星空浩淼
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站长能否在这里专门给我们讲一下微扰级数？谢谢！
1）不知昌海兄能否给出F. Dyson的那篇原始文献的出处？谢谢！
以前我对微扰级数的敛散性问题思考良久，我参考的量子场论文献不下十种，没有一个谈到微扰级数本身的敛散性问题，一般都是关心级数中的某一项或几项的敛散性（重整化处理）。
看来我也犯了直观错误：以为至少QED 的微扰级数是收敛的。
2）F. Dyson的论证考虑了重整化吗？或者说他的结论跟有没有进行重整化没有关系？
3）如果不进行归一化，一开始就是发散的。例如真空态跟它本身的内积是一个无穷大的因子。
从微扰级数的来源看，它在纯数学形式上相当于函数exp(x)的展开（示意性的表达，且暂时不考虑编时积的作用）。我们知道，只要x有限，这个展开级数总是收敛的。难道就是多了个编时积算符就改变了这一切？
或者，是由于我们考虑粒子半径为零（或时空没有最小尺度），导致exp(x)中的x事实上趋于无穷大？即微扰级数之所以发散，是因为我们计算是做了理想性的假设（例如粒子半径为零）？
昌海兄可以将你所知道的给我们讲解讲解吗？谢谢！
惟有与时间赛跑，才能保持一息尚存
| 发表时间：2004-03-29, 06:05:22 |
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卢昌海
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Re: 站长能否在这里专门给我们讲一下微扰级数？谢谢！
Dyson 正是在证明了 QED 可重整后想要证明其展开级数收敛的， 因为这两者结合起来， QED 的微扰理论就完整了。
我不记得 Dyson 文章的出处了， 不过他的证明十分简单 (被称为 heuristic proof - 即不算严格的证明)， 可以在这里简述一下： 如果 QED 的微扰级数对于耦合常数 e^2>0 的某个数值收敛， 那它也必定在复平面上以 e^2=0 为圆心的某个圆内收敛， 其中包含实轴上 e^2<0 的某个区域。 但这是不可能的， 因为在物理上可以证明， 倘若 e^2<0， 电磁系统不可能存在稳定的真空态， 由大量正电荷与负电荷分别聚集所形成的态具有比真空更低的能量， 这种态对应于微扰级数中的高阶项， 这说明微扰级数中的高阶项会变得越来越重要， 这种级数至多是一个渐进级数。
系统地介绍微扰级数现在我还没有时间精力去做， 而且这种介绍要涉及不少数学公式， 也很难在这里做， 容我留待日后。
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2004-03-29, 08:33:48 |
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星空浩淼
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武功等级: 九阳神功
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Re: 站长能否在这里专门给我们讲一下微扰级数？谢谢！
谢谢！
我自己也准备找找 Dyson 的那篇文章，并且看能不能钻钻牛角尖。：）
我觉得量子场论中一些数学基础有待严格地建立，有些地方让人感觉是“歪打正着”。
有些人试图建立了公理化的量子场论，我觉得，在没有将与它相关的一切数学基础严密化之前，公理化运动始终不让人放心。
如果微扰级数居然是发散的，那就是说我们在利用一个发散级数为我们干活，还居然干得那么漂亮，那简直不可思议！
可和级数有合理利用的价值，但可和级数是界于发散级数和收敛级数之间的，尽管它在柯西的严格定义下属于发散级数。
期待你将来系统地介绍微扰级数！
惟有与时间赛跑，才能保持一息尚存
| 发表时间：2004-03-29, 08:59:59 |
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yinhow
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Life Cycle of a Theoretical Physicist
Life Cycle of a Theoretical Physicist
math- ph/ 0204014 , Notes taken from a course of R.E. Borcherds
1.1. Write down a Lagrangian density L. This is a polynomial in fields and their deriva-tives. For example...
2.Write down the Feynman path integral. Roughly speaking this is...
The value of this integral can be used to compute cross sections for various processes.
3.Calculate the Feynman path integral by expanding as a formal power series in the
coupling constant lamba
The ai are finite sums over Feynman diagrams. Feynman diagrams are a graphical
shorthand for finite dimensional integrals.
4.Work out the integrals and add everything up.
5.Realise that the finite dimensional integrals do not converge.
6.Regularise the integrals by introducing a cutoff" (there is usually an inifnite dimen-sional space of possible regularisations). For example...
7.Now we have the series....Amazing Idea: Make lamba, m and other parameters of the Lagrangian depend on in such a way that terms of the series are independent of .
8. Realise that the new sum still diverges even though we have made all the individual ai's finite. No good way of fixing this is known. It appears that the resulting series is in some sense an asymptotic expansion.
9.Ignore step 8, take only the first few terms and compare with experiment.
10.Depending on the results to step 9: Collect a Nobel prize or return to step 1.
| 发表时间：2004-03-29, 11:02:15 |
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yinhow
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武功等级: 弹指神通
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Freeman Dyson
李杨的相变理论分析了系统巨分配函数的零点, 正实轴上没有零点不会发生相
变,有两个不同的零点发生相变.在求巨分配函数过程中,体积趋于无穷大
的极限和对变量求导的次序不能互换.对于两维Isin等模型, 巨分配函数的展开
系数是对称多项式, 所有的根(零点)分布在同一圆周上[1,2].
Freeman Dyson大学是学数学的, 研究的是数论, 转行做物理的话, 把研究数
论当作一项乐趣,他给出了Ramanujan Tau函数的一种表达式[3],
Tau[n]=sum[(a-b)(a-c)(a-d)(a-e)(b-c)(b-d)(b-e)c-d)(c-e)(d-e)
/1!2!3!4!].
这里a,b,c,d,e满足条件
(a,b,s,d,e)~(1,2,3,4,5)(mod5)
a+b+c+d+e=0
a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=10n
[1]Statistical theory of equations of state and phase transitions.
I. Theory of condensation
C.N. Yang, T.D. Lee,Phys. Rev. 87, 404-409 (1952)
[2]Statistical theory of equations of state and phase transitions.
II. Lattice gas and Ising model
T.D. Lee, C.N. Yang
Phys. Rev. 87, 410-419 (1952)
[3]F. Dyson, Bull. Amer. Math. Soc. 78 (1972) 635.
| 发表时间：2004-04-03, 09:16:02 |
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