相对论中用光锥划分类空区域、类光区域和类时区域，现在来描述和理论物理有着密切关系的空间——de Sitter空间之中的类空超曲面的刚性定理。超曲面是子流形的特殊情况，其维数比外围空间低一维，即余维数为一的超曲面，空间的极小超曲面的Lagrange方程也因此只有一个（极小子流形的Lagrange方程个数等于它的余维数）。

我们考虑de Sitter空间之中的类空超曲面，首先进行定义，在n+2维实向量空间内赋予Lorentz内积，形成Lorentz-Minkowski空间，如大家熟知的n+2维Euclidean空间中内积形式为（+，+，……，+），Lorentz-Minkowski空间内积形式为（-，+，+，……，+）。n+2维Euclidean空间中形如（x，x）=r^2的曲面为半径等于r的n+1维球面，记为S^(n+1)(r),其中x为Euclidean空间中n+2维向量。

而在n+2维的Lorentz-Minkowski空间中，形如（x，x）=r^2的曲面为de Sitter空间，S_1,^n+1(r),公式中1为下标，n+1为上标。因此，可以将de Sitter空间与超球面类比。但是由于Lorentz-Minkowski空间与Euclidean空间的巨大差异，de Sitter空间与超球面也有巨大差异。 对于超球面，Chern证明：Clifford环面是S^（n+1）（1）中唯一满足Ⅱ形式模平方等于n的极小超曲面，同时他猜测：S^（n+1）（1）中常数量曲率的极小超曲面的曲率是离散的。这个问题称为第二空隙问题。与此类似的一些结果在我前几天的《极小子流形及其刚性》已经通过对极小子流形刚性定理进行了初步描述。

（半径为（p/m）^(1/2)的p维球面与半径为（(m-p）/m）^(1/2)的m-p维球面的直积流形为m+1维单位球面上的极小超曲面，称为Clifford极小超曲面。若m=2，p=1，则称为Clifford环面，此时它为单位三维球的极小超曲面。）

在这里，我们分析de Sitter空间中类空超曲面的刚性。选定合适的标架后，应用Cartan结构方程可以计算出de Sitter空间的Riemann截面曲率为常数(1/r)^2 的常曲率空间。

然后设M为de Sitter空间S_1,^n+1(r)中的类空超曲面,在M上选取与M相切的局部正交标架e_0, e_1, ……, e_n+1。

由于 dω_n+1=ω_n+1.i∧ω_i,由著名的Cartan lemma，记ω_n+1i=h_ij ω_j

M的结构方程是dω_i=ω_ ij∧ω_j,熟知，ω_ ij关于指标反称，即ω_ ij+ω_ ji=0

dω_ij=ω_ ik∧ω_kj +Ω_ij=ω_ ik∧ω_kj+ω_ i.n+1∧ω_n+1.j - (1/2)K_ijkl•ω_ k∧ω_l ,这里i，j取值为0到n。

Ω_ij= -（1/2）R_ijkl•ω_ k∧ω_l,

所以对于de Sitter空间中的类空超曲面M

Gauss方程为： R_ijkl= K_ijkl-( h_ik•h_kj-h_il•h_jk)

Codazzi方程为：h_ijk= h_ikj

首先我们有如下定理：de Sitter空间中平均曲率为常数的紧致类空超曲面，x是M上点的位置向量，e_n+1为M上单位向量场，若存在固定向量V，使得（e_n+1，V）保持定号，则M为全脐类空超曲面。

这里解释一下全脐这个概念，设ξ为光滑法向量场，若〈h（X，Y），ξ〉=λ（x）〈X，Y〉，则称子流形关于ξ是脐点的。如果子流形关于任何向量场都是脐点的，则称流形为全脐子流形。关于全脐子流形，先叙述一个与Riemann流形有关的定理： Riemann截面曲率为常数的光滑Riemann流形，其连通全脐子流形的Riemann截面曲率也为常数。

我们知道，极小子流形的特征是平均曲率为零。一个子流形如果既是全脐子流形又是极小子流形，则为全测地子流形。这里有一个重要定理： (m+k)维的标准空间形式R^ (m+k)（c）的光滑连通全脐子流形M^n要么为R^ (m+k)（c）的全测地子流形要么为R^ (m+k)（c）的一个m+1维全测地子流形的超球面中。这里c可取正，0，负，代表三种最常见的标准空间形式即单连通常曲率空间。

全测地子流形（更特殊的，全测地超曲面）是非常罕见的，但是有一个很深刻的定理说明了流形上非平凡等距的不动点集构成全测地子流形： 流形上一个光滑等距变换的不动点集是一个光滑全测地子流形，但未必连通。

下面回到de Sitter空间中的全测地超曲面M，有以下结论： 若对M中任意点，可以选择适当的规范正交标架，使M的Ⅱ形式h_ij中除h_11=λ（x）外都等于0，则M为全测地类空超曲面。 下面这个定理的证明应用到上面这个结论，定理： 设M是de Sitter空间S_1,^n+1(r)中的完备类空超曲面，R_ij为Ricci曲率张量，s为M的数量曲率，则R_ij的模平方≥2s(n-1) -n(n-1)^2，等号成立当且仅当M为全测地类空超曲面。

由上面这个定理可以推出Einstein类空超曲面的一个结论： 设M是de Sitter空间S_1,^n+1(r)中的类空Einstein超曲面，若Ricci曲率张量为Ric=cn（n-1）g，则M是全测地的。

一个超曲面的所有主曲率均为常数，则称为等参超曲面，这方面的最早结果是Cartan在实的单连通常曲率空间（实空间形式）中等参超曲面的分类，后来被推广到复空间形式以及Lorentz-Minkowski空间和de Sitter空间中进行分类研究。

对于de Sitter空间S_1,^n+1(r)中平均曲率与Ⅱ形式模平方S都为为常数的紧致类空超曲面M，有以下刚性定理： 若S≤2（n-2）^（1/2），则M为等参超曲面。

在微分几何的研究中，Gauss映射有着极其重要的作用。下面讨论de Sitter空间S_1,^n+1(r)中的类空超曲面M的Gauss映射。类似于一般空间中曲面的Gauss映射，我们把M上每一点处的单位法向量平移到Lorentz- Minkowski空间的原点，即建立了Gauss映射。 关于de Sitter空间S_1,^n+1(r)中的类空超曲面M的Gauss映射g有如下定理：g为调和映照的充要条件为g使极小的。

在数学物理中有巨大吸引力的还有反de Sitter（anti-de Sitter）空间，即ADS空间。对n+1维复向量空间C^（n+1）中的实（2n+1）超曲面H_1,^2n+1，其上复矢量Z全部满足〈z，z〉= -1，则称H_1,^2n+1为anti-de Sitter空间，它是截面曲率恒为-1的Lorentz流形。这是一个非常重要的流形，我在以后会谈到它。

大多数人耐心看到这里时，都因为这些定理感到有点痛苦了，但是我希望同时也有一种惬意感。为了放松一下，来看一下Willem de Sitter（1872-1934）与Einstein的一段有趣的争论和合作。

Einstein发表广义相对论得前后其实是比较郁闷的，且不说此前卷入Hilbert的优先权之争（Hilbert好象倒是时不关己，高高挂起，而Hilbert的某些支持者却聒噪不已），在他得出广义相对论场方程后，他还是无法得出自己创立得方程的精确解，而是用逼近法去暂时解决问题。几个月后（1916年），俄国著名的数学家和天文学家Schwarzschild第一个得出了球对称静态引力场方程的精确解，这就是著名的Schwarzschild解。后来（1917年）Einstein引入宇宙常数λ，建立了第一个宇宙学模型，这个模型被称为“有物质，没运动。”

Einstein得出这个模型后， de Sitter正在疗养院养病，凭借他丰富的天文观测经验，他首先怀疑宇宙静态，其次他怀疑Einstein宇宙模型中得宇宙尺度，他说Einstein只是把物质从宇宙边界拉到里面并使它们均匀分布。de Sitter还认为即使不需要任何物质，λ得存在也会使时空弯曲，因此，Einstein奉行的Mach原理直接破产。de Sitter得出了两个模型，其中一个和Einstein类似，另一个则只有λ，没有物质，但是其中的物质有运动，只是物质的平均密度接近于零。

de Sitter根据这些条件，应用自己高超的数学技巧得出他的一个宇宙模型的时空线元为： ds^2=dρ^2/(1-ρ^2/R^2)+ ρ^2(dθ^2+sinθ^2•dφ^2) -(1-ρ^2/R^2)c^2dt^2 由此得到的模型是形状犹如椭球体的封闭宇宙。在这个宇宙中，离观测者越远的钟走得越慢。到宇宙边界则，时间将停滞不前且所有的运动和能量都变为零。由于他认为宇宙物质平均密度趋于零但是物质又有运动，人们称此模型为“有运动，没物质”。

Einstein为了让宇宙静止不动而引入λ，但是这个模型稍有扰动就马上失稳，后来（1922年）Friedman让他很没面子了一回。反正当时Einstein的名誉够多了，错一两次没什么，认错后还会被后人说成是谦虚、勇敢，不知道这些人是不是认为Einstein死不认错才算正常，以致于承认了应该承认的错误都被当成美德来宣传，要知道，如果我在繁星发帖子出错后，承认错误后我还是认为自己傻瓜。这大概就是名人于凡人的差别（所以我希望成为名人啊：-）

从另一方面，de Sitter的“有运动，没物质”模型，只要加入极小量物质，随着空间距离的增长，遥远恒星或者星云的谱线出现红移，他觉得这是一个虚假的效应（de Sitter效应）。这其实离Hubble的观测已经很近了。但是他没有迈出这一步。

由于Einstein认为宇宙准静态且de Sitter模型违反了Mach原理，所以他对de Sitter模型不欢迎，他写信推导自己的结论以反驳de Sitter，不过de Sitter在给Einstein的回信中说Einstein的推导全是错误的。后来Weyl和Eddington还有Klein都来凑热闹，并且都支持de Sitter，Einstein再一次觉得很没面子，对Weyl发牢骚说，如果宇宙无法保持准静态，那么就扔掉λ吧。

虽然两人争论得不亦乐乎，但是随着Friedmann模型受承认，争论基本上结束了。两人合作搞出一个模型，描述平直时空的膨胀运动，这个模型被称为Einstein-de Sitter模型。在一次会议上，两人都参加了，而且还有他们共同的好友Eddington。会议中途休息的某个时候，Einstein碰见了Eddington，Eddington问起Einstein-de Sitter模型，Einstein赶忙说：“其实我对那个模型一点兴趣都没有，都是de Sitter非常热衷于这个模型。” Eddington离开Einstein后一会，就碰到de Sitter，de Sitter见到他后偷偷塞给他一张小纸条后匆匆离开，Eddington打开一看，只见上面写着：“其实对于我和Einstein建立的那个模型，我一直没有兴趣，倒是Einstein很有兴趣。”

宇宙的局部由于物质的存在而无法平坦，但是在大范围考虑，到底是平直的Minkowski时空还是弯曲的双曲时空，还是Pseudo-Riemannian时空，现在还是没有定论。但是有意思的是，时空即使是弯曲的，它也非常接近于平坦，这刚好和Einstein-de Sitter模型不谋而合，或者说，这个模型的合理性似乎更大一点。当然，这是一个“巧合”，这个巧合称为“准平坦性疑难”，直到上世界八十年代初MIT的Guth提出暴胀理论才解决了这个准平坦问题，同时也解决了视界问题。

参考文献：

[1] Chern，do Carmo,Kobayashi,Minimal submanifolds of a sphere with second fundamental form of constant length.Functional Analysis and Related Fields,Springer-Verlag,1970,59-75

[2] 许志才，《子流形几何》，中国科学技术大学出版社，2003，87-117

[3] 徐森林，薛春华，《微分几何》，中国科学技术大学出版社，1997，150-165

[4] Overbye，Einstein In Love：A Scientific Romance ，Viking Penguin ,a division of Penguin Putnum Inc ,2000,450-454.

[5]《中国大百科全书，天文学卷》，中国大百科全书出版社，1980.12,47

二零零五年十一月八日