我来讲讲我熟悉的一部分内容:

Ising模型好像是在1925年由Ising提出的, 这个模型的完整的Hamiltonian包括---格点上的1/2自旋(qubit)的最近邻相互作用(耦合常数J), 和均匀外磁场的相互作用(磁场强度H)---两部分. 因为Hamiltonian中的任意两项都对易, 这个模型实质上是个经典模型.

Ising提出这个模型是为了解释铁磁相变, 他用combinatory method(组合学解法)很漂亮地给出了一维的严格解. 当然, 一维Ising模型不显示相变; 然后, Ising尝试去解二维的情况, 他没能找到二维的严格解, 于是他做了近似, 近似的结果是二维Ising模型也不能显示相变, 这使得Ising得到了错误的结论: Ising模型不是一个恰当的铁磁模型.

顺便一提: 这是个美丽的错误. 因为Heisenberg读到了Ising的论文, 并且相信了Ising的结论, 认为Ising模型不能解释铁磁相变, 于是Heisenberg提出了一个更加sophisticated的模型: Heisenberg模型.

然后大概是1930' 年代, 在没有二维解析解的情况下, Wannier和Krammer找到了二维Ising模型的相变点, 他们的方法也是组合学的, 虽然能够找到相变点, 却不能给出自由能的解析式.

突破性的进步是在1944由L. Onsager做出的, Onsager用李群的方法给出了二维Ising模型在热力学极限下自由能的解析表达式, 这是一种代数解法, 相当复杂; 幸亏不久之后, 1949年, B. Kaufman简化了Onsager的解法, 其解法的精神是把2^N维的transfer matrix分解为一系列2维矩阵的直乘, 但这种分解只有在零磁场的情况下才得以实现. transfer matrix的最大的本征值决定了体系的热力学性质. 我的个人感觉是, Kaufman的简化版的代数解法还是可以接受的, 比较容易follow. 这种解法的参考文献:

[1] B. Kaufman, Phys. Rev 76, 1232, 1949

[2] 李政道 《统计力学》

与代数解法方向不同的主要的另一种方法是组合学解法, 在这个方向上跨出第一步的是Kac和Ward, 他们在1952年给出了组合学解法, 这种解法把配分函数中的态求和问题归结为二维点阵上的封闭图的求和, 求和过程中用到了一个拓扑学的结论--旋转指标定理. 这种解法比代数解法显得简单，可以在比较短的篇幅内完成。 然后1946年，俄国人N. V. Vdovichenko进一步简化了组合学解法，把单个封闭圈的求和归结为点阵上的随机行走问题，这是一个Markovian问题，有固定的解法。因为组合学解法比代数解法显得简单，现在大多数教科书都把它作为标准解法. 这种解法的参考文献：

[3] Landau 《Statistical Physics--Part I》

[4] Feynman 《Statistical Mechanics》

找到二维Ising模型在热力学极限下的自由能的解析式, 从而定出singular point, 即相变点, 可以看到在相变点出比热呈对数形式发散. 另一个重要的结论是spontaneous magnetization, 在零磁场的情况下, 当温度降低至相变点以下, 磁化率会开始取非零值. 这一结论很早就由Onsager给出了, 但第一个推导是由杨振宁在1950' 给出的; 很奇怪得是为什么Onsager没有publish他的结论. 这一推导颇不简单, 我没有follow, 大致方法是先找出自旋对关联函数的解析式, 然后令两自旋的距离趋于无穷大, 并把这个结果等同于磁化率的平方. spontaneous magnetization的计算的参考文献:

[5] McCoy and T. T. Wu 《Two Dimensional Ising Model》

另外, 与Ising模型有关的一个有趣的东西是李杨格点气体模型, 把自旋向下和自旋向上等同于格点的占据态和空态, 可以建立Ising模型和格点气体模型的配分函数数学上的等价性, 格点气体的易逸度, 压强, 密度都可以用Ising模型的自由能和耦合常数, 磁场强度等参数表示出来. 大致关系是(我有可能记错^_^)

density=1/2(1-M), pressure=-J-H-F

这里M是磁化率, J是耦合常数, H是磁场强度, F是自由能per site. 能得到的结论就是一维格点气体不能显示气液相变. 二维格点气体可以显示气液相变, 等温线中transition region中水平的那段正好对应于二维Ising模型中磁滞回线在零磁场出的不连续点.

很遗憾的是, 因为非零磁场下的Ising模型没有解析解, 所以相应的二维格点气体也没有完整的解析解. 完整的等温线无法给出. 事实上, 自零磁场下的二维Ising模型的解析解被找到了以后, 已经过了半个世纪了, 寻找非零磁场的解析解的尝试都失败了. 唯一值得一提的进展是R. B. Griffith等人证明了一系列的不等式, 可以定性地刻画磁化率关于外磁场强度的变化关系, 主要结论是

(1) M(-H)=-M(H)

(2) M关于H的一阶导数>0 (这一结论可以从热力学直接给出)

(3) 当H>0, M关于H的二阶导数<0; 当H<0, M关于H的二阶导数>0

其实,有了这些不等式, 结合零磁场时磁化率关于温度的变化关系(spontaneous magnetization), 磁滞回线的大致形状已经可以画出来了, 把磁滞回线逆时针方向转90度, 再稍微平移一下, 就可以看出相应的格点气体的等温线的大致形状.

我们应该感谢这些给了上面提到的那些人, 是他们给了我们对统计物理的信心! 相变现象, 无论是铁磁相变还是气液相变, 都可以从统计物理的第一性原理推出来.

二零零五年六月四日