在著名数学家中恐怕没有比Hardy更排斥应用数学的了。或许后来的Bourbaki学派在漠视应用数学方面似乎可以与之比肩，但终究无法超越。

Hardy说自己研究的数学没有任何使用上的用途，并为此骄傲。他说数论和相对论是永远不能应用到实际上的。

后来有人反驳Hardy，说相对论中著名的质量能量公式被应用于原子弹的制造。这不仅冤枉了Einstein而且误解了Hardy，事实上相对论的质能公式可以解释了核能为何巨大，对原子弹的诞生没有直接甚至没有间接关系，尽管在1905年那篇只有3页的“九月论文”中的末尾Einstein说镭的放射可以观测这一效应，但是这与原子弹仍然，没有关系。原子弹是在核物理自身的实验和理论充分成熟的基础上造出来的，没有质能公式照样会有原子弹。

所以以原子弹的制造来反驳Hardy实在是隔靴搔痒而且是驴唇不对马嘴。

但是Hardy仍然没有对，他所认定的最纯最纯的数论，很快被应用于计算机和密码学，现在在新兴的量子计算中也被广泛应用。

纯粹数学能够与应用数学之间搭建桥梁，这从来不是什么新鲜事。关于纯粹数学和应用数学之间的关系之类的课题也早已谈滥了，但是结论不外乎两种，一种认为二者泾渭分明，从而拒绝数学的应用。还有一种则代表了更多人的看法，那就是认为纯粹数学与应用数学是同体的，从而要求所有纯粹数学分支都要找到应用之地，更进一步则是歧视纯粹数学中那些没有找到应用的分支。

第一种观点从来不占主流，很多持这一看法的数学家的类似言论之所以会被尊重完全是由于他们在自己的领域内作出杰出的贡献，而不是他们观点自身。

即使如此，我们仍要分析这个观点的得失，然后再来重点反驳第二种观点，因为第二种观点才是毒害数学和毒害后学者的。

纯粹数学真的可以呆在自己构建的象牙塔内而无须其他学科和应用数学的启发和帮助吗？

事实上答案是否定的。微积分是今天分析学的基础，当然也是纯粹数学的基础，即使最纯粹的数学分支之一的解析数论也是奠定在分析之上的。但微积分的发展与应用是无法分开的，从Kepler计算酒桶体积到Newton计算天体运行，微积分从萌芽阶段一直到正式创立都是伴随着应用。或者说微积分是在实际应用的强烈有力的刺激下发展出来的，我们甚至可以将这种传统追溯Archimedes时代。

紧接着的常微分方程和变分法也是分别在求解天体轨道方程和最速降线时发展起来的。然后像微积分一样又反过来应用到应用数学中。

这种从应用中来到应用中去的现象在数学发展史中屡见不鲜，即使是Hardy的追随者也无法否认这种血缘关系。

Fourier为了精确求出热的传导规律，发展出以他名字命名的级数展开法，虽然不够严密，最终却成为整个数学和物理、工程中最重要的方法之一， Fourier级数和Fourier积分应用到自然科学的几乎所有领域，而且在另一方面发展成纯粹数学中非常重要的一个分支——抽象调和分析。本质上说， Fourier分析就是整数加法群（因而是Abel群即交换群）上的调和分析，后代数学家将研究范围从整数加法群推广到一般Abel群，又在20世纪被推广到非Abel群上，形成一门艰深却富有研究前景的重要分支——非交换调和分析。

19世纪末，伟大的数学大师Poincare在计算天体力学中的“三体问题”时，证明了该问题涉及到的常微分方程是不可积方程，从而彻底毁灭了精确求解“三体问题”的希望。在这样的情况下，Poincare发展出微分方程定性理论和组合拓扑学。

微分方程定性理论迅速发展成当今纯粹数学的主流分支，动力系统理论由此诞生。同时，微分方程定性理论广泛应用于天文学计算、非线性物理学和微电子技术，这并不值得奇怪，因为天文学、物理学和电子学都要涉及微分方程，考虑到非线性作用时就必定要用到定性理论和数值分析，数值分析要借助与功能强大的电子计算机，定性理论则有赖于Poincare的开创性工作。

由Poincare创立的组合拓扑学则在20世纪被发展成代数拓扑和微分拓扑，又互相影响，一起成为当今数学的三大支柱之一。同时，拓扑学在天体力学中的应用比Poincare那时侯更加成熟、更加有效。

事实上类似的例子可以举出很多。许多数学大师的研究范围横跨纯粹数学和应用数学，这种近乎全才的数学家即使在数学高度分化（分化中又蕴涵统一）的20世纪也不少见，例如美国的von Nuemann，前苏联的Kelmogelove，德国的Weyl等等。

Euler在测量大地时发展经典微分几何，1827年Gauss在测量大地的过程中发展出内蕴微分几何，拆除外围空间直接将曲面作为一个空间进行研究，在经过复杂的计算后得出了所谓的“Gauss绝妙定理”，引发微分几何的伟大变革，1854年Riemann接过Gauss的工作，发展出伟大的 Riemann几何（Riemannian geometry），一向以思想极度深刻著称的Riemann这次又语出惊人，说自己的几何可以在物理上实现：“这条道路将把我们引到另一门科学领域，进入到物理学的王国，进入到现在的科学事实还不允许我们进入的地方。”61年后Einstein创立的广义相对论实现了Riemann未竟的梦想，而 Riemann本人已经于1866年因为肺结核病逝于意大利马焦雷湖畔。微分几何竟然居然是这样戏剧般的发展起来。

但是正如当代英国著名数学物理学家Penrose所说：“广义相对论欠几何学的债早已还清。”的确，正是广义相对论的实验验证导致了一批优秀数学家致力于微分几何，其中包括Weyl、Cartan和陈省身等数学大师。从这些大师的工作起，微分几何成为数学主流分支一直到现在。

割断纯粹数学和应用数学或者其他自然科学学科的联系不仅荒唐而且徒然。

但是从另一方面来说，纯粹数学是否就与应用数学一体无异呢？一种甚嚣尘上的看法是要让纯粹数学通通找到用处，没有用处的数学就是无用的数学，就是凭空想象的病态数学。

可以说这种观点是数学中最庸俗最有害的观点，因为它自身所带的过多功利性和片面性对数学而言实在是一种玷污。数学确实与应用不可分割，这在上面已详细分析。但是，凭什么就认为所有数学都要听命于应用？有谁让文学都进行应用？艺术、美学、哲学、历史学难道都要付诸应用？为什么人们可以容忍人文学科脱离应用却非要逼着纯粹数学都要找到所谓的“用武之地”？

原因很简单，人文学科从一开始就不被定位于应用，如果说有些“应用”，那也只限于本学科领域。而数学由于一诞生就大量应用于现实，使得许多人急功近利的思想一度蔓延。站在应用数学角度敌视纯粹数学的人大有人在，但是以“数学一体化”为由意图对纯数学研究进行干涉所产生的对数学的错误认识则为害更巨。

著名数学家Jacobi说：“纯粹数学是为了人类心智的荣耀。”事实上有许多数学理论至今没有任何用处，而且将来可能永远找不到用处。例如类域论、算子代数等等。即使那些找到“用武之地”的数学理论，它们自身所含有的无用的成分要远大于那些找到应用的部分，例如代数数论和代数几何结合所产生的算术代数几何，有一部分被应用于密码学，但是这门学科最精彩应用却是其自身领域，也就是说自给自足。

再如，模形式作为一门横跨复分析和数论等重要学科的分支，在理论物理中找到了巧妙的应用，但是模形式最好的结果都是作为纯粹数学的优美结果出现的，例如著名的Fermat大定理的证明就用到模形式和Galois表示理论。而Fermat大定理有什么实际用处？

我们知道，很多数学都要借助于实际应用的刺激和帮助才发展起来，但是，是否就说明所有的数学都必须通过实际应用才能建立起来？答案是否定的。

群论的建立完全是在解决高次（次数大于4）方程理论的需求下建立起来的，Sturm和Abel分别独立证明了五次以上的代数方程不可根式解，但是没有进一步给出方程可解的充分必要条件，Galois则通过建立崭新的域论，以极其漂亮的方式解决了方程根式解的充分必要条件。Galois通过方程的根的置换群的可解性来判定任意次数方程的可解性，不仅宣告了四次以上一般方程不可根式求解，而且直接创立了群论，今天数学几乎所有分支都能看到群论的辉煌身影。而且，群论很快被用于晶体对称性的分类，然后顺利进入理论物理，“凡是有对称性的地方就有群论”，这话没有任何夸张。

或许有人会很附会的说：“方程理论也是古人为了解决实际问题才提出来的。”但是，事实上方程理论到Tatageliar和Ferrari时代就已经成为纯粹数学的一个研究方向了，到Lagrange、Cauchy和Gauss等人研究高次方程时已经和实际应用没有任何直接联系了，当时的数学大师们研究这一课题的动力完全来自这一问题本身以及想考验自己所掌握的数学工具。这与微积分的发展过程是截然不同的。事实上，微积分的发展自始至终与实际应用联结在一起。

19世纪后期，挪威数学家Lie在求解微分方程时创立连续变换群理论，将过去的有限群理论推广到无限群情形，同时将离散群推广到连续群，Lie伟大的开创性工作因为脱离应用以及晦涩难懂长期受冷落，除受到Poincare和Klein这样的大师赞许外，Lie几乎孤立无助，他断定自己的理论将会在将来成为数学最重要的主流方向之一，但他没能活到自己预言实现的那个时代。就在Lie度过落寞神伤的晚年去世后不久，“Lie群”理论蓬勃发展，不仅占领几乎所有纯粹数学分支，而且在物理中得到极其重要的应用，今天，一个不懂Lie群的人事实上无法学习理论物理的高级理论。狭义相对论中的Poincare群和广义相对论中的Einstein群都是Lie群，想要深入研究这些源自物理的重要的群，就必须熟练掌握Lie群和Lie代数，而量子规范场论中的SU（2）群和SU（3）群则更是非用Lie群理论不可。这是纯粹数学自给自足却又影响到应用的一个深刻范例。

群论乃至Lie群的创立对应用数学和纯粹数学都产生了极其重大的影响，但它们都是在数学内部自己发展起来的。数学有其独特的独立性。虽然这种独立性并不在所有时候都占压倒性优势，但在有些时候却很重要。

当应用数学只用得着Euclid几何学、甚至绝大多数纯粹数学家都认同Euclid几何的独一无二的地位的时候，非欧几何的几位先驱和几位独立创立者是不可能从应用的角度来思索第五公设的独立性。但是，Gauss、Bolyai和Lobachevski却“凭空”创造出非欧几何。他们只是觉得第五公设没有自明性而且和前辈一样无法从前四个公设导出第五个公设，于是他们把第五公设改变掉，结果非欧几何诞生了。或许15岁的Gauss在第一次猜测出存在另一种几何的时候就已经觉得这种“另类”几何可以用于天文学，所以称之为“星空几何”，而Lobachevski却明确认为这种几何能够应用到天文学：“同时，不能不重视Laplace的见解：我们所见到的星星饿银河只属于天体的一部分，就像微弱的、若隐若现的斑点，类似于我们在猎户星座、摩羯星座及其他星座中所看到的一样。于是，且不说在想象中空间可以无限地延伸，自然界本身向我们显示的距离，甚至同我们的地球到恒星的距离相比，后者也因微小而可以忽略。此外，不能进而断言，假定直线的度量不依赖于角——这一假设，许多几何学家想采纳它作为毋需证明的严格的真理——可能在我们过渡到可见世界的极限之前，就会发现它有可以觉察到的错误。”

显然，Lobachevski希望在大范围的宇宙中发现Euclid第五公设不成立。但是这不影响非欧几何的理论独立性，因为他紧接着说：“无论如何，新的几何学，它的基础已在此被规定，如果不存在自然界中，那也可以存在于虚想中，它无助于实际测量，但对几何学和分析学的互相应用，却开拓了一个新的、广阔的领域。”

这说明Lobachevski并不寄希望于实际应用，所以他只说自己创立的非欧几何“对几何学和分析学的互相应用”“开拓了一个新的、广阔的领域”，就是说最重要的应用是在纯粹数学自身。非欧几何在物理学和宇宙学中的应用也没有改变它作为一个重要的纯粹数学分支的地位。

纯粹数学自身的存在意义不会因为它有没有实际应用而改变。硬是让纯粹数学应用于实际问题是很可笑的。能用就用，用不上的难道就没有价值？我们也没有必要说：“现在没有实际作用，可能将来就有作用。”有些数学分支不是为了应用而存在、发展的，是为了数学自身的优美和Jacobi所说的“人类心智的荣耀”而存在的。

或许Euler、d’Alamber是为了更好地应用实分析才将复变函数的萌芽引入数学中，或许Cauchy是为了计算一些实际问题才开始发展复变函数的积分理论，但是到后来他花了25年左右时间创立完整的复变函数理论中的积分理论，则在更大程度上为了这门优美学科自身。复变函数后来应用于流体力学、空气动力学、物理学、电子学、工程学科的同时也在纯粹数学内部急剧发展。

在单复变函数情形中，形成了重要的Teichmuller空间理论，由复变函数的讨论范围从复平面推广到曲面，则发展出著名的Riemann曲面理论， Riemann曲面自身作为复分析的研究对象就是一维复流形（更精确地说是一维Kahler流形），作为代数数论的研究对象则为一元代数函数域，作为代数几何的研究对象则为一元复代数簇。这些学科的互相融合是纯粹数学中最精彩的范例。在以复变函数为基础发展起来的相关学科中，既有应用的又有纯粹的无“用处”的数学，它们和平共处，互不侵扰却能在有些时候互相促进，但是不能让所有的东西都转变成应用数学，因为这是不可能的。

在多复变函数情形，同样存在这样的情形，但是相比于多复变函数作为一门纯粹数学学科的魅力，它在应用发面的魅力可以说逊色得多，尽管这些应用也很重要、优美，例如在相对论性量子场论中构造“全纯包”以及多变量复变积分。

因此，说多复变函数论是一门无用却极其重要的学科并不为过。作为一门几乎横跨所有纯粹数学主流分支的学科，多复变函数论不必有任何的应用，这一点是 Kline之流所无法接受的，按照Kline这种所谓的“学者”的眼光来看，数学要是没有实际用途就缺乏存在的必要，对Kline这种人我给予鄙视，且暂时还不屑于反驳这种人。

Abel和Jacobi创立椭圆函数论，主要原因在于这门学科自身，后来的Poincare和Klein（与Kline不是同一个人）创立自守函数论也是为了Riemann面的单值化问题，也是纯的不能再纯的纯数学。椭圆函数论是自守函数论的特殊情形。20世纪的Siegel将Poincare的思想发扬光大，建立多复变情形的自守函数论，同样没有任何的应用的意图，事实上到现在都没找到应用。应该提及的是，Siegel和Poincare一样对天体力学有着巨大的贡献，就是说，他们都没有排斥数学而且热衷于数学的应用，但是他们绝不会强求原本属于纯数学的课题应用于实际课题。

20世纪是数学蓬勃发展的世纪，21世纪的发展情形将更为可观。建立健康正确的数学观、正确对待纯粹数学和应用数学的血缘关系和各自宗旨，对认识数学和研究数学都有重要意义。

二零零五年八月二十一日