正如我们所知道，从测地线到极小曲面再到一般的极小子流形，由Euler和Lagrange完整创立的变分法都是最基本的工具。所有极小子流形都是体积变分取极值的产物。由长度的第一变分公式可知，测地线相当于长度泛函的临界道路，测地线都是局部最短线，但是未必是整体最短的，必须求出长度的第二变分才可以判定是否最短，只有第二变分大于零时才可以断定测地线时最短测地线。

极小曲面的发展源远流长，Euler在1744年发表的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》一书中举了一个例子，要求决定出介于两个固定点之间的平面曲线y＝f(x)，使得它在绕x轴旋转时所生成的曲面的面积最小。Euler证明了函数必须是一段悬链线，生成的旋转面叫做悬链面。Lagrange在1760年第一次给出了这类曲面应该满足的PDE（偏微分方程）。他所考虑的是R^3中由函数z＝f(x，y)给出的图象M，。Lagrange利用变分法原理证明了：如果在所有定义在区域D上、并且在D的边界上取值相同的函数的图象中曲面的面积最小，则函数z＝f(x，y)必须满足一个PDE即著名的所谓极小曲面方程，他得出了这个方程的正确形式。极小曲面方程是非线性二阶PDE。可以证明：对于曲面面积的第一变分有贡献的仅仅是变分向量场在曲面的法向量上的分量。将测地线情形推广到极小曲面，将曲线长度的变分换成曲面面积的变分，可以得出极小曲面是面积泛函的临界曲面，而对于面积的第二变分大于零的曲面才是真正的“极小”曲面，也称为“稳定极小曲面”。除了古老的悬链面外，正螺旋面，Enneper极小曲面以及 Scherk曲面都是极小曲面，定义于单位圆盘上的Enneper极小曲面是稳定极小曲面。

从方程个数的角度分析，一个极小子流形满足的PDE的方程个数与其在外围空间中的余维数相等。二维曲面在三维空间中的余维数刚好为 1 ，所以Lagrange的极小曲面方程个数为1。

1776年， Meusnier计算了z＝f(x，y)函数的图象的平均曲率是0，给出了极小曲面方程的几何解释，他还指出悬链面和正螺旋面是满足极小曲面方程的两个非线性函数的图象。 这个结果可以推广到高维极小子流形，子流形极小的充分必要条件是其平均曲率向量为零。

Weierstrass和Enneper给出了极小曲面方程的通解表达式，Bonnet发现了极小曲面的Gauss映射的共形性质。这些结果把极小曲面理论与复变函数理论深刻联系起来。

极小曲面作为极小子流形的一个特殊情形，有着独特的性质和地位。这个特殊地位实由于二维面与单复变函数论以及Riemann面理论的深刻联系导致的。令E、F、G为曲面第一基本形式系数，用Riemann几何语言来说就是曲面的度规矩阵元。如果选择一个坐标系使得F＝0，并且E=G，则我们称此坐标系为曲面的等温坐标系。1822年Gauss在实解析情形下，证明了曲面在任意一点的某个邻域内存在等温参数。在极小曲面的情形，可直接写出从已知参数系过渡到等温参数系的参数变换；对于曲面上的等温参数系(u，v)，引进复变量ω＝u+iv，则ω是极小曲面上的局部复坐标系。由于曲面上存在局部等温参数系使得定向正则曲面上可以引进复坐标，使得极小曲面理论与复变函数论甚至Riemann曲面论直接相关且互相影响。正如我们知道的那样，由于复变函数论和Riemann面理论研究共形不变性，使得它们在现代理论物理学的膜理论中起到重要作用，所谓共形场论就是以这些概念为基础的。Riemann面与复分析有关的东西同样深刻影响了极小曲面的研究。这些在三维以上的情形是没有的。奇数维流形没有复结构（complex structure），首先丧失了这个权利，而偶数维流形即使赋予复结构，也由于多复变函数论固有的困难而无法拥有一维复流形（Riemann面就是一维复流形）的优美性质。这使得3维及3维以上的极小子流形没有极小曲面的优美性质。

返回来说极小曲面。Weierstrass发现了极小曲面方程用复变函数给出的通解，即所谓的Weierstrass公式，这个结果也被称为极小曲面的Weierstrass表示。Weierstrass证明曲面是极小曲面等价于它的参数方程是等温参数的调和函数。极小曲面的这个特征使得人们可以不考虑曲面的度规和面积，从而把曲面本身作为黎曼曲面的共形结构，使得定义在Riemann面上的极小曲面成为重要研究对象。极小曲面的Weierstrass表示给出了R^3中极小曲面的通解，通常把其中的出现的函数简称为W-因子。W-因子有明确的几何意义。如果把单位球面与扩充复数平面等同起来，那么W-因子恰好是极小曲面的Gauss mapping。R^3中极小曲面的Gauss曲率必是非正的。极小曲面上局部等温参数系的存在性是容易证明的，Chern也曾经给出一个初等证明。而极小曲面上大范围等温参数系的存在性则要利用Poincare-Koebe单值化定理予以证明。将极小曲面的坐标函数表示成三个全纯函数的积分表达式最早是法国几何学家Monge发现的，把三个全纯函数用显式解出来的工作则经过Weierstrass和他得意门生Schwarz等人的共同努力才作出。

把极小曲面的理论推广到n维极小子流形，把体积的第一变分为零的子流形称为临界子流形，而体积第二变分大于零的则称为（稳定）极小子流形。由体积（把长度和面积分别看作一维和二维的体积）的第二变分公式可以引进著名的Jacobi方程，满足此方程的向量场称为Jacobi场。Jacobi场全体构成一个实向量空间。应用Jacobi场可以大范围微分几何中证明著名的Cardan-Hadamard定理：Riemann截面曲率非正的光滑Rieman流形没有共轭点且微分同佩于R^m。前半个结论在直观上也容易想象，平直空间上任意两条相交直线无限延长后不会交于另外的点，因为他截面曲率为零，非正。而球面上任意两个大圆的弧段沿着大圆延长，必定交于对径点，因此由共轭点，因为它的曲率为正的。但是关于微分同胚的证明就无法从直观上掌握。

Riemann曲率和Ricci曲率对共轭点之间的距离d的上界有影响。这方面有两个重要的定理。若Riemann的截面曲率K >=c>0，则d <=π/c^1/2。若其Ricci曲率张量正定且任意特征值λ>=（m-1）c>0 则d <=π/c^1/2。对于m维连通完备光滑Riemann流形，在满足上面条件的情况下，有证明的Bonnet-Myers的结论：M的直径d <=π/c^1/2；M为紧致的；M的基本群有限。

在现代微分几何中，关于极小子流形的刚性研究一直是吸引着众多优秀研究者。考虑m+p维单位球面S^（m+p）上的m维极小子流形M^m，以S表示M^m光滑浸入S^（m+p）的第二基本形式长度的平方，Yau证明了当S 〈=m/（m^1/2+3-1/(p-1) 时则M^m躺在S^（m+p）上的全测地子流形S^（m+1）中。

首先，先简略分析全测地子流形概念，如果一个流形的子流形上的测地线在这个流形上仍然是测地线，则这个子流形是全测地子流形，全测地子流形必定是极小子流形，反之未必。

为直观起见，我们看看二维球面S^2上的所有大圆S^1，S^1上所有弧段都是S^1的测地线，同时又是S^2上的测地线，所以这些S^1都是S^2上。Yau的这个定理是极小子流形刚性的重要定理。

另一方面，对于极小子流形，S=m（m-1）-s，其中s为流形标量曲率，为内蕴不变量，与子流形的外围空间无关，所以S也为内蕴不变量；Simons证明：如果M^m上处处成立S〈=m/（2-1/p），则或者S恒等于0，此时根据定义，M^m为全测地子流形，或者S恒等于m/（2-1/p）。随后，Chern等人完全确定了S^（m+p）中所有满足S恒等于m/（2-1/p）的所有极小子流形为以下几种：全测地子流形、Clifford环面、4维球面S^4上的Veronese曲面。

当S〈=（3m+2）m/(5m+2)时，或者M^m为S^（m+p）的全测地子流形，或者当m=2时，为S^4上的Veronese曲面。若限制p不小于2，如果S〈=2m/3，则M^m必须为全测地或者是Veronese曲面。

在m〉=8时，何太平将Yau的定理中的m/（m^1/2+3-1/(p-1)改进为2（m-1）^1/2这样的最好结果，并且给出了M^m在此时的分类。（以上关于极小子流形刚性的结果参阅徐森林，薛春华《微分几何》，中国科学技术大学出版社， 1997）

计算这些Pinching常数是这个课题中的核心任务，用的主要工具全是Cartan发展出的活动标架法。这些美妙定理的主要特点是当S小于或者等于某个数（这个数被称为Simons型常数）时，都统一地具备一个特征，如躺在流形的某个全测地子流形中。这就是“刚性”这个词之由来，例如我们弯曲一个木棍，只要弯曲程度超过一定程度，所有情况下木棍都要断裂。

微分几何的刚性和代数几何的刚性不同，代数几何的刚性重要由于其集的稠密性导致，而微分几何的刚性则由于第二基本形式长度平方取值的变化引起，相对而言，代数几何更加刚硬。

二零零五年十一月二日