星空浩淼
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从渐近级数说起（1）
我突然发现自己有一个不好的毛病，喜欢抛一个话题：“准备下次或将来谈谈什么”，结果就没有下文。我自己在学业上“战线”拉得有点长，现在感觉有点力不从心。总是贪多贪广，恨不得将物理学各个领域都打通。主要考虑到在研究问题时知道得越多，思路才越开阔，但人生有限，知识无限，我现在不知该如何把握一个度，感觉每一样都是有用的。不知卢兄和sage等各位是如何把握的？
我曾经钻研过几天渐近级数，接着又忙其他的了。现在看来还是先知道一点就说一点，跟兴趣的各位交流探讨。我的谈论中是按照我自己的逻辑和观点来展开谈的，有些纯属个人看法。
“同理可得”是我们合法偷懒的一贯伎俩。因此我“不失一般性”，只考虑一元函数。没有数学公式的说明是困难的，我尽量克服。
开始的时候非常基本，却是基础。以自变量x为横轴，因变量y为纵轴，一元函数y=f(x)对应坐标平面上的一条曲线。在数值计算中，我们总是考虑)在自变量具体取值例如x=a时的函数y=f(x）的取值y=f(a）。函数有时是非常复杂的，我们只能近似求值。如果有另外一个函数z=g(x)在x=a处的取值z=g(a)很容易求，并且能够证明发现在x=a处，两个函数y=f(x)和z=g(x)的取值很接近，其差异不会改变我们所研究问题的实质，那么我们就来个偷梁换柱移花接木，总之是借鸡下蛋，利用z=g(x)来代表我们所讨论的函数y=f(x)进行研究（前提是仅当x趋于a时才成立），我们利用z=g(x)来进行我们在x=a附近的计算。
这时你不难看到，对于同一个我们要研究的对象y=f(x)，可以存在许多个不同“鸡”供我们借用，只要这些“鸡”在x=a处逼近y=f(x)就行，至于这些“鸡”在其他地方的行为如何甚至非法（例如发散）我们不用管。反之，同一个“鸡”z=g(x)，也不一定是只能供y=f(x)借用，它不必对你专一，同样可能被用来逼近其他难求的函数值。当然，有些情况下，二者却是一夫一妻制的，彼此只对对方负责。事实上，一夫一妻制的时候，y=f(x)和z=g(x)有时候就是同一个东西的两个不同表现而已——例如一个是另一个的无穷级数展开，这样的级数是“合法”的收敛的，此即我们通常所学的级数概念——要么收敛，要么发散，收敛的级数是合法的，才是有意义的，才是我们所要研究的对象——这种传统的大学教育，让我们遗漏了渐近级数这样一个好东东。
那种借鸡生蛋所用的鸡，正是渐近级数（准确地说是渐近级数的部分和）。一个函数的渐近级数里面包括我们通常所说的函数的级数展开，包括一致收敛的展开，从这种意义上来讲，渐近级数含义更广泛，它还包括发散的级数（其中比较有趣的是可和级数，后面会专门讲到）。
然而，在使用方法和通常考虑问题的切入点上，一个函数的渐近级数与这个函数的收敛展开级数是不同的。即收敛的概念与渐近的概念是不同的：
1）“收敛”表示将级数的自变量固定，让级数展开的项数趋于无穷时，级数的部分和与函数无限接近；而“渐近”是指将渐近级数的展开项数固定，让自变量趋于某个值时，渐近级数的部分和趋近函数。
2）收敛的级数其部分和与函数无限接近，是指余项的绝对值趋于零；而渐近级数的部分和趋近函数时，绝对误差可以很大，只要求相对误差小就行（即舍去的与保留的相比是一个小量）。
3）收敛的级数，展开项数足够大时，后面的项总趋势越来越小地趋于零；而渐近级数后面的项可能越来越大直至趋于无穷大。但只要在x趋于a是，它们才会小于前面的项。
从几何上看，一个函数与它的渐近级数在x=a附近是微分同胚的吗？我猜测是，大家以为呢？
未完待续。
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| 发表时间：2004-05-13, 11:16:57 |
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卢昌海
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Re: 从渐近级数说起（1）
凭记忆补充一两句：
我记得渐进级数的部分和与原函数的差别（即余项）是在 x 趋于无穷大时小于部分和中的最后一项，即：
x^n R_n -> 0 （当 x 趋于无穷大）（R_n 为余项）
因此渐进级数的部分和只有在 x 趋于无穷大时才会任意地逼近原函数，其误差被部分和中的最后一项所控制。
期待下文ing ...
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| 发表时间：2004-05-13, 21:42:32 |
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Re: 从渐近级数说起（1）
一般地讲，说是趋于某个特定值更好，更有一般性，其前提就是，只要在趋于这个值时，渐进级数后面省略的部分是所保留的最后一项的小量即可（就是你所说的）。只要趋于某个特定值时，展开的每一项趋于零就行（除了开头的常数项）。不一定是趋于无穷大时才能让展开的每一项趋于零，这因研究问题的变量而定。
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Re: 从渐近级数说起（1）
嗯，是我记得不够全，我说的只针对 Σ a_n/x^n。一般来说让对固定 n 的余项趋于零的 x 不见得要趋于无穷大，可以是趋于依问题而定的某个展开点。
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| 发表时间：2004-05-13, 21:56:19 |
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