一般我们把扭结当作S1--->S3 的嵌入。S3是 R3 的一点紧化。 在S3中考虑问题有很多好处，因为S3是紧致的。扭结的分类，或者更广义的，链结的分类，是要看在连续的微小形变（isotopy，也叫同痕）下哪些链结能互相转换哪些不能。链结分类问题是三维流形的中心问题。所有闭三维流形都能由S3在链结上做“手术”得到，分类了链结就几乎等于分类了所有闭三维流形。

在80年代，有人证明了扭结在S3中的补集完全决定了扭结，也就是说，如果两个扭结的补集同胚，那么这两个扭结同痕。（注意，链结的补集一般不能完全决定链结，这与只有一个分支的扭结不同。）而三维几何拓扑在7，80年代的发展，特别由于Bill Thurston的贡献，使扭结分类问题从某种意义上归结为三维双曲流形的分类问题。这是因为，Thurston 的双曲化定理表明，大多数扭结（甚至链结）的补集都有完备的双曲度量（这些链结叫双曲链结），只有两类扭结例外：

（1）环面上的扭结：环面上的扭结的补集是所谓 Seifert fibered 流形，简单点说就是由圆圈组成的三维流形，这种流形上面不可能有双曲度量，而且这种流形已经被彻底分类了。也就是说，环面上的扭结已经被分类了。其实在几何化潮流以前环面上的扭结（甚至链结）就应该已经被初等方法分类了。

（2）卫星结：这种扭结 K 本身处在另外一个扭结 K1（伴随扭结）的管状邻域里面。这种扭结的补集被这个管状邻域的边界（一个环面）分割成内外两个开流形：外部同胚于伴随扭结 K1 的补集，内部同胚于一个开的实心环除去这个扭结 K。如果你能想象两个实心环怎么粘成S3, 你就能知道这个内部开流形实际上同胚于另一个链结L的补集，这个 L 比 K 多了一个圈，类似于Whitehead link 的那个圈。现在， S3- K = (S3 - K1) & (S3- L), 这里 & 表示通过一个环面粘起来。现在 L 已经不是卫星结了，如果 K1 还是卫星结，再重复以上步骤。可以证明这个分解过程在有限步中止， S3- K = & (S3- L_i), 使得所有L_i 要么是双曲链结，要么是环面上的链结。而后者的补集是我们已经分类了的Seifert fibered 流形。

综上所述，如果分类了双曲流形，那么首先，双曲扭结被分类了，然后，卫星结的补集也已经清楚了，所有的扭结就都清楚了。 figure 8 是一个双曲扭结，而 trefoil （三叶结） 是一个环面上的扭结。

THANXmm 问：昨天leo兄说到可以找到一个足够小的环面，使得给定的扭结在它的边界上。这虽然是事实，但是对分类没有任何帮助吧？！既然扭结是embedding到S^3中，那么将S^1embedding到其他的3-maniflod中能不能得到有意义的东西呢？

答：能得到有趣的东西，呵呵。有没有意义就难说了。Witten著名的工作之一就是把 Jones polynomial 推广到任意闭三维流形里面的扭结。这个理论是一个完美的拓扑量子场论。试图想象别的三维流形里面的扭结是很困难的，因为你可能被欧氏空间里面的直觉完全地侵蚀了空间感觉。

怎么判断一个扭结是不是平凡扭结？ 办法说起来很多，但都不可行： 第一，看它的补集是不是开实心环，这个表面上看就知道不可行，揉成一团的平凡扭结的补集看起来也是非常复杂的；第二，看它的补集的基本群是不是无限循环群，这个也不可行，因为word problem 不可解；第三，看它的Seifert genus 是不是 0，这个也不现实，因为我们没有办法计算genus。

现在更高级的办法：用 Heegaard-Floer homology 能得到 Seifert genus. 可惜 Heegaard-Floer homology 现在只对 alternating knots 有简单的算法。这就引出现在最紧急的任务之一：找到计算 Heegaard-Floer homology 的组合方法，让我们能像算 Jones polynomial 那样算 Heegaard-Floer。找出这个组合方法的途径现在看来是与另一个热门 Khovanov homology 有着极大的关系。

还有一个既可行又不可行的办法：算扭结的 Vassilev 不变量。现在还不能证明 Vassilev 不变量能判断一个扭结是否平凡，但这个命题是 volume conjecture 的一个推论。所以又引出一个小热门 volume conjecture. 一直以来日本人在对这个猜想的研究上处于领先地位，最近有个越南人做出了重要贡献，有些激活了这个领域。

综上，现在三维流形的几大热点：

（1）Heegaard-Floer homology, Khovanov homology, Seiberg-Witten homology 相互之间的关系，前后两种不变量的组合计算方法，以及它们分别是什么空间的 homology. 隐藏在背后的是Atiyah-Floer 猜想。限于这个领域过于技术性，不可能在这里展开这些概念。

（2）Volume conjucture: 一个扭结K的带色的Jones polynomial 在单位根上的取值，J_N^K(\omega_N), 当 N 趋于无穷时，这个复数的绝对值呈指数增长，增长律恰好是K在S3中的补集， S3 - K 的双曲体积。这个猜想的证明将进一步肯定双曲几何在三维流形理论中的特殊地位，就像Atiyah所说，这个猜想把三维流形近三十年表面上看来毫不相干的两大进展，Jones-Witten-Drinfeld 的量子不变量（拓扑量子场论）和 Thurston 的双曲几何（几何化猜想）联系起来。

（3）双曲几何。这是一个极其需要 100％天才＋100％勤奋 的领域。可以称这个领域里的人们为"Thurston 学派"，里面的老一辈人受到Thurston　的极大影响，年轻一辈基本上是 Thurston 的徒子徒孙。这个领域里面的问题很多很杂，但是都很难。方法上也是博采众长，几何，拓扑，分析，群论，动力系统，甚至数论代数几何，都是他们信手拈来的工具。Dannis Sullivan 也是这个领域的祖师爷级人物，去 SUNY stony brook 看看他属于哪个教研组。 这个领域最近也很活跃，有一系列的进展，限于我所知有限，没有办法将这个领域的美景展现出来。

扭结的 Seifert genus 就是这个扭结所有 Seifert surface 的genus 的最小值。Seifert surface 就是leo 说的以这个扭结为边界的可定向嵌入曲面。

值得一提的是，最近北大的新科博士郑浩在volume conjecture 上面取得重要进展，他对一类扭结证明了 volume conjecture. 这一类扭结都是以 环面结为伴随结的卫星结，叫做环面结的Whitehead double. 这类扭结的补集都分成两个部分，一个是 Seifert fibered 流形（环面结的补集），一个是双曲流形（Whitehead link 的补集）。Seifert fibered 流形的双曲体积为零，所以这一类扭结的双曲体积都等于 Whitehead link 补集的双曲体积，但是当然，它们的Jones polynomial 是不同的。郑浩的文章在 arxiv 上面，有兴趣的同修可以去看看。有了这个贡献，至少我们可以说，在这个课题上中国不输于亚洲其它国家，呵呵

THANXmm问：如何定义扭结的genus？ 直接计算同伦群么？ 数环绕的圈数？ 答：对一般的扭结，基本群的计算应该提供不了 genus 的确切信息，可能会给出一些上界？ 能直接得到扭结 genus 的就是Heegaard-Floer homology. 但现在这个同调也是不能算的，因为它是用分析方法定义的，涉及到复杂的非线性偏微分方程。前面leo 网友已经说了，扭结都能嵌入一个 扭曲的环面。

扭结在三维球里的一个邻域就是一个实心环，它的表面是环面，扭结是这个实心环的中心线。然后把扭结从这个实心环内部推到表面，那么它就处在一个扭曲的环面上了。

也许我应该澄清一个概念。环面在欧氏空间（或者三维球面）的嵌入方式很多。所谓“标准嵌入”就是指我们平常看到的那种轮胎面。“环结” 或者 “环面上的扭结” 一般指标准嵌入的环面上的扭结。 “扭曲的环面” （knotted torus ） 是非标准嵌入的环面， 这种嵌入是一个非平凡扭结的临域的边界。扭结总能实现为扭曲的环面上的不自交曲线，这并不是什么令人吃惊的事情。

二零零六年三月二十三日