星空浩淼
发表文章数: 1743
武功等级: 九阳神功
(第五重)
内力值: 617/617
微扰级数讨论（1）
这两天进不了这个网站，现在在网吧上。
昌海兄提到的那篇论文，我第二天就找到了。后来接着找了几篇，除了昌海兄提到的那篇论文之外，其他的还没有仔细看，这里想先交流一下。如果昌海兄感兴趣，等网络通了，我跟你寄来几篇重要一点的（其他人想要就开口哦——告诉email地址）。
戴维孙的那篇文章，我有两个牛角尖疑问想跟昌海兄以及大家在此交流一下：
1）如果级数收敛，可以进一步假定级数在某个区间上解析，比如从零到10之间的闭区间。但是这并不一定要求必须在所有区间上解析。因此比如说可以在1的邻域内解析，但不一定意味着必须在零的邻域内解析。
例如，QED的S矩阵在e^2的奇数次方项前面是负号，在e^2的偶数次方项前面是正号。原数列如果将e^2换成-e^2，反而让所有项都是正的。事实上，我们选择级数（方程（2））的系数，可以让原级数成为交错收敛级数（1-1/2+1/3-1/4。。。+[(-1)^(n-1)](1/n)），但将e^2换成-e^2之后，变成发散的级数（1+1/2+1/3+1/4。。。+1/n）.
2)将e^2换成-e^2之后，作者假定与之对应的“假想的世界”里其真空仍然是我们这个真实世界的真空，这种假设没有根据。他的理论可以通俗地理解为：将电荷换成虚数电荷，则同性电荷相吸而异号电荷相斥。可是，此时如果仍然将真空对应正反粒子湮灭后的状态（这种表达不准确但求你理解我说的），由于异号电荷相斥，真空当然会很快“爆裂”成正电荷粒子一堆，负电荷粒子另一堆。由于电磁相互作用远大于引力作用，因此正能定理不成立，总能量为负。问题是相互排斥的正反粒子干吗非得要凑到一块儿湮灭于真空，谁说此时真空也得跟我们的真空结构必须一样？
不知他的论证是否得到公认？
另外一个人则是直接证明发散（52年，PR杂志）。98年PRD杂志有人论证，因为被积函数不是L可积的(L可积比R可积更具一般性，由实变函数论可知），因此求和与积分不可交换次序，这就是传统将收敛级数误以为是发散级数的根源所在（此文我还没有仔细看）。我同意此文作者！！！
惟有与时间赛跑，才能保持一息尚存
| 发表时间：2004-03-31, 11:14:18 |
 作者资料
|
卢昌海
发表文章数: 1617
武功等级: 北冥神功
(第一重)
内力值: 602/602
Re: 微扰级数讨论（1）
98年的证明只要告知文章标题就行，我应该可以到网上去找来。52年的直接证明作者是谁？这个我很感兴趣，劳烦星空兄发一份给我。其他好文章也是多多益善（只要文件不大于1MB就行 - 否则我的信箱装不下） :-)
Dyson 的证明很难说是否得到公认，他的推理是比较粗糙的，后人所接受的应该是把他和其他人的工作合并起来的结果。
对于星空兄的看法， 我的感觉是：对一般的级数而言， 在1的邻域内解析，的确不一定意味着在零的邻域内解析。 不过微扰级数在 e^2=0 点是收敛的（因为那是自由场情形），因此假如它对某个 e^2>0 收敛， 说明它在 e^2=0 的收敛半径大于零。 这个我觉得是可以的。 在后半部分中 Dyson 并没有假定 e^2<0 的世界具有与我们世界同样的真空， 他只是以我们世界的真空做参照来证明在 e^2<0 的世界中没有稳定的真空态。
我对 Dyson 证明的疑问是我觉得他其实只是证明了：如果微扰级数收敛的话， 它的收敛域包含了得到该级数所依据的物理模型本身无法涵盖的区域。 但这似乎没什么不可以的， 谈不上矛盾， 也未必可以反证出微扰级数不收敛的结论。 因此我觉得其他人的证明很值得一看。
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2004-03-31, 19:48:44 |
作者资料
|
yinhow
发表文章数: 727
武功等级: 弹指神通
(第二重)
内力值: 469/469
Re: 微扰级数讨论（1）
一般迭代方程x=x^2+5有两个解, 但如只局限与无穷大的整数的话, 这方程还有一个解,用十进制表示的话, 后面位数上的数字可以用前面位数上的数字表示. 反过来, 两个无穷大的数字的线性组合可以得到一个确定有限的数字来, 就是x-x^2=5.
推广来说, 是否可以一个无穷多的线性组合, 每一个基也是无穷大, 得出来是一个有限的值.
譬如说系数可以理解位重整化后的物理参数, 母函数的对数理解为拉氏量.
无限维处理比较有趣,以下是一个无限维方阵的行立式:
A(x)=Det[1-a^2]
a[m,n]=((m+1/2)/(m+n+1))x^(m+n+1)C(m,m-1/2)C(n,n-1/2)
A(x)=(1-x^2)^(1/4)
还有一个无限多坐标之间的映射, 公式也好玩,
简单的说:x={x1,x2,x3,...}, y={y1,y2,y3,...}
y1=1/x1, y2=x2/(x1)^3, ....
y=R(x), RR(x)=x
| 发表时间：2004-04-01, 00:35:33 |
作者资料
|
星空浩淼
发表文章数: 1743
武功等级: 九阳神功
(第五重)
内力值: 617/617
Re: 微扰级数讨论（1）
yinhow：
如果你对叠代感兴趣，不妨看看混沌理论，很有趣的哦！
谢谢你多次提供文献。
昌海兄：
如果可以的话，我昨晚上（你们那里的上午）写来的信，你可以回复到这儿来。谢谢！
我对真空有些新的想法。
啊，上课去！
惟有与时间赛跑，才能保持一息尚存
| 发表时间：2004-04-01, 21:24:39 |
作者资料
|
yinhow
发表文章数: 727
武功等级: 弹指神通
(第二重)
内力值: 469/469
Strange Attractor
谢谢星空兄的建议.
最近几片文献, 把奇异吸引子做到了其他方面:
physics/ 0401098: Could the Classical Relativistic Electron
be a Strange Attractor?
gr-qc/ 0302100:Attractor Phantom Solution
hep-th/9807087: Arithmetic and Attractors
| 发表时间：2004-04-01, 23:14:59 |
作者资料
|
sage
发表文章数: 1125
武功等级: 天山六阳掌
(第六重)
内力值: 535/535
Re: 微扰级数讨论（1）
why do i have the impression that all the perturbation expansion of quantum field theory should be regarded as just asymptotic expansions since it would not converge. i seems to remember that the argument is the number of feynman diagrams goes up much faster than power law (which is the dependence on coupling constants).
| 发表时间：2004-04-02, 01:20:08 |
作者资料
|
星空浩淼
发表文章数: 1743
武功等级: 九阳神功
(第五重)
内力值: 617/617
Re: 微扰级数讨论（1）
sage：
你的印象可能没有错，只是这种说法不知算不算如今公认的定论。
PRD57，1144（1998）这篇论文你可以读一读，我还没有来得及看，只是扫了一下，好象大致是说，传统的微扰展开方法，不言而喻地让其中的积分和求和顺序颠倒，然而函数的特点不满足这个条件（即积分和求和顺序不能交换），因此才导致不收敛，作者自己试图构造收敛级数。
为了防止昌海兄还是看不到那封信，这里也帖上（巧的是，这会儿登陆上了）：
可能以前也有信件丢失（如果你信件基本都回复了的话）。有些问题我可能将会在繁星客栈里再给出。
我英文差就是有些问题，你的翻译让我就感觉自己这个地方理解错了，我原来理解成：“在虚拟世界中的真空，如果仍然按照通常方法来定义，则其能量不是最低的”。
另外真空态对应粒子数为零的态，从这个角度来说，即使我的英文理解对了，虚拟世界中的真空好象也只能按照传统的那种定义方法来定义。
我翻了一下复变函数中的幂级数那一章，你说的完全正确，是我记错了。你的记性好啊：）。我如果不翻书，都忘得差不多了。
由于Dyson的证明逻辑大概是这样的：（为了证明A）
1）如果A，那么B
2）如今非B，所以非A 。
即利用了逆否命题与原命题等价的逻辑思路。
所以我要挑刺，只能针对上面1），2）两条：即使A，不一定B；或者非B的判断错了——这就是我在楼顶提出那两个疑问的来源。
不过现在觉得这只是Dyson自己计划的逻辑思路。
事实上，即使将e^2换成-e^2后级数也收敛，这只是数学上的结论，不一定非得有个物理对应（即那个假想世界事实上并不存在）。正如一个方程，如果作些改变可能方程也成立，但那可能不再是描述这个世界的方程。
我实在怀疑级数发散的结论，因为如果级数发散，那么我们如何能够保证，仅凭前面有限的几个低阶项的贡献之和，给出我们想要的足够的物理信息以供我们预言物理结果？因为此时绝大部分贡献来自于高阶项贡献之和，对物理过程起决定性作用的应该是它们。如同我们判断一头大象的下一步走向，我们不能根据这时候碰到大象身上的一粒灰尘来判断。如果级数发散，则几个低阶项对于问题的贡献，比灰尘对于支配大象运动的贡献还小。此外，从数学本身的经验我们知道，利用发散级数进行求解，只会产生谬误。
现在我只有等有时间时看看98年的那个文献有没有道理了。
总之我觉得量子场论中有待澄清的数学基础问题比较多，你觉得呢？
如果这个世界存在负能量物质，它跟我们已知的物质之间存在万有斥力，而它们自己之间则是万有引力，跟我们已知的物质之间存在万有引力一样，那么我或许可以给出真空一个推广的概念。但是，负能量的物质存在吗？解释宇宙加速膨胀好象是用暗能量物质，我不明白，暗能量物质为何能量为正而压强为负，可能是因为没有了解具体数学细节的缘故。
惟有与时间赛跑，才能保持一息尚存
| 发表时间：2004-04-02, 06:42:10 |
作者资料
|
卢昌海
发表文章数: 1617
武功等级: 北冥神功
(第一重)
内力值: 602/602
Re: 微扰级数讨论（1）
一个发散级数的头几项给出很不错的结果，这看似奇特得近乎不可能，但却是渐进级数的特性。因此不能因为这一点就认为微扰级数发散性很可疑。
我也记得 Sage 兄提到的那种论证。如今场论学家认为的微扰级数发散性是许多不同方法得到的共同结果。虽然其中也许没有一种方法是完全严格的，但要推翻它就必须对各种方法都有所讨论。
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2004-04-02, 09:09:31 |
作者资料
|
星空浩淼
发表文章数: 1743
武功等级: 九阳神功
(第五重)
内力值: 617/617
Re: 微扰级数讨论（1）
我刚看了观星楼里面的站长的第一篇文章（高怡弘的），原来渐进级数就是我说的“可和级数”啊！这样我一下子全明白了。
我大二时对可和级数情有独钟，并且认为它其实是“合情合法”的。那时好好钻了一阵子，正想它应该能得到实质性应用。没想到，它早就被用上了。
我当时关心可和级数，最主要的原因在于它在数理逻辑方面的重要意义，将来打算发表出来。
其实，如果微扰级数发散，我以前以附件寄给昌海兄的那个引言部分，如果将来可行的话，就更有用武之地了。这种意义上来说，我巴不得发散。
天高云淡，望断南飞雁。追不到MM非好汉，屈指虚度多年。
攀登科学高峰，思绪漫转西风。今日麻袋在手，何时罩住神龙？
| 发表时间：2004-04-02, 10:14:31 |
作者资料
|
sage
发表文章数: 1125
武功等级: 天山六阳掌
(第六重)
内力值: 535/535
Re: 微扰级数讨论（1）
who is the author of that paper?
The argument I remember is sort of standard and taught in a lot of Quantum field theory courses. See, for example, "An introduction to Quantum field theory" by G. Sterman, page 499-500. chapter 15.
If I undertsand your description correctly, that 1998 paper concerns about the order of integration and summation. this is then some other divergence on top of what I said above. However, since QFT is a asymptotic expansion any, (means only can be trusted to a certain order), this problem is not really making things worse.
| 发表时间：2004-04-02, 12:46:36 |
作者资料
|
星空浩淼
发表文章数: 1743
武功等级: 九阳神功
(第五重)
内力值: 617/617
Re: 微扰级数讨论（1）
谢谢sage兄参与讨论，从你们那里我能学到实质性的东西，有利于进步。
眼下我正回顾和进一步熟悉关于渐进级数方面的东西，等到我觉得可以的时候，再跟你和卢兄好好讨论一番。以前我不知道QCD中发展的各种求和规则是怎么想出来的，什么依据（我有个朋友曾经做胶球，需要了解这个），现在开始明白来由了。
这几年在熟悉信息理论，基础的东西不但没有进步，还荒废了很多。现在该练练内功了。
天高云淡，望断南飞雁。追不到MM非好汉，屈指虚度多年。
攀登科学高峰，思绪漫转西风。今日麻袋在手，何时罩住神龙？
| 发表时间：2004-04-03, 07:18:20 |
作者资料
|
yinhow
发表文章数: 727
武功等级: 弹指神通
(第二重)
内力值: 469/469
Chaos
1973年四月的某一天, Yorke[0]教授对他的学生李天岩讲了他对Lorentz发表
在气象期刊上四篇文章的想法, 建议李做一做. 李天岩开玩笑说这种文章只适
合在美国数学月刊[1]上发表, 因为用到的数学很简单, 微积分的中值定理和复变
函数的Schwarz导数[2].李两个星期就完成了, 没想到被美国数学月刊退回,
说文章过分偏重"探究性", 要么改写到大一新生也能看懂.Yorke坚持非要在这
份杂志上发, 李要赶自己的博士论文, 就这么搁了一年.一年之后, May来
Maryland大学作报告, 讲述迭代方程f(x)=ax(1-x)的奇怪现象, 在回程飞机上
阅读了Yorke送给他的文章, 猛然醒悟这篇文章正好解答了他的疑问, 马上飞
回去劝说李修改投稿[4].Freeman Dyson 听到此发现感觉"shocked by
electric charge"
[0]http://www.ipst.umd.edu/~yorke/
[1]The American Mathematical Monthly所面向的读者是大学生和中学生
[2]Schwarz Derivative is defined as:SD[f(z),z]=D[f,{z,3}]/D[f,
{z,1}]-3/2(D[f,{z,1}]/D[f,{z,1}])^2, 两维Riemann面上的能动张量转换也
涉及到Schwarz导数, 如平面的基态能量是零, 圆柱面上的基态能量正比与转
换函数的Schwarz导数.平直时空和弯曲时空的转换导致"温度"的出现.
[3]T.Y. Li, and J.A. Yorke, "Period Three Implies Chaos", Amer.
Math. Monthly 82, 985 (1975).
| 发表时间：2004-04-03, 10:34:43 |
作者资料
|
yinhow
发表文章数: 727
武功等级: 弹指神通
(第二重)
内力值: 469/469
Re: 微扰级数讨论（1）
When I first bumped into QFT,I was total confused by the contrast
between its powerful methods and ugly structure. I never thought I
had grasp the spirit and technique of Feymann rules, let alone
write down the scattering amplitudes. Two guys did well. One[1] got the
quantum YM Feymann graph expansion and after twenty-five years he
got a Nobel Medal[2]. Another[3] put it into mathematics, got new proof of
some theorems and make new discover. After eight years he got a
Field Medal[4]. In 1996, AMS invited him to teacher QFT to its
Members[5]. In the preface to his new book, Zee[6] said"...The genesis
of this book goes back to the quantum field theory course I taught
as a beginning assistant professor at Princeton University. I had
the enormous good fortune of having him as my teaching assistant and
grader. He produced lucidly written solutions to the homework
problems I assigned, to the extent that the next year I went to the
chairman to ask ``What is wrong with the TA I have this year? He is
not half as good as the guy last year!''" Our TA is only one
million of his TA, but he said” Where there is a divergence, there is
a gold mine".
| 发表时间：2004-04-03, 19:55:37 |
作者资料
|