Newton为了解决天体力学问题而创立微积分（他称为流数术），根据所谓的科普作家的渲染，他在乡下躲避鼠疫时就通过观察苹果落地而发现了万有引力定律了。有这么“伟大”的科普著作，就难怪有那么多民间科学家队自己的新理论信心十足了。

但是，实际上他当时根本就没有办法证明均匀球体对物体的引力位就好像整个球的质量都集中在球的中心一样。所以他直到四十多岁后证明出这个结论以后才发表了《自然哲学的数学原理》，或者说，他直到这时候才真正发现了万有引力定律。实际上，Hooke也已经猜到万有引力是与距离平方成反比的，所以他和Newton争论优先权，Newton两头受气，那边一个德国的Leibniz，这边来个Hooke。但是Hooke失败了，因为他只是思辨的，而Newton却完整计算证明了。其实，Hooke最大的不幸就是他不是中国人。如果他是中国人的话，那些爱国的教育者早就将他的事迹编入小学和中学以及大学教科书，说：“我们中国明清之际的伟大科学家姓胡名克，字罗伯特，早已发现万有引力定律，比著名科学家牛顿早了若干年。这是我们中国人智力优越的最好证明。”然后还会让各地说书先生把胡克大师与英国科学家Newton争夺应有荣誉的事迹编出几十个版本，通通分为九段，到天桥以及茶馆去轮番演说。

可惜了，Hooke不是中国人。所以中国的教育者当然觉得无关痛痒，就没有必要大肆宣传了。荣誉属于Newton。

Newton在这部伟大的著作中已经开始讨论三体运动，但是相当粗糙。据说Newton从不头痛，但是思考月球运动时就会头痛。因为月球运动过程中，即使不考虑其他行星的摄动，太阳的摄动也时无法避免的。这就是一个三体运动问题。

更一般的，我们考虑n体问题，可以得到n个二阶矢量微分方程。如果我们把这些向量方程都投影到三个坐标轴上去，则可获得3n个二阶微分方程，令y=dx/dt，则成为一个6n阶微分方程组。

然后我们考虑n体问题的积分。所谓n体问题微分方程组的一个积分是指n体的坐标、 某些坐标的导数（如y=dx/dt）、还可能有时间的一个函数关系式，这种关系式对于任意时刻均满足微分方程组，并且依赖于一个任意参数。如果已知方程组的一个积分，则方程组降低一阶。把质心运动定理应用到整个n体系统，因为n体系统没有受到外力，其质心对惯性系作匀速直线运动。可以得到十个积分，Poincare已证明，没有其他的单值解析积分．应用n体问题积分的经典结果，它们使方程组降到6n-10阶。特别是二体问题降到二阶。二体问题的二阶微分方程组是完全可积的。

在实际的天体力学计算中，在研究n体系统(如太阳系)运动时，取n体当中的一个天体(例如太阳)作为坐标系的中心，坐标轴平行于惯性参考系．这样，方程组降低六阶．这等价于应用质心定理的结果．

通常将三体运动建立在二体运动的摄动基础上，而对于二体运动，建立正则方程组是至关重要的。我们通常用Hamilton正则形式来求解问题。

变量的变换是解天体力学方程最常用的方法之一。当方程写成正则形式时是特别有效 的。方法实质上是把变量变换成新变量，使得用这些新变量写成的方程更为简单。如果新的方程组是正则的，则我们认为变量的变换是正则变换．如果成功地找到了这种变换，我们能够继续这个过程，直到方程组容易解出为止。它直接涉及循环坐标的寻找，因此实质上是在研究可积系统，但是正如Jocobi所说，好变量的寻找是很困难的。所以，我们只是将天体力学中的直接的困难转化为间接的困难。

但是Euler和Lagrange时代没有Hamilton形式的经典力学，他们是用自己的力学和数学理论解决问题的。Euler在他60岁时发现了三体运动的一个特殊解，在这个解之中，三个质点始终共线且绕质心做椭圆运动。但是晚年的Euler却宣称自己在月球运动理论中奋斗四十多年的结果时失败的。毕竟月球运动所涉及的三体运动问题实在太一般化了。

Lagrange也在月球问题上奋斗不息，他不仅得出了当年Euler关于三体运动的特殊解，而且得出了另外四个解，这些解被称为“Lagrange秤动点”，最著名得一种情况是三个质点分布于等边三角形得顶点，在一定的初始条件下将始终保持在等边三角形得顶点上。后来，天文学家发现Greek小行星群和Trojan小行星群与木星和太阳正好处于等边三角形顶点处，前呼后拥地绕太阳转。这是一个惊人优美地验证。我小学毕业那年地暑假就是因为看到这个结果而被数学地优美与天文学地壮观说震慑与折服。Lagrange得出了一他得名字命名得方程，由Lagrange方程的二阶近似可以得到一个在天体力学中对于若干问题是有效的重要结果：一阶久期项只是在第二次近似中才出现．当在运动中偏心率和倾角可能为零时，Lagrange方程失效，Lagrange在天体力学中的另一个重要成果就是研究了月球的天平动的现象。由于公转周期和自转周期相同，月球始终以同一面对着地球。但是，由于地球的非球形引力位的摄动，月球会出现点头和摇头运动，即所谓的天平动，点头的是纬度天平动，摇头的是经度天平动。实际上在天体力学中，天平动是一种普通的现象，可以在太阳系许多天体的运动中观测到。著名的例子可以Trojan小行星为代表。Trojan群小行星在轨道上处于木星前后60度。某些卫星如土卫七，也呈现出这种类型的运动，同一个天体的两颗卫星的平均运动表现为通约。土卫1和土卫7就是这种情况，其平均运动之比为3：4。在这两颗卫星之间产生共振，质量较小的土卫七的运动具有天平动的特征。木星最主要的三颗卫星也产生同样的共振和天平动，其平均运动之比为1：2：4。共振使得这些卫星不可能组成任何配置图形：如果其中两颗卫星在“合”的位置，则第三颗卫星就在“冲”的位置。木星的第四颗卫星没有共振，但受到太阳和前三颗卫星的摄动。每当解包含有久期项，其周期在一定的初始条件下趋向于无穷大，就出现天平动现象。天平动的周期可以是近地点的引数的用期，如上述的例子，但更常见的是共振的周期。摄动函数的二个引数的周期通约时就产生共振。任何长周期项在邻近的运动中可以引起共振，只要对应于完全共振的平衡点的位置是稳定的。天平动周期对于初始条件的微小变动是很敏感的。而且，一般引起天平动的初条件的范围很狭小，其边界与渐近运动的区域接界。在天平动区域的周围，运动的类型非常不一致，相邻轨道的某些性质可以是不连续的(例如，近日点的轨迹)。但是，这些运动可以用单摆的运动来比拟。在方程中，也显示出这种相似性。根据初始条件(冲击)，单摆的运动可以是摆动的(局期性的往复)、渐近的(趋向于不稳定的上面的平衡位置)或旋转型的(摆绕着轴转)．初始条件很小的变化可以完全改变运动的状态，这同样适用于天体力学。研究这些运动的特点是这门学科最困难的方面之一。经度天平动和纬度天平动合称为“物理天平动”，因为它们是由真实的力学效应引起的。还有一种天平动是光学天平动，是因为在地球的不同地方观测后拼接的观测图比单独一个地方观测多出的部分。这样，我们实际看到的月球就不是它表面的一半，而是61%。Lagrange研究了天平动的动力学起因，并因此获得大奖。

月球是最近的自然天体，其位置的观测精度最高，因此，很自然地解决月球运动的问题的精细程度，为我们对任何天体所不能希望的。最近两个世纪以来，许多数学家从各种途径进行了尝试，他们的工作已经对天体力学和这门科学主要的问题之——月球的运动向题(月球理论)作出了第一流的贡献；其中，最杰出的是Laplace、Poincare、Hansen、Delaunay、Hill和Brown。月球绕地球运转主要受太阳摄动，其他天体也引起一些摄动；它们的作用要弱得多。地球的扁形也有影响，但由于月地相距甚远，其作用是很小的。事实上，月球所受到的实际摄动很好地近似于假设太阳是唯一的摄动体，而地球绕太阳在一个不变的Kepler椭圆上运转。在这些简化条件下，月球运动的研究通称为月球理论的主要问题。由行星引起的摄动称为直接的行星摄动，而由于地球受到行星的摄动使地球的轨道不是准确的椭圆，从达一事实所引起的月球运动的差异，称为间接的行星摄动。间接的行星摄动比直接的行星摄动强，但比太阳的摄动则弱得多。

为了用公式表示月球的运动，计算密切根数的变化，或者计算球坐标的变化．这些变化被表为所谓月行差的周期项之和．其中一些月行差很早就知道了：Hippachus已经知道出差；Kepler已知二均差以及交点的逆行运动和近地点的前移，这两种运动的周期和朔望一起决定了交食的循环。月行差是用变化的周期旋转的基本轨道不固定的变形它们是由摄动函数不同的项引起的。为了指定严密的月历，许多天文观测学家合天体力学家进行了Newton时代无法达到的精度的观测，最著名是Delaunay和Brown。Delaunay于1860年和1867年发表了他的理论，代表了月球运动理论最广泛的分析研究。他的目标是把月球的坐标表示为Fourier级数的形式。在Delauney方法中，采取连续消去周期项的方法来计算等价于一种坐标系统的椭圆根数的摄动。长期项只是在此过程的末尾才出现。这个方法实质上和Zeppel方法相司。事实上，Zeppel方法基本上是Delauney方法的改进和简化。Delauney用这种方法处理了230个以上的摄动因数项，给出月球的坐标近400项，代表作为小参数的函数的这些项的有限展开式中总共一万个以上的单项。现在，用数值代替这些参数足够了。这些数值的改进只不过相当于个代换。但是，Delauney所忽略的项不是很小的，为了达到现代的观测精度，至少要用5倍的项进行同样的计算。Delauney应用他的理论，从1859年开始制定月历，用十年时间完成，再用十年时间验算，结果出来时，他51岁。他把自己一生中最重要的年华用在了这个学科上。1972年天文学家和计算机科学家把他的所有数据用计算机进行检验，只发现了三个小错误。

Delauney理论的主要困难之一是展开的级数收敛很慢，因此要计算很多项。Hill的建议(Brown进一步发展和应用)是不从椭圆轨道开始，而应当从中间轨道着手工作。另一个重要的特征是用直角坐标代替根数，这就不需要根据椭圆根数进行摄动函数的展开。在普遍地用于历书计算的Brown理论中有310个不同周期的月行差。

鉴于当作变量看待密切根数在天体力学中的重要性，可以建立变量为椭圆密切根数的新的微分方程组，这样得到的等价于Delauney系统的方程组，构成了Lagrange方程。

在摄动理论中，级数的收敛性是及其重要的，如果收敛，还要对其收敛速度提出要求。

称为Delaunay变量的正则变量，在月球理论的发展中非常重要，而且仍然是用于摄动问题最有效的变量组之一。密切根数常用于描述天体的受摄运动，其优点是：几何意义明晰而简单，同时变化又小。 Delaunay的方法用于月球，被Tisserand推广到行星情况

考察三体问题(其中第三体的质量可忽略)的摄动函数R。用密切变量表示的摄动函数的进一步值得注意的性质是，我们可将其展成关于一个小参数的快速收敛级数。在行星摄动的情况下，摄动函数依赖于行星的质量。同太阳的质量相比，行星的质量是很小的量。行星的非球形摄动也可展成用小参数表示的快速收敛级数。显然，同微分式一样，摄动方程的解也将依赖于一个或几个小参数。通常，实际工作总是用同样的小参数进行解的展开，并略去超过一定阶数的项。但是，Poincare第一次证明了这种方法实际上是合理的。（这是常微分方程中Cauchy存在定理的推广，不要忘了，Poincare同时是一个微分方程的大师，不仅在定量计算上层层突破，更创立了永垂不朽的微分方程定性理论）

根据Delaunay-Tisserand定理，形式解是以Fourier级数的形式构成的，级数中具有几个与时间有关的线性参量和常系数，或者还有一个时间的线性函数．值得注意的是，虽然这些级数通常是发散的和被截断的，却仍然可以在有限的时间间隔内作为解的一种表达式。

面对繁复的计算，人们仍然无法解决著名的小分母问题，当年Laplace“证明”了太阳系的稳定性，但是他只能后推900年，对于几十亿年龄的太阳系来说，这不过是弹指一挥间。太阳系是否稳定成为“杞人忧天”的天文学版。1859年著名数学家Dirichlet曾经宣称自己解决了这个问题，但是半年后他去世了，人们也没有找到他的证明。

后来瑞典国王Oskar二世悬赏解决这个问题，题目是《太阳系稳定吗？》，这是一个n体问题。他委托著名数学家Weistrass负责评审来稿。年轻的Poincare参加了这个竞赛，他想通过这个竞赛来磨自己锋利的剑。上面扯了那么多月球的东西，现在可以接下去讲了。Hill研究月球时所采用的模型被Poincare采用，他通过复杂的计算后，发现小参数展开等传统方法不足以解决这个问题，他开始应用自己正在创立的常微分方程定性理论来分析轨道的大范围性质，这个课题的深入研究也直接刺激他后来对组合拓扑学的创立，因为积分曲线的大范围特性是个拓扑问题。通过定量计算和定性分析的完美结合，Poincare瞥见了确定性系统的内在随机性，这个伟大的发现没有被当时的他认真看待，他或许一时无法相信自己的惊人发现。经过整整三年的努力，他决定收工。在最后，他断定这个问题无法完全解决，或者说，他证明了三体运动没有解析解。由于这次竞赛是匿名投稿，必须在文章前面写一句箴言，想起童年时就醉心于浩瀚星空，Poincare写了一句：繁星无法超越。

他的论文获奖了。但是后来检查出错误了，他只好又花了几个月时间纠正错误。这次，他终于认清楚自己上次发现的确定性系统中蕴涵的内在随机性。他时在巴黎的街头散步时灵感闪现的。Poincare的很多重要成果时在边散步边思考时得出得，有时候是不让自己思考却偏偏闪出苦思冥想无法索解的答案。这次是后一种情况。

三体运动的研究就这样告一段落，为了收回错误的版本在把正确的版本重印，他不仅把奖金全部搭进去而且自己还倒贴了一些钱。不过，人类数学和天体力学从他的亏本研究中获得无尽的好处与恩惠。

本篇补充：三体运动的积分理论与周期解理论

因为应用了常微分方程组（ODE）的解析方法，定性方法和数值方法，所以天体力学的问题本质上是ODE问题，从Newton证明行星绕日运动处于平面上得椭圆轨道，到Poincare出版三卷本的《天体力学新方法》，开创天体力学得新局面，Arnold很嚣张地说：“从Newton到Poincare的两百年间，充满了计算的荒漠。”然而，就算荒漠中也有绿洲，这些由前辈数学家家和天文学家精心栽培的绿洲点缀着人类智力的心田，使其不再是完全的黄沙漫天，犹如苦行者从跋涉中获取乐趣一般，他们也从这些艰难的计算和证明中获取乐趣。

我们现在就来看看n体运动地一般情形，然后马上以限制性三体运动为研究对象。我们知道，采取Hamilton形式后，n体运动可以化为6n阶微分方程，Hamilton形式是天体力学地基础，因为它的对称性而使得各种变换理论大显身手。对于三体运动，这是18阶微分方程组。根据微分方程组的基本定理，要降阶就必须求出足够多的首次积分。三体运动有三个动量积分，三个质心运动积分，三个动量矩积分，一个能量积分，总共十个积分。Lagrange于1772年利用这十个积分以及消去自变量和交点经度的方法把18阶微分方程降到6阶。1843年，Jacobi证明，对于n体运动问题，如果能够找到6n-2个积分，则剩下的2个积分也可以找出。让我们来看二体运动，它是12阶方程，有10个积分，因此剩下两个可以找出，因此完全可积。对于三体运动，还差八个，Jacobi定理告诉我们如果能够再找到六个就大功告成了。

三体运动问题的一般提法实在太难解决了。我们考虑平面圆形限制性三体运动。先从限制性三体运动说起。如果三个天体的质量都不可忽略，问题就异常复杂。我们考虑一种情况：两个天体质量有限，绕它们的质心在轨道平面上运动，另一个天体质量小到可以忽略，对这两个天体地运动不构成影响，但是这个小天体处于这两个天体引力位势的影响之下而运动，这就是限制性三体运动。限制性三体运动可以根据中心的两个天体绕质心运动时的圆周曲线种类进行相应分类：圆型限制性三体运动，椭圆型限制性三体运动，抛物型限制性三体运动和双曲型限制性三体运动。后两种应用得很少。主要用圆型和椭圆型两种。椭圆型限制性三体运动主要用于小行星运动的讨论，Trojan小行星群的运动就是太阳、木星于小行星群的椭圆型限制性三体运动的等边三角形的Lagrange特解。

美国著名的天体力学家Hill是美国历史上第一个一流的天文学家，就好比Gibbs是美国物理学的第一位大师一样。Hill于十九世纪末发展了Euler月球理论中以Descartes坐标为基本变量和旋转坐标系的概念研究月球运动，他忽略了太阳的轨道偏心率、太阳的视差和月球的轨道倾角（月球轨道与地球轨道的交角，大约5度左右，变化不定，平均值为5度9分），这实际上就是平面圆型限制性三体运动。在研究圆型限制性三体运动时，采用特殊的旋转坐标系可以得出著名的Jacobi积分，零速度面（Hill面）和Lagrange特解。

平面圆型限制性三体运动的运动微分方程只有四阶，已经有一个Jacobi型积分，所以只差一个了，但是这一个却迟迟找不到。1887年，Bruns证明，用坐标和速度作为基本变量的三体运动问题不存在代数积分，两年后，Poincare证明，连超越积分都不存在，更别说代数积分了，他也是从平面圆形限制性三体运动开始分析得。1941年，Siegel证明平面圆形限制性三体运动除了已知的那个Jacobi型积分外不存在新的积分。后人虽然从级数形式的积分入手进行研究却无法取得可靠结果（因为所得级数无法判断收敛性），而根据不变曲线反证新积分存在的实例也未找到，所以积分问题实际上是处于死胡同状态了。

对于天体力学中不能直接求解的运动方程，除了用级数作为展开作为近似解之外，Poincare在19世纪末开辟了一条新的途径，通过寻找运动方程的周期解来分析问题，所谓周期性，就是在一定时间内天体的坐标和动量都回到相同点上，用他发明的相空间方法分析，周期解在相空间中形成极限环。周期解的存在同天体力学中的共振理论有密切联系，可以将某些周期解作为摄动研究的中间轨道。对于一个人造天体，周期解的存在性和稳定性时极其重要的。正式从这个意义上说，现代的人造星体的动力学基础在不考虑广义相对论等后Newton（post-Newton）效应的情况下，是应用了Newton与Poincare的理论混合体，当然，我们把Lagrange形式和Hamilton形式的力学都认为时Newton力学的形式化进展。为了研究天体力学中微分方程决定的积分曲线的大范围特性，Poincare应用了拓扑学和微分方程定性理论，事实上这是为了研究这个课题刺激了他创立了这两个数学分支。定性方法被Birkhoff和Arnold发扬光大。

Poincare还研究了含有小参数的方程，当小参数为零时，对应周期解即相空间中的极限环。在得出周期解后在根据周期性条件得出小参数不为零时得周期解，这些周期解可以展开小参数得幂级数，应用逐次积分可以求出系数。在三体运动得研究中他得出了三种周期解，被称为Poincare周期解，记两行星间相互交角为α，偏心率为e。α为零且e都很小时称为第一种周期解，α为零且e有限时为第二种周期解，α不为零且e有限时为第三种周期解。Poincare周期解是周期解理论的基础。著名的Lagrange特解也是特殊的周期解之一。

天体力学的第二个里程碑终于由于Poincare的全面且杰出贡献而建立了。

当我们想继续讨论这个问题时，实际上就要涉及到近可积Hamilton的稳定性问题这个问题的最伟大的结果就是KAM理论，鉴于这个问题对于动力系统理论的重要性，我将在另外的帖子里多加描述，这里先打住。这张帖子作为KAM理论帖子的预备帖。

本文的一部分参考了《中国大百科全书 天文学卷》相关条目。在此向这些条目的撰写者表示谢意和敬意。

二零零五年九月三十日