距离趋于0，这样区域D（D为Omega 在F作用下的基本区域）仿佛就是一个有孔球面 了，点（i乘以无穷大）就称为F的尖点，（i乘以无穷大）在F下的轨道是由（i乘以无穷 大）与实轴上的有理点构成，他们也叫F的尖点，这样，就比较容易理解f在尖点R（i乘 以无穷大）处全纯了；考虑f 的一个Fourior展开，那么此展开式是一个关于e^(2PI iZ\M)的Taylor展开，如果f|kR^(-1)在（i乘以无穷大）处全纯，则我们称f在尖点R（i 乘以无穷大）处全纯。当然模形式还有其他的稍微不同的定义，这个没有什么好说的。 你可以很简单的把模形式理解为复流形上在离散子群作用下不变的微分形式，对一个抽 象的定义注入一定的几何精神往往能使人把握精要和抽象的本质。现在，我们当然觉得 这个是很自然的，当我们把Z与椭圆曲线联系起来后，就会导致模形式是几何定义。我们 知道，Katz就是利用这样的几何定义发展p——adic模形式理论的，所有k权模形式的集 合自然构成了一个线性空间，Hecke算子就是作用在一个模形式空间上的。来点具体的东 西：构造一个模形式。构造一个模形式最简单的办法就是作Eisenstein级数，例如F=SL2 （Z），k 大于或等于4时，Eisenstein级 * 数E2k（Z）=sum （cZ+d）^(-2k)就是一个SL2（Z）的权为2k的模形式，（其中求和时排 c，d 除了 c=d=0这一项） 其Fourier系数是可以很容易求得的。模形式理论中的核心是所谓的由Hecke算子，Hecke 算子的迹所组成的Hecke理论，模形式的理论现在已成为Dieudonne意义上的主流数学 了。Modular Forms in One Variable ,I-VI, Lectures Notes in Math, 320,349,350,476,601,627,,Springer-Verlag,Berlin,1973-1977,这个里面介绍了模形 式的现代研究情况，而它与表示论，算术几何的关系，则可在S.Gelbart,Automoriphic Forms on Adelic Groups ,pup,1975. I.M.Gelfand ,M.I.Graev and I.I.piatetskii.Shapiro ,Representation Theory and Automoriphic Functions . H.Jacquet and R.P.Langlands , Automoriphic Forms on GL(2),LNM114.A.Selberg, Collected Papers ,I,II,Spring –Verlag.G.Shimuura,Introduction to the Arithmetic Theory of Automoriphic Functions , pup,1971.Arithmetic Geometry ,Springer – Verlag,New-York,1986. Automoriphic Forms , Representations , and L – Function ,proc,symp .pur Math ,33, AMS ,providence ,R.I. ,1977 ,这些文献中可以很详细的了解到。在P。Sarnak ,Some Applications of Modular Foms ,CUP,1990中介绍模形式在图论，算术等方面的应用， 在A.Selberg, Collected Papers,C.L.Siegel,Topics in complex Function Theory ,A.Terras , Hrmonic Analysis on Symmetric Spaces and Applications ,I,II(文献综)中可以看到它与分析的联系，在文献综以及Foms Number Theory to Phisics 中 你可以很惊奇的看到模形式在物理上的一些应用，而这是最有趣 的事！如果有时间，将继续介绍一些Hecke理论的非常浅显的知识。（注：上面的介绍是 不严谨的和非正式的，只是把自己觉得或许还有趣和最简单的内容涂涂而已，给大家一 个模形式的粗糙而直观的印象，不妨当作一回“科普”，里面的符号在正式的论著里有 些是用希腊文代替的，以后若有续篇，将不另作解释。我个人的兴趣主要在代数几何和 量子引力，只不过个人觉得，不懂现代数论中的一些最精奥的部分，将来是很难登大雅 厅之堂的，就像学量子力学，不钻研Dirac的那本经典，你充其量也只算一个理论物理的 爱好者！）

二零零五年五月九日