对于三次数学危机的看法，学界可谓仁者见仁，智者见智，当然还有一种情况，那就是傻者见傻。

第一次数学危机因为无理数的引入而消除。第二次数学危机则旷日持久，且事关重大，在数学界和哲学界的震撼力也是三次数学危机中最大的一个。Newton和Leibniz的微积分被公认为人类智力史上的最伟大成就之一，事实上，正如von Neumann所认为的那样，无论给这个成就多么高的评价都不过分。常微分方程，微分几何，偏微分方程都是以微积分为基础的。但是，学过数学史的人都知道，微积分诞生之初是建立于不严格的基础之上的。这使它从一开始就备受争议。有人认为，上世纪四五十年代的物理学奉行工具主义，实际上，真正的工具主义是在Newton时代。只要结果和现象符合，就是对的，不要管它什么基础。

但是，无穷小仍然困扰着所有为这门学科辩护的人。说远一点，很多人都说，微积分可以和现实模型如此逼近是这个学科的巨大成就。这话其实颠倒了。量子电动力学（QED）可以探索到一亿亿分之一米之内，但是微积分中的无穷小是一种要多小就有多小的“数”，那么它实际上要多精确就有多精确，我们要感叹的其实应该是“现实的测量技术和制造技术可以如此逼近微积分算出来的结果”，而不是相反地拿现实来验证微积分的准确度。

但是，正如很多人所熟知地那样，Newton和Leibniz虽然在优先权上面掐架，但是在面对无穷小的时候实际上是同命的（可惜不是同命鸳鸯，不然不会为了优先权争个头破血流），早在微积分建立之处，荷兰物理学家Nieuwentyt就指责Newton的流数术含糊不清，同时指责Leibniz的高阶微分缺乏根据。

著名主教Berkley于1734年发表《分析学家，或致一个不信神的数学家》，矛头直指Newton和Leibniz以及Halley，它先扬后抑，先说：“流数方法是一把通用的钥匙，当代数学家们借助它来解开几何学的、最终也是大自然的秘密。这一方法能够在发现定理和解决问题方面大大超越古人。”但接下来就开始讽刺：“正因为如此，其发挥和便成为那些号称深刻的几何学家们主要的（如果不是唯一的）事业。”或许他把 John Bernoulli讽刺Newton的话翻版了一下。他把无穷小说成是逝去的灵魂“它们既不是有限量，又不是无限小，又不是零，难道我们不能称它为消逝的灵魂吗？”

这篇文章实质上是给Newton和Leibniz鞭尸，因为当时Leibniz已经去世18年，Newton已经去世7年，看来在这方面Newton是胜利了，Lebniz去世时Newton很高兴，并宣称因为生前伤害了他而深感欣慰。可见周伯通对郭靖说的一套理论简直是放之四海皆准的真理，那就是，当你恨一个人时，最好是和他比谁更长寿，如果对方先死了，你就胜利了。Newton一胜就是11年，可见他是相当不容易的。

Berkley的鞭尸至少使当时以及后世的数学家难堪，d Aalembert，Euler和Lagrange都加入了反击的行列。d Aalembert发展了Newton的首末比方法，但是他开始用极限概念代替了Newton含糊不清的“最初”于“最终”比，Euler不愧使“分析的化身”，他写的《无限小分析引论》，《微分学》，《积分学》，不仅是18世纪分析学的标准教材，而且是后世诸君公然抄袭与辗转抄袭的最好样本。在1755年出版的《微分学》中，Euler给出了“不同阶零”的理论，可惜太超前了，这么形式化的东西使得当时的数学家普遍无法理解，但是这个理论为微积分基础的算术化于代数化论证打下了基础。但是他没有成功。

1786年，Lagrange在柏林科学院数学分部设立一个奖项，悬赏征答关于无穷小的合理解释。瑞士的Huillier获奖，他题写的一句话是：“无穷，是吞没我们思想的深渊。”但是他也没有解决问题。

Euler和Lagrange都至死未见问题的解决，据说，Euler在去世那天刚结束一个问题的思考，他抽了一口烟，被呛了一下，他说：“我要死了。”然后滑落到椅子下，死了。有一次著名数学家Erdos在演讲中讲到这里，一个听众在下面喊：“Euler最后猜想实现了。”

但是，他多少有些魂牵梦萦的无穷小的猜想却是在他死后近四十年才由一个法国青年数学家Cauchy渐渐实现。1821年Cauchy在名著《代数分析教程》中，给出极限论的奠基性工作，他定义了变量与函数的概念（第一个将函数的地位拉到数学的中心的是Euler），再定义变量的极限，然后说“无穷小是极限为零的量”，然后建立连续、导数与微分、积分。但是他认为连续函数必可导，后来的Weierstrass给出了一个处处连续却处处不可微的函数，也算是挖了Cauchy的墓。

有个教师让学生说个成语，能描述一个人高兴且带有数字的，一个学生非常自信地举手回答：“含笑九泉”。但是Cauchy实际上被Weierstrass搞得无法含笑九泉。Weierstrass指出Cauchy的论述方式依赖于几何直观，所以是不严密的，还有一点令现在的数学本科生都惊讶的是：Cauchy对于连续性和一致连续性都区分不清，Cauchy从直观上认为无理数是有理数的极限，但是无法严格论证，也正因为这个原因，他关于无穷小的一些论证是循环论证。Weierstrass和Cantor以及Dedkind分别独立地建立了实数理论。Dedkind的方法（Dedkind分割）是几何化的，Weierstrass和Cantor的方法则是一样的，都是从极限论本身出发，即用有理数基本序列的等价类来定义实数。基本序列是由Cauchy提出的，前人种树，后人乘凉。Cauchy实际上离建立实数理论仅一步之差却始终无法迈出，他知道基本序列就是有极限的序列。有理数的基本序列的极限不一定是有理数，在极限不是有理数时，Cauchy茫然失措，而后世的Cantor却这个有理数基本序列本身用来定义无理数。Cantor是个对于无限理论有着极度热情和自信的人，他把基本序列这个对象视为一个点，把无限集作为一个整体使用，Cauchy那一步没有迈出就不足为奇了。

Weierstrass是在Cauchy的基础上建立起真正严密的微积分基础的，他第一个认识到严密化需要严格的实数概念。他定义了函数项级数一致收敛的概念，所以他被称为“分析之父”。 事情还没有完，当初物理学家和工程师那么方便地用无穷小解决问题，现在却被那些烦琐地逻辑论证取代了，无穷小就这样死了。看来无穷小从诞生之初就是错误？

先放着这个，我们来看第三次数学悖论。1900年的第二届世界数学家大会上数学大师Poincare宣称数学地绝对严密已经做到。一年后，Russel提出了著名的理发师悖论，使得Cantor提出的集合论受到严重威胁。Russel悖论迫使Dedkind立即推迟印发他关于数与连续性的第三版，Freg深表震惊，说“在工作结束后才发现那大厦的基础已经动摇，对于一个科学工作者来说，没有什么比这更不幸了。”

在经历了无数场没有结果的争论后，Zermelo于1908年提出了新的集合论体系，经过Fraenkel、Skolem和von Neumann改进后形成著名的Zermelo-Fraenkel公理集合论，加上选择公理，形成所谓的ZFC公理集合论。现代数学的逻辑学主体是在ZFC的基础上建立起来的。但是ZFC并不完备，它既不能证明自己的无矛盾性也无法判明连续统假设的真伪，而且选择公理会导致著名的“分球悖论”。在这方面，数理逻辑学家们都甘于当鸵鸟了，何况那些从事与数学基础无关学科的数学家？

其实，所谓地数学危机只是人在江湖的产物，我们这些事后诸葛是看不出什么危机不危机地，因为它们都解决了。我们可以看见先辈地艰辛，但是我们没有和他们共同为这些问题地解决共同努力过。在这种语境下，那些东西是相应时代困扰当时数学精英的“危机”，而不是真的危机。

第一次数学危机是因为没有无理数的概念，不可公度性成为Pythagoras学派的讳莫如深的话题。把数域扩张后，形成了实数域，问题解决了。第二次数学危机虽然绵延两百多年，但是仍然通过上面所说的数位数学家尤其是Cauchy和Weierstrass的工作而圆满解决。第三次数学危机出在集合概念的不精确之上，最后ZFC公理集合论的出现解决了这个问题。时间不超过30年，如果从Zermelo开始算的话，就7年。

上面还提到了无穷小的地位，现在接着补充几句，上世纪六十年代，Robinson提出了非标准分析（与Weierstrass的标准分析相对比），把无穷小和无穷大都纳入广义的数之中，恢复了无穷小的地位。在非标准分析里，无穷小是可以像一般的数那样自由运算的，但是不满足Archimedes性质。非标准分析要大量涉及数理逻辑，所以实际上学习起来比标准分析难许多。但是，如果它真的没有缺漏的话，那么从理论意义上说，它以一个很正当的理由复活了传统的无穷小。

在这里，我们就可以看出，三次数学危机实质上都是对象的定义不恰当导致的。这就犹如广义相对论的奇点一样。在Schwarzschild真空外部解中，r=2M和r=0处出现奇性，诱导度规下的线元变成无穷大。但是，r=2M（称为Schwarzschild半径）处的奇性是因为坐标选取的不当导致的，是伪奇性，上面的奇点都是伪奇点，或者称为坐标奇点。对Schwarzschild时空进行Kruskal延拓后可以消去Schwarzschild半径处的奇性，它实际上把Schwarzschild坐标与Eddington坐标的优点都吸收了，它是最完备的坐标覆盖并且消除了坐标奇性，但是它无法消除r=0处的奇性，这是时空奇性或者说是本质奇性。在黑洞理论中，r=2M是事件视界而不是时空奇点集。由两族类光测地线可以画出各点光锥分析质点运动，可以判明在Schwarzschild半径以内的任何光子都无法越出这个半径，而只能坠向时空奇点（r=0）。

同样道理，数学危机中对象的定义不精确犹如广义相对论中坐标选取的不当一样，前者导致伪数学危机，后者导致伪奇点。但是即使把对象定义地极度精确，数学中仍然无法避免Godel不完备定理，要知道即使是ZFC公理集合论，也难逃Godel不完备定理的制约，同样，即使选择了最大程度的坐标延拓——Kruskal延拓，也无法消除时空奇点，所有物质在这个奇点被撕得粉碎。

真正的“数学危机”类似于Godel不完备定理的结论的出现，而不是那所谓的三次数学危机。真正的奇点时那个永远无法消除得时空奇点而不是事件视界上的点集。

当所谓的哲学家幸灾乐祸地笑话数学家在数学危机中地慌乱失措时，他们没有想到，正是他们嘲笑的这些人认识了这么深入的课题并且解决了这些课题，而那些哲学家连残羹剩饭都没有捞到手，只会自以为高明地瞎评论。

数学史专家Kline（请不要与著名数学家Klein混淆）认为数学家都是奉行“家丑不可外扬”的不诚实之人，所以他很正义地站出来告诉全世界被数学家愚弄的人们来认识数学的家丑。可惜，他真的很颠倒，数学界有什么困难和悖论，都是公之于世的，只不过外行人没有去留心而已。而那些数学“危机”的讨论，哪一次像政客密谋那样偷偷摸摸了？Kline想当英雄，但他没有当成功。

很可笑地是，Kline在《数学，确定性的丧失》中，举了个例子，说蜘蛛看见地下室的蜘蛛网破了，就担心大楼坍塌。但是Kline之流对于数学危机地渲染，其实也是和这蜘蛛一样可笑。是的，Godel不完备定理之类的真危机是存在的，但是它没有影响数学的健康发展，也没有影响数学在其他学科上的精彩应用。它只是说明了数学不是万能，说明了Hilbert元数学无法实现。

大学三年级时看到Halmos接受记者采访时的记录，由于Halmos和Kline一样反对所谓的“新数学”教育，记者就把两人相提并论，这激起Halmos这位数学大师的愤怒，他直接抨击Kline数学观点的无聊与肤浅，当时我看了真是痛快极了。知音啊。因为我从大一开始就鄙视Kline以及Kline之流的以数学的审判官自居的不入流的货色。那是我大学时代最兴奋的读书经历之一，还有一次是看Weil在Columbia大学的《数论今昔两讲》，还有一次是看萧荫堂在1983年的数学家大会上关于复几何的一小时报告。

二稿补充：泛论数学危机的转移、消除与数学中的无限

在本文初稿后，星空浩淼博士认为数学危机只是被转移而没有被消除，因此和Godel不完备定理一样都应该和广义相对论中的时空奇点类比。这个重要的问题使我几天后写下了这个补充文章

我们知道，在Schwarzschild真空外部解中，r=2M处度规的第2个对角元因发散而无意义，而在r=0处度规的第1个和第2个对角元都无意义。r=2M的伪奇性可以消除，但是这上面的奇特效应仍然存在，例如，星体坍缩到这个半径之内时就会形成所谓黑洞，在这个半径之内，时间轴和空间轴对换，无穷远处的观测者会看到r=2M处的时间无限延缓乃至于时间停留。同样，关于无穷小的特性虽然经过Cauchy和Weierstrass的严格定义而消除了神秘感，但是作为非标准分析中的一个“数”，它仍然有其特点，那就是不满足Archimedes性质，Archimedes性质时说：数a小于数b，恒存在足够大的n，使得n•a大于b，无穷小不具备这个特征，这说明这个概念仍然是奇特的，当年的数学大师为这个数学水妖长期折磨也就不足为奇。集合论的进化是否真如星空兄所说的那样时转移了危机而非解决了危机呢？从正统观点看，当然不是这样。但是从非正统观点看，也未必尽然。（什么是非正统观点？如果下了定论，那就是铁板钉钉的正统观点了，而原来的正统观点就是错误观点了。）从非正统观点看，最多只能说可能对可能错。

如果我们坚持Cantor的原始的集合概念，那么我们逃不过Russell悖论，采用ZFC系统，虽然内在缺陷无法完全消除，但是至少可以解决Russell悖论，从这个角度看，它确实如同Kruskal延拓消去Schwarzschild半径处的伪奇性一样。但它带来的新困难则是另外的话题，就如广义相对论解释了水星近日点反常进动后，量子引力的困难是后话，能不能因为它自身量子化与重正化的困难就说它对于反常进动的解决是在转移困难而不是解决困难？显然是不能这样说的。所以公理集合论中的ZFC确实解决了第三次数学危机，哪怕它因此引起第四次数学危机，我们仍然要承认它解决了第三次危机。

还有一点我们要谈及，正如Picard所说：“如果Newton和Leibniz知道连续函数未必可微，微分学间无从建立。”有时候错误的知觉反倒可以使人大胆前进。我大学时就有一个看法就是：“非标准分析中关于无穷小的精确定义，在Newton和Leibniz的思想中很可能已经形成但是却没有精确的语言来描述它，尤其是Leibniz的无穷小的思想已经是很清晰了。所以Robinson在很大程度上只是用精确的数理逻辑方式解释了Leibniz的无穷小的思想。”我当时觉得这个想法对Robinson很不恭。到后来，我看到了Robinson自己的原话，他说他做的事情其实只是在复现Leibniz的无穷小思想，并认为Leibniz就是非标准分析的祖师。那时侯我对数学危机地看法就得到印证了（但愿不是冬瓜印 。 附注：古代中国禅宗僧人常常找一些著名的高僧印证自己是否“开悟”，如果找对人，就是钢印。如果找到一个半吊子，被胡乱忽悠一番却认为自己真的开悟了，这就是冬瓜刻成的印，冒牌、无力且模糊不清。所有学自然科学和数学的人都要注意，不要因为自己的观点和某位权威不谋而合感到自豪，说不定你找的就是一个冬瓜印，比如数学哲学界的Kline和科学哲学界的Kuhn之流）。

无穷小以及集合论中的危机，其实就是这样的二重体，它们看上去很荒唐，但是确实因为定义不当引起的，就像Schwarzschild半径处的坐标奇点是因为坐标的选择不当引起一样。而时空奇点却是和Godel不完备定理一样永远无法消除。

无穷远观测者看到Schwarzschild面上时间停止，而在那里自由下落的宇航员却仍然看到时钟滴答作响，接着就惨叫一声，不知道谁愿意千山万水地跑那里送死。那里是伪奇点，无论在方程中有多么古怪，在无穷远看来有多么奇特，它还是伪奇点，别指望在哪里捞到什么便宜，到了那边照样往下坠。数学危机也是伪危机，不论它们的解决是多么曲折坎坷，它们还是伪危机，如果指望以这个话题来干什么自曝家丑或者以哲学观点攻击数学的话，也只会徒劳无功。所以天体物理学合相对论专家都在实质上关系时空奇点（比如有鸵鸟之嫌的“宇宙监督原理”的提出），数学家也只要对类似于Godel不完备定理之类的结论留心（免得被当作傻子）。

由于第二次数学危机中的解决以及公理集合论都和无限有着紧密联系，所以接下来谈谈无限。数学中的无限有潜无限与实无限两种概念，它们看似对立却又有千丝万缕的联系。

尽管人们认为潜无限这个概念是由Aristotle提出，但是这个朴素的概念实际上是人类与生俱来观念。人们从直觉上认同潜无限，那就是无限之后再加东西，可以不断地加，无限没有尽头，用Aristotle的话说：“只有潜能上的无限，不会有现实的无限。”他拒绝无限进入数学，认为数学家“不需要无限，也不使用无限。数学大师Gauss就是这个信念的支持者。

在极限论中Weierstrass采用了ε-δ与ε-Ν的语言，本质上使通过有限认识无限，以有限的外推来把握无限的过程。这其实还是一种潜无限的思想，它把无穷小和无穷大作为变量以潜无限的形式硬塞入自己的理论中，但却在在实质上承认了无限的终结，过渡到实无限。这种应用潜无限观念行实无限运算的传统其实很久就形成，以级数求和为例，如果只是从潜无限来计算，那是永远也无法得到最后结果的，只能任意逼近结果，但是实际操作中就直接写出和，这本身就是就是终结无限过程，从而就是一种实无限。因此，如果我们不承认实无限而坚持知觉上认同的潜无限的话，那就连级数求和都做不下去，更何况深入的数学分析。

真正突破这个桎梏的是Cantor的集合论。他用单射和双射集合的势，也就是通常所说的个数的推广。在潜无限的标准下，整体是大于局部的，但是在实无限中，整体可以等于局部。实数轴区间上的点的个数可以等于整个实数轴上点的个数，我们只要做个正切函数就可以将一个区间上的点与R上的点一一对应。

超穷数的精巧定义，在当时的数学界引起轩然大波，Cantor的老师Kronecker因不同意Cantor的观点而对他进行野蛮的人身攻击和学术压迫，这是Cantor患精神病的一大原因。但是，我认为这不是最主要的原因，Cantor的幼子夭折才是他精神受到致命打击的主要原因。但是，人们都把帐算在Kronecker头上，这老家伙的名声就臭了。连Weyl在Hilbert去世后写的纪念文章中都没有忘记挖苦Kronecker，把他说成是古希腊神话中的一个强盗。

Cantor理论之所以有许多认反对，就是因为它实在不可思议。很多学过“数学基础”这门课甚至于只看过数学科普书的人都知道，根据他的理论，直线上的点的“个数”等于平面上点的“个数”。那么，空间的维数的意义何在？幸好后来Brouwer证明了维数是拓扑不变量，不同维数空间使无法同胚的。人们对空间维数的信心终于回来了。关键问题就在于Cantor在直线和平面间建立起的映射不是同胚映射（因为不连续）。但是，这个结果也够惊世骇俗，他被视为那个时代的异端。实际上Cantor证明了更一般的情形，那就是直线上的点与n维空间的点等势，1877年他得出这个结果后写信给Dedkind说：“我看见了，但是我不相信。”连他自己在直觉上都无法相信这个结果，何况别人。Poincare不相信实无限自然不接受Cantor的理论，著名数学家Schwarz原先是他至交，但是因为无法忍受他的理论，和他断交了。

Cantor却仍在坚持自己的理论，虽然他声称不相信自己得出得结果，但是他在直觉和逻辑之间选择了逻辑。在无限集得情形，选择公理是极其重要的。若集族中的每个集是可数集，则其并集是可数集。没有选择公理，这个性质就无法成立。

Cantor当年就把这个公理当做自明的公理使用，但是它的地位有如Euclid第五公设一般受人怀疑。从选择公理出发，Banach和Tarski证明了著名的分球怪论。

所不同的是，没有第五公设，可以创造出non-Euclidean几何，没有选择公理，集合论乃至整个数学就一片混乱，比如连续函数变成不连续，空间维数不唯一，可测集不可测。所以抛弃选择公理更加导致的结果更严重。公理集合论所研究出的很多结果都是“消极”的。比如Cohen就证明了在ZFC集合论系统内无法判定连续统假设的真伪，ZFC体系的局限性就可见一斑了。

公理集合论在解决了第三次数学危机，却在自身发现了麻烦，但是这种麻烦的起因和解决方式至少在现在还是不清晰的，唯一可以肯定的是，它的产生仍然和无限这个概念有关，即使我们仍然保留潜无限的地位，我们仍然可以说第二次数学危机和第三次数学危机的实质仍然无法和广义相对论中的时空奇点相提并论，而是与坐标奇点在更大意义上相似。我们毕竟已经解决了或者说基本解决了它们，而在广义相对论中时空奇点时无法消除的，这就像数数学中的Godel不完备定理永远无法驱逐一样。

致谢：本文发在繁星客栈后，站长卢昌海博士指出:“数学悖论与时空奇点的类比有一定的模糊性，因此从不同的角度来看可能会有不同的类比。以 Russell 悖论而言，ZFC 实际上是把 Russell 悖论所涉及的所有不是自身元素的集合组成的集合从集合的定义中排除了出去。从这个意义上讲它是对集合定义的一种缩减而不是延拓，与Kruskal坐标所做的恰好相反。这有点类似于把Schwarzschild解的本性奇点r=0从时空流形中排除掉（真空Einstein方程在R^3-{0}上的解）。” ZFC对集合实际上是重新定义,以公理集合论代替了素朴集合论,而在广义相对论中，必须强行切除奇点,而且，Penrose证明了在经典广义相对论框架中，本性奇点无法避免，时空测地线必定断裂，这是与Godel不完备定理一样无法避免的。无法通过重新的定义来消除，当然可以强行切除，但这种强行切除不具备合法性的。本文附录了丘成桐教授的一段演讲来说明奇点问题对于广义相对论和微分几何的重要性（见篇末） 卢昌海博士从操作上的相反性分析，给了我很大启发。也使我能够更加缜密思考这个问题。 卢昌海博士还从逻辑上深入分析了这两个问题的不同之处，指出：“广义相对论对Schwarzschild视界的处理通俗地讲是：视界是存在的，但Schwarzschild坐标是有缺陷的。因此这种“危机”类似于前提正确（即视界是存在的），但推理手段（Schwarzschild坐标）错误的悖论。而ZFC对Russell悖论的处理通俗的讲则是：Russell集合是不存在的。因此这种“危机”类似于前提错误（Russell集合不存在），但推理手段正确的悖论。换句话说，如果我们把这两个“危机”视为是某种悖论的话，它们对应的是两种不同的（但都是最常见的）悖论结构。当然这种对前提与推理的划分有一定的含糊性，只是表示一个大致意思。如果只考虑可消除性，那么正如萍踪兄所说，两者类似，都不是不可解决的。” 这是一个非常精彩的分析，我实际上是把前提和推理作为综合因素考虑，我考虑的是从这种前提和推理下，形成了的佯谬是否可以消除？ 可以消除的话，就是其中某一个环节出错甚至两个环节都错误了。那么给一个正确的前提和正确的推理就可以消去这个佯谬。如果前提和推理都是正确却得出了我们无法避免的尴尬结果（比如Godel定理使数学万能的神话无法延续，时空奇点使测地线断裂从而使时空流形不完备），那我们只能接受。卢昌海博士的分析周密简洁且富有启发性，令我受益匪浅，特此致谢。也为了使讨论更加完整以及对读者有所助益，征得他本人同意后，我引用于上。 另外，星空浩淼博士认为Godel不完备定理的产生也是因为定义的不当引起，因此也是和广义相对论中的坐标奇点类似，而不是和时空奇点类似。他认为Godel定理而只是和物理中的测不准原理一样，只是告诉我们一个事实，而不是危机。这里，我要分析一下危机这个词的不同理解。对于确定论的拥护者而言，非线性系统中出现的混沌和量子力学中出现的测不准都是危机，但在我们现在看来，只是基本事实，且没有危及整个物理的发展。如果不这样，物理反倒不是物理了。同样，对于拥护“数学万能”的人比如Hilbert及其追随者而言，Godel不完备定理是危机，但对于现在的数学工作者，实际上大多数把它当作数学事实，而不是危机，因为它并不阻挠数学的飞速发展，这在前面也已指出。前面还指出：“其实，所谓地数学危机只是人在江湖的产物，我们这些事后诸葛是看不出什么危机不危机地，因为它们都解决了。我们可以看见先辈地艰辛，但是我们没有和他们共同为这些问题地解决共同努力过。在这种语境下，那些东西是相应时代困扰当时数学精英的“危机”，而不是真的危机。”也是这个意思。 所以分歧实际上不是在于危机这个词的语境解读，而在于Godel不完备定理是否也是由于定义方式不当引起，如果真如星空浩淼博士所言，是由定义方式的不当引起的话，那么我们就必须证明物理中的测不准原理也是因为定义不当引发出来的，这样才能证明两者都是同一类型的现象。这关系到量子力学基础和数理逻辑以及哲学等学科的深入讨论，这里既无必要也无能力做出真正的判决。可以肯定的是，自然科学和数学的自我纠错和自我完善能力会给出更好更有说服力的结果，至于这个结果是和现在结果相同还是相反就无法预测了：）

关于坐标奇点与时空奇点的棘手特性，我引用著名数学家丘成桐教授的一个演讲中的部分内容：“古典的Einstein方程是一个很漂亮的方程，产生了很多重要而有意义的几何现象。其中最重要的是时空的奇异点问题。这几十年来数学家研究奇异点，在代数几何方面有很长远的进步。一个很出名的定理是Hironaka 的Resolution of singularity，这是三十年前做的，与微分几何不同的地方是代数几何的奇异点是比较容易定义的。因为代数流型是用一组多项式定义的，流形本身可以定义奇异点。代数几何学家有很有效的方法来瞭解奇异点的结构。另一方面Mather 和Arnold等好几个数学家考虑了所谓平滑奇异点 (smooth singularity)的问题；不一定由多项式定义，而是由平滑函数（smooth function）定义。他们引进了很多拓扑学的工具。基本上的方法还是变成多项式的情形来解决。可是这些方法对於时空的奇异点问题暂时没有帮助。研究一般性的奇异点，无论在物理上、微分方程上或者几何上，都是基本的问题，这些研究正在萌芽，可是对於真正瞭解它们还是相差很远。例如在广义相对论里，奇异点没有一个很好的定义。我们知道奇异点是在时空的边界上，跟我们现在所看到的Minkowski时空是不同的。这是简单的事实，它的局部性质跟一般时空不一样，但我们不瞭解他们的内在结构，连该问的问题我们都不太清楚，真是一个很困扰的状况。广义相对论的进步，要依靠我们对微分方程的瞭解。为什么呢？因为古典的广义相对论本身是由Einstein方程来决定的。假如我们脱离了Einstein方程，得出来的结论只不过是一个抽象的架构，不能够说符合广义相对论的要求。不幸的是Einstein方程式是一个很複杂的非线性双曲方程组。我们对它的瞭解极为薄弱。我们希望能够从Einstein方程得到时空的奇异点观念。当Cauchy problem 的初始值是光滑的时候，时间向前走，我们要问奇异点是怎样产生的。瞭解了奇异点产生的机制，我们才能瞭解奇异点的结构。在广义相对论里，有两个重要的奇异点：一个就是黑洞，一个就是裸的奇异点(naked singularity)。这两个不同的奇异点有浓厚的物理意义，我们期望从方程上能够瞭解他们。当初始值光滑时，这两种奇异点如何产生。对一般的光滑初始值，裸奇异点可否出现？这是古典相对论最重要的问题。 一般物理学家研究黑洞时，用几个主要的解来解释它们的特性，这就是Schwarzschild的解和Kerr的解，可是这两个解不见得有一般性。我们希望从微分方程或者几何的观点来瞭解这些一般解的性质。例如证明星云毁灭时，时空会渐近一些基本解，或者在这些解集合里跳跃，也希望知道这些基本解奇异点的结构。找出奇异点的结构，不单对黑洞本身的了解有重要意义，重力辐射(gravitation radiation)的问题也会得到帮助。现在的观察仪器差不多可以观察到重力辐射。可是从观察得到的资料的意义，还不清楚。因为无论从理论上或计算数学上，我们都没有办法从Einstein方程里将辐射公式很透彻地了解。这个问题跟奇异点应该有关，在这几十年内希望能有很大的进展。 我们看到的几何现象都会有某种奇异点。我们怎么去分类它？奇异点有不同的类型，一种是人为的，一种是自然的，这两类奇异点我们都要去研究。人为的奇异点在工程计算往往会出现，而自然的奇异点则从物理方程可以推导出来。Einstein方程里边的奇异点是最困难的问题。规范场的坐标没有选好也可以得出奇异点。 Einstein方程不单是一个最重要的非线性微分方程，也影响时空的拓扑，对微分几何学家来说是一个挑战，因为奇异点可以将时空的拓扑吸取。一般来说，微分几何从几个背景来建立我们的理论，拓扑结构就是最重要的背景。当奇异点破坏了这个背景时，我们有时会手足无措。”

二零零五年九月二十九日