从Euler和Cauchy开始，微分方程的研究就和向量场的研究密切相关。到Poincare时代，由于分析工具的发展，更是形成完善的几何和拓扑理论。为了方便分析，我们先建立相图和相轨迹的概念。以位形空间坐标x和x的变化率y=dx/dt为坐标点建立起来的坐标系称为相图，x，y均为 n维矢量。x-y是2n维相空间，相空间是讨论Hamilton系统的基础。相空间内的点称为相点，相点的运动轨迹称为相轨迹，简称轨迹。通常可以记dy/dx=P(x，y，t)/Q(x，y，t)

上式在dx=dy=0时失去意义。但这个情况是极其重要的。因为dx=dy=0表明位形和速度均不变化，位移不变，速度为零，相点必然落在 轴上，速度不变，必然处于平衡状态。这样的点称为平衡点或奇点。其他的点则称为为常点。常点性质非常简单。真正具有理论与应用上价值的是奇点。

早在19世纪末，Poincare就已经把Hamilton系统的研究从平直相空间推广到弯曲的相流形了。他研究相流形上带奇点的向量场的重要性质，为后世力学和数学留下宝贵遗产。Poincare截面，Poincare积分不变量等等，以及动力系统中的大量重要概念都来自Poincare高度原创性的伟大工作。其中，著名的Poincare-Hopf定理就是他的杰作之一。这里，必须先叙述奇点类型及奇点指数概念。

奇点的类型可以用系数矩阵即Jacobi矩阵 的特征值来判定。对于一个二元微分方程组，以λ_1与λ_2表示 的两个特征值。λ_1与λ_2均为实数且都小于零时，奇点为稳定结点；λ_1与λ_2为实数且都大于零时，奇点为不稳定结点；λ_1与λ_2为实数且异号时，奇点为鞍点；λ_1与λ_2为实部大于零的共轭复数，奇点为不稳定焦点；λ_1与λ_2为实部小于零的共轭复数，奇点为稳定焦点；λ_1与λ_2为纯虚数，奇点为中心。

微分方程组的奇点很好计算，只要给出函数就可以判定相空间中矢量场的奇点，比如说对于下面这个方程组决定的矢量场： dx/dt=2x+3y，dy/dt=x-y。只要令两个等式分别为零，求出的（0，0）点就是奇点。这是线性情形，奇点只有一个，为在非线性情形，奇点个数不唯一，通常应用线性近似法研究，判断奇点的稳定性，但是计算奇点的原理是和线性情形一样的。当非线性系统的线性近似的特征根实部有正数或者都小于零时，非线性方程组奇点的稳定性与其线性近似系统的稳定性是一致的。这时候可以根据线性近似系统的奇点类型来直接判断相应的非线性系统的奇点类型。这个方法称为Lyapunove间接法。

在微分拓扑学中，重要的是奇点的指标概念。以一个奇点为圆心，画一个圆，如果顺时针环绕了一圈，圆周上的向量也顺时针旋转n圈，则奇点指数为n，若圆周上的向量逆时针旋转n圈，则指数为-n，这里规定n为正数。从微分几何观点看，这实际上是一个Gauss映射。容易计算出结点、焦点与中心的指标都为1，鞍点指标为-1，在流形上可以根据一定条件构造含有奇点的向量场。关于奇点的定义要仔细揣摩，我初学时根本看不懂是什么意思，后来逼着自己死死研究了半个小时，豁然开朗，心中的愉快无法形容。

Poincare-Hopf定理断言：光滑紧致流形M上只有孤立奇点的光滑切向量场在孤立奇点处的指数之相等于M的Euler-Poincare示性数χ（M）。这—定理的2维情形是由Poincare在1885年证明的。此后Brouwer和Hadamard在n维推广情形进行了部分证明，定理的全部证明是由Hopf在1926年完成的。由于Brouwer的贡献，这个定理也被少数文献称为Poincare-Brouwer定理，这样对Hopf不公正。这个定理的完整证明要先引入Morse函数，并证明Morse引理。

应用这个定理可以很轻松解决紧致流形的一些重要问题。我们先看n维球面的Euler-Poincare示性数χ（M）问题，如果只从纯组合拓扑角度分析，我们根据χ（M）为同调群的秩（即Betti数）的交错和，计算公式为χ（M）=1+（-1）^n，n为奇数，则为0，n为偶数，则为2。

现在我们从微分拓扑观点分析，在n维球面上取对径点，称为南极和北极，作为孤立奇点。应用球极投影（E^n中标准球面在以北极点为中心的球极投影下映为扩充复平面时，球面上的Riemann度规为共形度规，常曲率流形可以通过类似方法构造共形平坦度规。）

计算出两个奇点指数分别为1和（-1）^n。指数和为2或者0，分别对应偶数维和奇数维。根据Poincare-Hopf定理，就可以得出球的Euler-Poincare示性数χ（M）为2或者0，对应偶数维和奇数维。向量场奇点的指数是局部性质，而χ（M）为整体性质，所以这个定理不仅可以很轻松地推出n维球的χ（M），而且更重要的是建立起局部和整体，代数拓扑和微分拓扑的深刻联系，是数学中的经典定理。

从上面可以自然得出奇数维球的χ（M）=0，更一般地，有以下结论：所有奇数维紧致光滑流形的χ（M）必为零。另外，若紧致光滑流形M存在处处非零的光滑切向量场，则其χ（M）必为零。从而奇数维紧致光滑流形存在处处非零的光滑切向量场。

如果奇数维紧致光滑流形M可定向，即坐标卡间的转移函数的Jacobian大于零，则根据Poincare对偶定理，可以干净利落地得出其χ（M）=0，如果M不可定向，即转移函数的Jacobian小于零，则根据模2同调群的Poincare对偶定理，也可以得出其χ（M）=0。

在球面上取定两个起奇点进行了指标的计算，我们可以追问，球面上是否可以存在只有一个奇点的向量场。回答是肯定的。对于这个问题，有一个更普遍的结论：紧致光滑流形M存在只含一个奇点的向量场。

这个结论的证明可以先用Whitney嵌入定理将M嵌入到n维Euclidean空间E^n中成为其光滑正则子流形，其上定义有E^n标准度规诱导的Riemann度规，从而成为光滑Riemann正则子流形。再根据紧致流形上Morse函数的存在性进行分析。大家知道，紧致流形的一个重要特征是其上函数必然取到最大值和最小值，判断出M上存在非退化孤立奇点。通过构造E^n上只含一个奇点0的连续切向量场，借助扰动定理，就可以证明这个结论。这里，我们不仅用到了微分拓扑理论而且用到了微分几何方法。

二零零五年十一月十六日