“为什么场要量子化”， 物理学家可能不会觉得这是一个问题，但是数学家也许会对此很有兴趣。回答这个问题之前，也许应该先回答“什么是量子化”？ 物理学家说起“量子化”，就像讨论吃饭睡觉一样平凡。要么正则量子化，要么路径积分量子化。虽然正则量子化涉及数学上很难操作的Dirac delta和并不收敛的 Fourier 积分，而路径积分所假设的测度至今也没有在数学意义上定义出来，这些数学家不承认的“数学”对于物理研究来说已经足够好了。物理学家还证明了这两种量子化方法是等价的。

从数学上看，这个等价性已经很耐人寻味。假设我们的宇宙是一个紧致流形，取一个类空超曲面（这相当于某个参照系的等时截面），它把宇宙分割成“过去”和“未来”。现在我们想计算宇宙的真空期望值（一个路径积分），我们可以分别计算“过去”和“未来”的真空期望值（两个路径积分），然后把它们“乘”起来。但是我们发现“过去”和“未来”的真空期望值不能是“数”。如果它们是“数”，那么“过去”和“未来”的概率分布就独立了，也就是说过去部分和未来部分没有相互作用。如果我们想要相互作用，我们就必须假设“过去”和“未来”的真空期望值都是“向量”，而整个宇宙的真空期望值是这两个向量的某种“内积”。这两个向量所在的向量空间显然是由这个等时截面决定的，这个向量空间的“大小”反应了相互作用的强度－－－如果这个向量空间是一维的（数），那么就没有相互作用。这个向量空间一般来说是无穷维的，它就是物理理论的"Hilbert space". 所以Hilbert space 度量了不同时空区域的路径积分之间correlation 的程度。

以上的观点导致了conformal field theory 和 topological field theory 的公理化定义。在TFT 的情况，不同时空区域间的作用是如此的微弱以至于 Hilbert space 是有限维的。采用公理化定义并不是为了使理论更抽象，而是要避开路径积分的构造。数学家并不喜欢抽象，抽象大多数时候是迫于无奈。

说了这么多，但是我还是没有回答“什么是量子化”这个问题，或者更精确地问，量子化在数学上到底意味着什么？

Seiberg-Witten 的单极子方程定义了三维流形的Floer homology 和四维流形的数值不变量。现在已经证明Seiberg-Witten 不变量是某个“Hilber bundle” 的经典代数拓扑不变量。然而 Seiberg-Witten 方程是超对称量子场论的经典方程，这个量子场论本身在数学上意味着什么？ 这个量子场论是无穷维空间的几何吗？

物理上最原始的原因是Heisenberg 为了解决原子光谱问题，建议用矩阵来代替数值变量。这个过程本身就是从交换到非交换。之后才有了形式化。

形式化的第一步是所谓对应原理，如果我没有理解错的话，就是说当Plank 常数趋于零的时候，量子力学方程趋于经典力学的Hamilton 方程。由于Hamilton 方程可以用 Poisson 括号写出来 （用数学的语言来说，辛流形和它的函数Poisson 代数是相互决定的），Dirac 就试图找出 Poisson 括号的量子类似物。

这个令他自己都激动不已的发现就是，Poisson 括号 {u,v} 的量子类似物就是算子的交换子 UV-VU. 这个发现，虽然当初看来非常天才，但是在现代数学研究中是比较常用的思维：辛流形上的函数空间是一个交换代数，有乘法，又是一个李代数，有 Poisson 括号。一个自然的问题是，这两个结构的相容关系是什么？ （这就像我们定义向量空间上的附加结构，比如内积或者范数的时候总要使用一些公理规定这个新结构怎么与老结构，加法，数乘，零元相容。这些相容性质就是我们通常要求的三角不等式，线性，齐次性，正定性。）

函数空间上的交换代数结构和李代数结构的相容关系早在 Poisson, Jacobi 时代就知道了，这就是 Leibniz 法则， {uv, w}= {u,w} v + {v,w} u. 用现代数学的语言来说，每个{w, . } 都是这个交换代数的导子 (derivation)。 Dirac 的天才就在于在那个形式数学远未成熟的年代他就意识到了这个相容关系是整个结构的关键。他想，如果在这个 Leibniz 法则中保持乘法的顺序会怎么样？ 即，我们总是保持 u 在 v 之前， {uv, w} = {u,w} v + u {v, w} 。按照这个规则，我们来看 {uv, wz}。有两种办法，先拆 uv 再拆 wz, 或者先拆 wz 再拆 uv。 这两种办法应该得到同样的答案。结论就是，uv-vu 必然与 {u,v} 成正比。所以Dirac 建议了所谓正则量子化 [U,V] = i \hbar {u,v}。

以上推导的实质是，Dirac 无意中发现了李代数的泛包络代数 (universal enveloping algebra)。但是Dirac所做的不止是泛包络代数，还是“形变量子化”。任给一个李代数，当然有它的泛包络代数（这是一种结合化，李代数是不结合的）。然而 Poisson 代数不仅是一个李代数，本身已经是一个结合代数。所以 Dirac 定理其实是说，经典可观察量的代数对于其 Poisson 括号的泛包络就是量子可观察量的代数。

形变量子化是更有远见的，可以说它在“等待”量子力学的“不精确” 出现。它认为 [U,V] 是 \hbar 的形式幂级数，第一项由 Poisson 结构决定，后面的项可能由经典相空间上更多的几何结构决定， [U,V]＝i\hbar + O( \hbar^2 ). 当然，从正则量子化到形变量子化不需要多少想象力（这并不是说我这种普通人也能想得到，呵呵）。

Kontsevich 在1997年证明每个配有 Poisson 结构 （函数空间上满足 Leibniz 法则的 李代数结构） 的有限维流形有唯一的形变量子化。

以上这篇给人的感觉好像经典相空间上的几何结构是更本质的东西。其实按照现在流行的说法，几何结构是量子世界的“经典幻象”。或者说这个世界其实只有结合代数及其交换子定义的自然李代数结构，而经典相空间及其上Poisson 结构只是因为我们日常生活的能标太低而看见的一些“边际效应”。根据Gelfand-Grothendick的逻辑，空间是代数的谱，所以我们其实生活在“非交换空间”里面，这个非交换空间是量子可观察量代数的谱。

二零零六年三月二十三日