这篇文章主要介绍 Atiyah-Floer 猜想的历史和大意，及一些相关内容。限于本人水平，错漏在所难免，欢迎批评指正。

这个话题要从 Morse 理论谈起。

Morse理论最初产生于“大范围变分学”，是关于流形上函数的临界点的理论。这个思想是很不可思议的。我们只需要研究流形上的某一个函数（这个函数满足一些非常普通的要求），我们就能得到流形的大量信息，比如它的胞腔结构。

Morse 理论在Witten 之前主要应用在两个方面：（1）有限维流形的构造。比如Milnor的怪球，四维流形的一般构造和Kirby calculus，Smale 关于5维以上Poincare猜想的证明等等。（2）某些无限维流形的胞腔结构，黎曼流形和李群的道路空间等等。据考证，Milnor和Smale 多少知道一些现在流行的关于Morse理论的看法。Thom 和 Smale 大概已经意识到了现在所谓 Morse-Witten complex. 而 Milnor 已经开始使用现在流行的“梯度流” 来对待 Morse 理论。

到了1982年，Witten 还没有正式开始做弦论的时候，已经写出了"Supersymmetry and Morse theory"这么一篇文章。这篇文章研究一维超对称非线性sigma模型，就是研究一个质点在一个弯曲的超空间M里怎么运动。通过对这个模型的研究，Witten 把 Hodge 理论和 Morse 理论联系起来。

再晚些时候，Floer 吸收了 Witten 这篇论文的思想, 进而用这种看法研究了两个数学问题。

第一个问题是 Arnold 猜想的一个特殊形式，简单说，就是辛流形里面的一个 Lagrange 子流形 L，在沿着 Hamilton 向量场滑动以后跟原来相交，交点的个数不能太少，至少应该是 L 所有 Betti 数的和。这个比拓扑上的限制强多了，单从拓扑的角度，对 L 做任意扰动以后跟自己相交，交点个数不能少于 L 的 Euler 数。所以辛扰动所受的限制更强。Floer 构造了一个链复形，由那些交点生成，边缘算子是对交点之间的“全纯条带”进行计数。这个链复形的同调被证明同构于 L 的奇异同调，所以生成元的个数至少是 L 的 Betti 数的和。这样就证明了这个特殊条件下的 Arnold conjecture. 这种 Lagrange 子流形相交形成的同调理论就叫做 Langrangian Floer homology theory.

第二个问题是三维流形的 Casson 不变量问题。这个不变量对流形 M 基本群的二维不可约酉表示 （严格来说，到 SU(2) 的表示）进行计数。在这个不变量提出不久，Taubes 给出了一个规范理论的解释：任一个从基本群到 SU(2) 的表示对应到流形上一个平坦 SU(2) 联络，而平坦联络正好是 Chern-Simons 泛函的临界点。这样在所有联络的这个无穷维空间上有一个自然的 Morse 函数 －－－ Chern-Simons 泛函。这个泛函的“梯度流”决定的微分方程实际上是自对偶 Yang-Mills 方程。Floer 结合了 Taubes 和 Witten，构造了一个链复形，生成元是三维流形 M 上的 SU(2)-平坦联络，而边缘算子是对四维流形 M*R 上“连接”两个三维流形平坦联络的自对偶 Yang-Mills 联络的计数。这个链复形的同调群的 Euler 数正好是 Casson 不变量的两倍。这个同调理论就叫做 Floer instanton homology theory （瞬子同调）.

在 Casson 发明他的不变量的时候，他已经找到了一个计算方法，即，把三维流形 M 分解成两个“手柄” X, Y，沿一个曲面 S 粘合 （ Heegaard splitting ）。从 S 的基本群到 SU(2) 的表示形成一个空间 R，从 X 的基本群到 SU(2) 的表示形成 R 的一个子空间 U, 从 Y 的基本群到 SU(2) 的表示形成 R 的另一个子空间 V，这个两个子空间 U 和 V 的交集就是那些在曲面上相容的表示，从而就是三维流形 M 的基本群到 SU(2) 的表示。所以计算 Casson 不变量的问题变成数两个子流形交点的问题。说到这个，大家可能觉得似曾相识，不错，这个两个子流形 U, V 还真的可以作为 R 的 Lagrange 子流形。

既然 Casson 不变量是两个 Lagrange 子流形的相交数，那么它实际上就是这两个 Lagrange 子流形的 Lagrangian Floer homology 的 Euler 数。但同时它又是 Floer instanton homology 的 Euler 数。所以这两种同调有相同的 Euler 数。一个自然的猜想是（当时不是那么自然，比如 Floer 本人就没有意识到），这两种同调其实是同构的。这个猜想是 Atiyah 在纪念 Weyl 的一个会议上提出来的，所以被称为 Atiyah-Floer 猜想。在同一个报告中，他还提出了另一个猜想，即 Jones 多项式一定跟 Floer instanton homology 有关系，从而跟量子场论有关系。Witten 在很大意义上解决了这个猜想，这就是他著名的文章“量子场论与 Jones 多项式”。然而，Jones 多项式同 Floer instanton homology 的关系到现在还不是很清楚。

Atiyah-Floer 猜想的这种两种同调间的同构，虽然还没有被证明，但是已经激发了另一个非常出色的工作，这就是 Ozsvath 和 Szabo 发明的 Heegaard-Floer homology。它的发明就是为了给 Seiberg-Witten homology 找一个对应，因为 Seiberg-Witten 类似于瞬子同调，而 Heegaard-Floer 类似于 Lagrangian 同调。所以相应于 Atiyah-Floer 猜想，现在还有一个 “Ozsvath-Szabo 猜想”，即，Seiberg-Witten 与 Heegaard-Floer 是同构的。

二零零六年三月二十三日